第一型曲线积分

第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
教学目的：
掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学重点：
第一型曲线积分的计算. 教学难点：
第一型曲线积分的计算公式. 教学过程
一、引言 金属曲线的质量问题
设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?
用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).
a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,
,n A A A -,这样曲线C
就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为
,1,2,
,i S i n
∆=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,
当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:
b) 作和: m=∑=m
i m 1
i ∑=≈m
i i i p 1
),(ηξSi ∆
c) 取极限:令s=max Si ∆,则
m=lim ∑=n
i i i p 1),(ηξSi ∆
上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.
抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义
定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲
线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1 =），i L 的弧
长记为i s ∆，分割T 的细度为i
n i s T ∆=≤≤1m a x ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1 =）．若有极限
()∑=→∆n
i i
i
i
T s
f 1
,lim
ηξ=J ，
且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作
()ds
y x f L
⎰,．
（二）、第一型曲线积分的性质
（1）若()ds
y x f L
i
⎰,（n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则
()ds y x f c L n i i
i ⎰∑=1
,=
()ds
y x f c n
i L
i
i ∑⎰=1
,.
（2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()ds
y x f i
L ⎰,都存在，则
()ds
y x f L
⎰,也存在，且()ds y x f L
⎰,=
()ds
y x f n
i L i
∑⎰=1,.
（3）若()ds y x f L
⎰,，()ds
y x g L
⎰,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则
()ds y x f L
⎰,≤()ds
y x g L
⎰,.
（4）若()ds
y x f L ⎰,存在，则()ds
y x f L
⎰,也存在，且()ds y x f L
⎰,≤()ds
y x f L
⎰,.
（5）若()ds
y x f L
⎰,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得
()ds
y x f L
⎰,=c s ，
这里
()()
y x f c y x f L
L
,max ,inf ≤≤.
三、第一类曲线积分的计算
定理20.1设有光滑曲线L ：()()[]βαψϕ,,,
∈⎩⎨
⎧==t t y t x ， ()y x f ,为定义在上的连续函数，则
()ds
y x f L
⎰
,=
()()()()()⎰'+'β
α
ψϕψϕdt
t t t t f 22, . (3)
证明 由弧长公式知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,
=
∆i s ()()⎰
-'+'i
i t t dt
t t 1
22ψϕ，
由()()t t 2
2ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有
=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ2
2()i i i t t <'<-τ1，
所以
()∑=∆n i i
i
i
s f 1
,ηξ=()()()
()()i
n
i i i i
t f ∆''+''''''∑=1
22,τψτϕτψτϕ，
这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1．设
=
σ()()()()()()()i
i i n
i i i i
t f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ，
则有
()∑=∆n i i
i
i
s f 1
,ηξ=()()()
()()i
n
i i i i
t f ∆'''+'''''''∑=1
22,τψτϕτψτϕ+σ， (4)
令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆ ，则当0→T 时，必有0→∆t ．现在证明0
lim 0=→∆σt .
因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数
M ，使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,，
()()()()ε
τψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，
再由
()()t t 2
2ψϕ'+'在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的0>ε，必存在0>δ，使当δ<∆t 时有
()()()()ε
τψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，
从而
()
∑=-=∆≤n
i i a b M t M 1εεσ, 所以0
lim 0=→∆σt .
再由定积分定义
()()()()()i
n
i i i i t f ∆''+''''''∑
=1
22,τψτϕτψτϕ=
()()()()()⎰
'+'β
α
ψϕψϕdt
t t t t f 22,，
因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.
当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ表示，且()x y ψ=在[]b a ,上有连续导函数
时，(3)式成为 ()()()⎰
'+b
a
dx
x xt x f 21,ψψ.
注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限．
1.上述公式可能为在替换)().().(t z z t y y t x x ===下积分ds z y x f c
⎰),,(的变
形.
2.注意: =
ds
3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.
4.特别地,如果曲线C 为一光滑的平面曲线,解为 y=)(x ϕ ),(b x a ≤≤ 那么有
⎰⎰
+=dx x x x f ds y x f c
)(1)](,[),('2
ϕϕ.
若曲线C 方程为],[),(d c y y x ∈=ϕ, 则
dy y y y f y x f d
c c
)(1]),([),('2
ϕϕ+=⎰⎰.
5.这个积分的特性在于曲线C 的方向无关,又称为关于弧长的积分.
例1 设L 是半圆π
≤≤⎩⎨
⎧==t t a y t a x 0,s i n
,c o s
试计算第一型曲线积分
()
⎰+L
ds
y x
22
.
解 ()
⎰+L
ds
y x
2
2
=()⎰
=+π
π0
32222sin cos a dt t t a a .
例2 设L 是x y 42
=从()0,0O 到()2,1A 的一段，试计算第一型曲线积分⎰L
yds .
解 ⎰L yds =()
12234
024*******
3
2
2
02
-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎰y dy y y .
空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线
)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t .
函数)( , )( , )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()⎰⎰'+'+'=L
dt t t t t t t f ds z y x f β
α
χψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.
例3
计算积分⎰L
ds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平0=++z y x
截得的圆周 .
解 由对称性知 , ⎰=L
ds x 2⎰=L
ds y 2⎰L
ds z 2, ⇒
⎰L ds x 2
=⎰⎰==
++L L a ds a ds z y x 3
22
22323
)(31π. ( 注意L 是大圆 ).
作业 1.。