近年来自主招生数学试卷解读及应试策略

近年来自主招生数学试卷解读及应试策略

上海华东师大二附中范端喜200241

自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且各高校自主招生比例也在增大. 2010年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如清华大学等5所高校实行“五校联考”. 2011年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首的7所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的13所高校自主招生称为“北约”；9所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣.

2012年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容大约占60%，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012年自主招生考试热点知识为：三角、方程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.

1. 试卷特点分析

1.1基础知识、基本技能仍是考查的重点

没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提.

纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试30道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.

1.2考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同

近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等.

然而，高校自主招生考试命题是由大学教授完成的，试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以复旦大学为例，以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点：三角、函数和方程问题、排列组合和概率统计、不等式等.

1.3注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力

例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题：

已知基因型为AA Aa aa 、、的比例为:2:,2 1.u v w u v w ++=且

（1）求子一代AA Aa aa 、、的比例；

（2）子二代与子一代比例是否相同？

这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲，为了简便，下称本书.

2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：

有一个圆柱形水杯，质量为a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水的质量为b 克.

（1）若3b a =,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比；

（2）水的质量是多少时，整体重心最低？

2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：

某船从B 点出发，以速度v 匀速向东航行，观察者在B 点正南距离为s 的A 点进行观察，当观察者感觉速度是B 处速度的14

时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( ). A. 30 B. 60 C. 45 D. 225

1.4突出对思维能力和解题技巧的考查

近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度上有时与全国高中数学联赛一试试题相当.

例如，2007年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题：

设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：

（1）方程()0f x =总有相同实根；

（2）存在0x ，横有0()0.f x ≠

这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于a 的一次函数. 该题的详解见本书第四讲.

又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题.

学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练.

2007年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）：

对于集合2M ⊆R (2R 表示二维点集)，称M 为开集，当且仅当0,0,P M r ∀∈∃>使得

{}20.P PP r M ∈<⊆R

判断集合{}{}(,)4250(,)0,0x y x y x y x y +->≥>与是否为开集，并证明你的结论.

2010年复旦大学自主招生考试32道试题中，有六七道题涉及此方面的问题，例如： 设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点. 用Z 表示整数集，则在下列集合{}1(1),0,(2)\0,(3),0,1n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫∈≥∈≠⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭

Z R Z (4)Ζ整数集中，以0为聚点的集合有（ ）.

A (2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4).

该题的详细解答请参考本书的第一讲.

“开集”、“聚点”等是高等数学中非常重要的概念，同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.

1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高

由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”，还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求.

2012年，“北约”考试题型是文理科各7道（文科1-7题，理科3-9题），全部是解答题，