kdv方程的显式行波解
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多组行 波解 ．
咖专 ＝∑ｓｈｔＢ ｉｔ＋ ｉｓ ）。 （ （ ） ｉ¨ （ ｓｈ Ａ ｏ ｔＡ ５ ｎ ｏ ｉ ｏ ｃｈ ｎ ｏ ）
ｉ＝ ｌ
并 且 通过 平衡 方程 （ ） 性 最 高 阶导数 项 和非 ４线
线 性 的次数 易知 ｎ为 ２所 以 ，
咖（ ）＝Ａ２ｉｈ ｃ ｓｔ ＋Ｂ ｓ ｈ ＋ ｎ ｗ ｏｈ ｓ ｏ ２ｉ Ｚ ｎｔ ｏ
现在用 双 函数 法来求 解 上述 ｋ ｖ 程 ， 了求 ｄ方 为
收 稿 日期 ：０ ０ ３ ７ ２ １ —０ —０
基 金 项 目： 南通 大学 自然 科 学基 金 项 目（６ ０ ４ ０Ｚ ０ ）
第 ２期
括孤 波 解和周 期 解．
关键 词 ： 函数 法 ； 文俊 消元 法 ；ｄ 双１ ０ ４５ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ４ ４ ４ （０ ０ ０ — １２ ０ １７ — ９ ２ ２ １ ）２ ０ ４ — ５
Ｅｘ ｌ ｉ Ｔｒ ｖ ｌ ｇ Ｗ ａ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓｔ ｄ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｐ ｉ ｔ ａ ｅｉ ｃ ｎ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｋ ｖ Ｎｏ ｌ ａ ｕ ｔ ｓ ｎ ｏ
第２ ３卷 第 ２期
２１ ０ ０年 ６月
海 南 师范 大 学学 报（ 自然 科 学 版）
Ｊｕｎｌ ｆ Ｈ ｉａ ｏｍａ Ｕ ｉｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ ａ ｎＮ ｒ ｌ ｎｖｒｉ （ ａ ａ Ｓ ｉｎｅ ｎ ｔ ｕ
Ｖｏ１２ ． ．３ Ｎｏ２
Ｊｎ ２ １ ｕ ． ００
ｋｖ ｄ 方程 的显 式行波解
赵 长 海
（ 南通 大 学理 学 院 ， 江苏 南 通 ２ ６０ ） ２０７
摘 要 ： 出一 种 求解 非线 性发展 方程 精确 行 波解 的新 方 法： 函数 法． 用此 方法 。 助计 算机 给 双 使 借 代数 系统 Ｍａ ｅ ｔ ａ 利 用双 函数 法和 吴 文俊 消元 法 ， ｔ ｍａ ｃ ， ｈ ｉ 获得 ｋ ｖ方程 的 多组 新 的显 式行 波 解 ， ｄ 包
非 线 性 ｋ ｖ方 程 现 已成 为数 学 物 理 的基 本 方 ｄ 程 之 一 ，ｄ ｋ ｖ方 程最 初 应 用 于 浅 水 波 的研 究 ． 随后 相继都 引 出 ｋ ｖ 程 ， 文ｆ— １ 齐 次平 衡法 和椭 ｄ方 如 １ ３用 圆函数法 得到 了 ｋ ｖ 程 的一组 解 ， ４和『１ ｄ方 文ｆ］ ５用散 射 反演法 给 出了 ｋ ｖ方程 的单 孤 子解 和双 孤解 ， ｄ 文 『１ ７由试 探 函数 法 为 ｋ ｖ方 程 的 求解 给 出了新 ６和ｆ１ ｄ 的思路 ． 『 给 出 了 ｋ ｖ方程 的一个 差 分 格 式 ， 文８ ］ ｄ 由 于 非线 性 方 程 问题 的复 杂 性 和 特殊 性 。非 线 性方
ＺＨＡＯ ａ ｇ ｉ Ｃｈ ｎ Ｈａ
（ｃｏｌｆＳｉｎｅＮ ｎｏｇＵ ｉ ｒｉ ，ａｔｎ ２０ ７ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｃｅｃ ，ａ ｔ ｎ ｅｓｙＮ ｎｏｇ ２６ ０ ，ｈｎ ） ｎ ｖ ｔ
Ａｂ ｔ ａ ｔ：ｎ ｔｉ ａ ｅ， ｌｐ ｅｔａ ｅｉｇｗａ ｅ ｓｌｔ ｎ ｏ ｋ ｖ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｌ ｄｎ ｏｉ ｏ ｏｕｉｎ ｎ ｅｉｄｃ ｓ ｒ ｃ Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒ ｍｕｔ ｌ ｒｖ ｌ ｖ ｏｕｉ ｓｔ ｄ ｑ ａｉ ，ｉｃｕ ｉｇ ｓｌｉｎ ｓ ｌｔｏ ｓａ ｄ ｐ ｒｏ ｉ ｉ ｎ ｏ ｏ ｔ
Ｂｌ ｎ ｔ ＋Ａｌｏｈ ＋Ａ ｈ ｓ ｏ ｉ ｓｔ ｃ ｏ ０ （） ６
１ ｄ ｋ ｖ方 程 的行 波解
ｋ ｖ 程可 表示 为 ： ｄ 方
其 ＡＡＡＢＢ 待 系 ， 中。 ：。２ 定 数而 ，，，， 为 警可
＝０ （） １
以有多 种选 法 ． 令
西 一６
＋
ｓ ｌ ｔ ｎ ，ｗｅ ｅ ｏ ｔｉ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｈ ｐ ｒ ｏ ａ ｆ ｎ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ Ｗ ｕ— ｌ ｎ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ ｈ ｔ ｏ ｓ ｄ ｉ ｈ ｓ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｓ ｙ ｅ ｂ ｌ ｕ ｃ ｉ ｔ ｏ ｎ ｎ ｏ ｅ ｉ ａｉ ｔ ｏ ．Ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｕ ｅ ｎ ｔ ｉ ｍｉ ｏ ｗｏ ｋ ａｓ ａ ｅ ａ ｐ ｉｄ ｔ ｔｅ ｏ ｌ ｅ ｒｅ ｕ ｔ ｎ ． ｒ ｌｏ ｃ ｎ ｂ ｐ ｌ ｏｏ ｈ ｒｎ ｎｉ ａ ｑ ａ ｉ ｓ ｅ ｎ ｏ
解方 程 （ ） 可 以先 设行 波解 ， １， 令
＝
咖（ ） 考＝ｋ 毫， ｘ—ｔ ｏ ｔ
（） ２
代入 方程 （ ） １ 可得 常微 分方程 ：
－
ｏ ｔ 一６ 咖 ＋后 ｂ ＝０ ＋ ３” ｑ
ｏ ｔ 一３ ＋ ＋ ｑ ＋ ｋ ３ ”＝０ ｂ
（） ３
（） ４
Ｋｅ ｒ ： ｙ ｅｂ ｌ ｕ ｃｉｎｍｅｈ ｄ Ｗｕ ｅｉ ｎ ｔ ｎｍｅｈ ｄ ｋ ｖｅ ｕ ｔ ｎ ｔａ ｅｉｇｗ ｖ ｏｕｉｎ ｙ ｗｏ ｄｓ ｈ ｐ ｒｏａｆｎ ｔ ｔｏ ； — ｌ ａｉ ｔｏ ； ｄ ｑ ａｉ ； ｒｖ ｌ ａ ｅｓ ｌｔ ｏ ｍｉ ｏ ｏ ｎ ｏ
对 （ ） 积分 一次 ， ２式 并取 积分 常数 为零 ， 可得 ：
一
方法 １ ：
由双 函数 法设 方程 （ ） 如下 形式 的行 波解 ４有
程没 有统 一 的求 解 办法 ， 因而 出现 求解 非线 性 方程
的各 种方 法 ， 有这 些方 法都 有一定 的局 限性 ． 所 本文 借 助 Ｍ ｔｅｍａ ｃ ａｈ ｒ ｔ ａ软件 。 用 双 函数 法 和 ｉ 采 吴文 俊消元 法 ］ 获得 了非线 性发 展方 程 ｋ ｖ的 ， ｄ
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现在用 双 函数 法来求 解 上述 ｋ ｖ 程 ， 了求 ｄ方 为
收 稿 日期 ：０ ０ ３ ７ ２ １ —０ —０
基 金 项 目： 南通 大学 自然 科 学基 金 项 目（６ ０ ４ ０Ｚ ０ ）
第 ２期
括孤 波 解和周 期 解．
关键 词 ： 函数 法 ； 文俊 消元 法 ；ｄ 双１ ０ ４５ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ４ ４ ４ （０ ０ ０ — １２ ０ １７ — ９ ２ ２ １ ）２ ０ ４ — ５
Ｅｘ ｌ ｉ Ｔｒ ｖ ｌ ｇ Ｗ ａ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓｔ ｄ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｐ ｉ ｔ ａ ｅｉ ｃ ｎ ｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｋ ｖ Ｎｏ ｌ ａ ｕ ｔ ｓ ｎ ｏ
第２ ３卷 第 ２期
２１ ０ ０年 ６月
海 南 师范 大 学学 报（ 自然 科 学 版）
Ｊｕｎｌ ｆ Ｈ ｉａ ｏｍａ Ｕ ｉｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ ａ ｎＮ ｒ ｌ ｎｖｒｉ （ ａ ａ Ｓ ｉｎｅ ｎ ｔ ｕ
Ｖｏ１２ ． ．３ Ｎｏ２
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赵 长 海
（ 南通 大 学理 学 院 ， 江苏 南 通 ２ ６０ ） ２０７
摘 要 ： 出一 种 求解 非线 性发展 方程 精确 行 波解 的新 方 法： 函数 法． 用此 方法 。 助计 算机 给 双 使 借 代数 系统 Ｍａ ｅ ｔ ａ 利 用双 函数 法和 吴 文俊 消元 法 ， ｔ ｍａ ｃ ， ｈ ｉ 获得 ｋ ｖ方程 的 多组 新 的显 式行 波 解 ， ｄ 包
非 线 性 ｋ ｖ方 程 现 已成 为数 学 物 理 的基 本 方 ｄ 程 之 一 ，ｄ ｋ ｖ方 程最 初 应 用 于 浅 水 波 的研 究 ． 随后 相继都 引 出 ｋ ｖ 程 ， 文ｆ— １ 齐 次平 衡法 和椭 ｄ方 如 １ ３用 圆函数法 得到 了 ｋ ｖ 程 的一组 解 ， ４和『１ ｄ方 文ｆ］ ５用散 射 反演法 给 出了 ｋ ｖ方程 的单 孤 子解 和双 孤解 ， ｄ 文 『１ ７由试 探 函数 法 为 ｋ ｖ方 程 的 求解 给 出了新 ６和ｆ１ ｄ 的思路 ． 『 给 出 了 ｋ ｖ方程 的一个 差 分 格 式 ， 文８ ］ ｄ 由 于 非线 性 方 程 问题 的复 杂 性 和 特殊 性 。非 线 性方
ＺＨＡＯ ａ ｇ ｉ Ｃｈ ｎ Ｈａ
（ｃｏｌｆＳｉｎｅＮ ｎｏｇＵ ｉ ｒｉ ，ａｔｎ ２０ ７ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｃｅｃ ，ａ ｔ ｎ ｅｓｙＮ ｎｏｇ ２６ ０ ，ｈｎ ） ｎ ｖ ｔ
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解方 程 （ ） 可 以先 设行 波解 ， １， 令
＝
咖（ ） 考＝ｋ 毫， ｘ—ｔ ｏ ｔ
（） ２
代入 方程 （ ） １ 可得 常微 分方程 ：
－
ｏ ｔ 一６ 咖 ＋后 ｂ ＝０ ＋ ３” ｑ
ｏ ｔ 一３ ＋ ＋ ｑ ＋ ｋ ３ ”＝０ ｂ
（） ３
（） ４
Ｋｅ ｒ ： ｙ ｅｂ ｌ ｕ ｃｉｎｍｅｈ ｄ Ｗｕ ｅｉ ｎ ｔ ｎｍｅｈ ｄ ｋ ｖｅ ｕ ｔ ｎ ｔａ ｅｉｇｗ ｖ ｏｕｉｎ ｙ ｗｏ ｄｓ ｈ ｐ ｒｏａｆｎ ｔ ｔｏ ； — ｌ ａｉ ｔｏ ； ｄ ｑ ａｉ ； ｒｖ ｌ ａ ｅｓ ｌｔ ｏ ｍｉ ｏ ｏ ｎ ｏ
对 （ ） 积分 一次 ， ２式 并取 积分 常数 为零 ， 可得 ：
一
方法 １ ：
由双 函数 法设 方程 （ ） 如下 形式 的行 波解 ４有
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