专升本试题及解答

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2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题(理工类)

一、选择题(每题3分,共15分) 1、极限1

3lim(

)1

x x x x +→∞

+=+( D ) (A )1 (B )e (C )∞ (D )2

e 【知识点】第二个重要极限。

解析:12122

32lim(

)lim(1)11

x x x x x e x x +⨯+→∞→∞+=+=++。 2、函数()f x x =在0x =处( D )

(A )(0)1f '= (B )(0)1f '=- (C )(0)1f '=± (D )(0)f '不存在 【知识点】导数的定义。

解析:01,0(0)lim 1,0

x x x

f x x ∆→∆>∆⎧'==⎨

-∆<∆⎩,即(0)f '不存在。 3、直线158121x y z --+==

-与直线623

x t y t z t =+⎧⎪

=⎨⎪=-+⎩

的夹角为( A ) (A )

3π (B )4π (C )6π (D )2

π 【知识点】直线间的夹角公式(方向向量的夹角)。

解析:由参数方程6

23

x t y t z t =+⎧⎪

=⎨⎪=-+⎩

得对称式方程:63112x y z --==

-;

于是,1cos 2θ=

=

,即3

πθ=。 4、设32

()(0)a

I x f x dx a =>⎰,则( D )

(A )2

()a I xf x dx =

(B )0

()a

I xf x dx =⎰ (C )201()2a I xf x dx =⎰ (D )0

1()2a

I xf x dx =⎰

【知识点】凑微分法。 解析:32222

0011()()()22

a

a a I x f x dx x f x dx tf t dt =

=

=⎰

⎰⎰。

5、设(,)f x y

连续,交换二次积分1

(,)dy f x y dx ⎰

的次序是( C ) (A

)10

(,)dx f x y dy ⎰ (B

)1

0(,)f x y dy ⎰

(C )

2

1

10

(,)x dx f x y dy -⎰⎰

(D )21

10

(,)x dx f x y dy +⎰⎰

【知识点】交换二次积分次序。

解析:新积分区域2

:01;01D x y x ≤≤≤≤-,所以,2

1

10

(,)x I dx f x y dy -=⎰⎰

二、填空题:(每题3分,共15分) 6、函数22arcsin 2ln(1)

x z x y =

--的定义域是 。【22

11{(,)01,}22D x y x y x =<+<-≤≤】

【知识点】二元函数的定义域。

解析:定义域为:22

221

11212201101

x x x y x y ⎧-≤≤-≤≤

⎧⎪⇒⎨⎨<--≠⎩⎪<+<⎩。 7

、=⎰

【1)c +】

【知识点】换元法、分部积分法。

t =,2dx tdt =。

于是,22(1)1)t t te dt t e c c ==-+=+⎰

⎰。

8、判定级数

11

!

n n n ∞

=+∑收敛还是发散,答: ;【收敛】 【知识点】比值审敛法。 解析:1!(1(1)!)lim

lim lim 01(1)(1)!(1)(1!)n n n n n

u n n n n u n n n n n +→∞→∞→∞++-===<+++++。

9、微分方程2

(1)0xydx x dy ++=的通解 。

【y =

【知识点】可分离变量微分方程。

解析:

221

ln ln(1)12

dy x dx y x c y y x =-⇒=-++⇒=+⎰⎰。

10、曲面2

2

2

2336x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面 。【(1)4(2)9(3)0x y z -+-+-=】

【知识点】曲面的切平面方程。

解析:令2

2

2

(,,)2336F x y z x y z =++-,2x F x '=,4y F y '=,6z F z '=; 过点(1,2,3)的切平面方程的法向量{2,8,18}n =r

故,切平面方程为:2(1)8(2)18(3)0x y z -+-+-=,即4936x y z ++=。 三、解答题(每小题8分,共56分) 11

、求极限0

1

lim

x x

→。

【知识点】等价替换。

解析:001

sin 21

2lim lim 1x x x

x x

→→==。

12、已知函数()y f x =由方程33

cos sin x a t y a t

⎧=⎨=⎩确定,求22d y dx 。 【知识点】参数方程的二阶导数。

解析:tan dy

t dx

=-,22224sec 13cos sin 3cos sin d y t dx a t t a t t -=

=-。 13、由元素法的思想写出:由X 型区域0a x b ≤≤≤,0()y f x ≤≤绕y 轴旋转的旋转体的体积公式,然后计算由sin y x =,0x π≤≤与x 轴所围成图形绕y 轴旋转的体积。 【知识点】元素法(微元法)。

解析:在区间[,]a b 任取小区间[,]x x dx +,面积元素()dA f x dx =,

而dA 绕y 轴旋转而成圆环(周长2x π),其体积元素2()dV xf x dx π=;(展开为长方体) 于是,平面图形绕y 轴旋转而成立体的体积为:2()2()b

b

a

a

V xf x dx xf x dx ππ==⎰

⎰。

由此公式得:2

2sin 2[cos sin ]2y V x xdx x x x π

ππ

ππ==-+=⎰

。 14、设(,)z f x xy =,其中f 具有二阶连续偏导数,求2z

x y

∂∂∂。

【知识点】二阶偏导数(抽象函数)。

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