振动和波 声学

图4-1 弹簧振子的振动
我们知道，弹簧的弹力大小与它的形变大小成正比，也就是说，弹簧被压缩 或伸长得越多，它对小球的作用力越大。实验时，将振子拉向右方的C点时，弹 簧被拉长，产生了使振子回到平衡位置的弹力。放开后，振子在弹力的作用下， 向左做加速运动。随着振子离平衡位置越来越近，弹力越来越小，加速度也越来 越小。在这个过程中，虽然加速度越来越小，但加速度与速度的方向相同，所以 速度仍然在增大。 当振子达到平衡位置O时，弹簧恢复原长，振子不再受弹力，加速度为零， 速度达到最大值。但这时振子本身还有速度，由于惯性会越过平衡位置继续向左 运动。 振子越过平衡位置后弹簧被压缩，弹簧产生了阻碍振子运动的力，振子做减 速运动。当振子达到点B时，速度减小到零。此后，振子在弹力的作用下向右运 动，并越过平衡位置，回到C点。 振子在振动过程中，所受的重力和支持力平衡，对振子的运动没有影响，使 振子振动的只有弹簧的弹力。弹力的方向与振子偏离平衡位置的位移方向总是相 反的，并且总是指向平衡位置，它的作用是力图使振子返回平衡位置，所以将这 个力叫做回复力。
图4-3 单摆
如图4-4所示，在纸漏斗中装满沙粒，随着单摆的不断摆动，漏出的沙粒 在移动的纸板上就描绘出了单摆振动的图像，也就是简谐运动的图像。从图 4-5中可以看出，简谐运动的图像是一条正弦曲线。
图4-4 用单摆描绘振动图像
图4-5 单摆的振动图像
不同的单摆，摆动的周期不同。那么，单摆的周期与哪些因素有关呢？与摆 动的质量有关吗？与摆长、振幅呢？下面我们通过实验来研究这个问题。 取一个约1 cm的单摆，在偏角很小（如10°左右）的情况下，测出它振动一 定次数（如50次）所用的时间，算出单摆的周期。在偏角更小的情况下，同样测 出单摆的周期。 然后取摆球相同、摆长不同的单摆，分别测出它们的周期。 最后取摆长相同、摆球的大小相同但是质量不同的单摆，再测它们的周期。 通过实验我们发现，单摆的周期与摆球的质量没有关系，在振幅不大的时候， 与它的振幅也没有关系；但是单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
弹簧振子或单摆的振动，是在弹力或重力的作用下发生的，如果摩擦阻 力和空气阻力很小，就可以认为只有弹力和重力做功，振动系统的机械能守 恒。由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去，这是一种理 想情况。 实际生活中的振动都会受到阻力，最终要停下来，还有一些物体会在驱 动力的作用下振动，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的 振幅最大。
k x 。 m
4、图4-1中弹簧振子的振幅是2 cm，小球在一次全振动中通过路程是多少？如 果频率是4 Hz，小球的每秒通过的路程是多少？ 5、做简谐运动的物体，在24 s的时间内完成12次全振动，求振动的周期和频率。 6、某弹簧振子完成8次全振动需要2 s的时间，在此时间内通过的路程是80 cm， 求此弹簧振子的振幅、周期和频率。
图4-6 阻尼振动图像
实际振动都是阻尼振动，最终要停下来。怎 样才能得到持续的周期性振动呢？最简单的办法 是用周期性的外力作用于振动系统，补偿系统的 能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力，物体 在驱动力作用下的振动叫做受迫振动。机器底座 在机器运转时发生的振动，就是受迫振动的实例。 受迫振动的频率与什么有关系呢？下面我们 来做一个实验。 如图4-7所示，匀速转动把手，手会给弹簧 振子以驱动力，使振子做受迫振动。这个驱动力 的周期就是把手转动的周期。以不同的转速匀速 转动把手，可以看到，振子做受迫运动的周期总 等于驱动力的周期，或者说，受迫振动的频率总 等于驱动力的频率，与物体的固有频率没有关系。
拉一下静止在弹簧下端的小球，然后放开，小球会以原来静止时的位置 为中心做往复运动。在物理学中，振动物体原来静止时的位置叫做平衡位置， 物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。最简单、 最基本的振动是简谐运动。
下面我们通过实验研究简谐运动的规律。 如图4-1所示，将一个有孔的小球与弹簧的一 端连在一起，穿在光滑的水平杆上，弹簧的 另一端固定，小球可以在杆上滑动。小球和 水平杆之间的摩擦很小，可以忽略。这样的 系统称为弹簧振子，有时也把小球本身称为 振子。 将振子拉到平衡位置右方的C点，然后放 开，可以看到振子以O点为中心在水平杆上做 往复运动。它由C点开始运动，经过O点运动 到B点，由B点再经过O点回到C点，完成一次 全振动，距离OC和OB相等。振子不停地重复 这种往复运动，这是简谐运动的典型事例。 弹簧振子在振动时速度不断变化，下面 我们就弹簧振子一次全振动的过程进行分析。
根据胡克定律，在弹簧发生弹性形变时，小球受到的回复力F的大小与振 子对平衡位置的x成正比，即
F = kx
式中的k是比例常数，对弹簧振子来说，就是弹簧的劲度；负号表示回复 力的方向与振子偏离平衡位置的位移方向相反。 像弹簧振子这样，物体在与位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复 力的作用下的振动，叫做简谐运动。 根据牛顿第二定律 F ma ，做简谐运动的物体的加速度，其大小与物体 偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。
实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼。系统要克 服阻尼做功，机械能就要损耗。机械能逐渐减少，振幅也就逐渐减小，这种振动 叫做阻尼振动。图4-6所示为阻尼振动的振动图像，阻尼振动不是简谐运动。 振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下也越快。如果阻力很 小，在不太长的时间内看不出振幅有明显的减小，物体的振动就可以看做简谐运 动。前面关于简谐运动的演示就属于这种情形。
1、有的同学说，“振动物体完成的一次全振动就是从最左端运动到平衡位置 的最右端”。这种说法对吗？为什么？ 2、关于简谐运动，下列说法中正确的是（ ）。 A．回复力总指向平衡位置 B．回复力的大小是不变的 C．回复力的方向是不变的 D．回复力的方向总与速度的方向一致 E．回复力的大小与振动物体离开平衡位置的位移成正比，方向与位移相反 3、设图4-1所示中弹簧振子小球的质量为m，试证明弹簧振子的加速度可用下 式表示 a
实际上，生活中经常可以看到挂在线上 的物体，如客厅里放着的摆钟、小朋友玩荡 的秋千等，他们在竖直平面内摆动。大家有 没有观察过这些摆动的特点呢？ 如图4-3所示，拉开摆球，使它偏离平衡 位置，然后放开，摆球就在重力G和线的拉 力F′的共同作用下，沿着以O为中点的一端 圆弧AA′做往复运动。如果悬挂小球的细线的 伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大 得多，那么这样的装置就叫单摆。 理论上可以证明，在偏角很小的情况下， 单摆所受回复力的方向与摆球的位移方向相 反，回复力的大小与摆球的位移成正比，所 以，单摆做简谐运动。
共振也可能造成损害。例如，1831 年，一队骑兵通过英国曼彻斯特附近的 一座便桥时，由于马蹄敲击桥面的节奏 比较一致，接近桥梁的固有频率，使桥 发生共振而断裂，如图4-10所示。因此， 部队过桥要用便步。火车过桥要慢开， 目的之一也是使车轮引起的振动频率远 小于桥梁的固有频率。 在需要利用共振时，应使驱动力的 频率接近或等于振动物体的固有频率； 在需要防止共振时，应使驱动力的频率 与振动物体的固有频率不同，而且相差 越大越好。
7、单摆原来的周期是2 s，在下列情况下，周期有无变化？如有变化，变 为多少？ A．摆长减为原来的1/4； B．摆球的质量减为原来的1/4； C．振幅减为原来的1/4； D．将摆移到另外一个星球上，自由落体加速减为原来的1/4。 8、单摆的摆长为30 cm，重力加速度g = 9.81 m/s2，求单摆的周期。 9、一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况。他发现，在发射 到月球的仪器舱旁边悬挂着一个重物，在那里摆动。悬挂重物的绳子与宇航员 的身高相仿。这位物理学家看了看自己的手表，测了一下时间，于是他估测出 月球表面上的自由落体加速度，他是怎样估测的？ 10、用摆长为24.8 cm的单摆测定某地的重力加速度，测得完成120次全振 动所用的时间为120 s，求该地的重力加速度。
图4-2所示是我们生活中常见的简谐运动的实例。
a）音叉叉股上各点的振动 （b）弹簧片上各点的振动 图4-2 常见简谐运动实例
（c）摆振上各点的振动
不同的机械运动需要用不同的物理量来描述，对于振动，物理学中用振幅、 周期和频率来描述。 物体的振动总是在一定的范围之内，如图4-1中所示，振子一直在水平杆上 的C点和B点之间做往复运动。振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的 振幅。在图4-1中，OC或OB的大小就是弹簧振子的振幅。 简谐运动具有周期性。在图4-1中，振子从C点开始，经过O点运动到B点， 再经过O点回到C点，完成一次全振动，振子不停地重复这种往复运动。实验表 明，弹簧振子完成每一次全振动所用的时间是相同的。做简谐运动的物体完成 一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期。单位时间内完成的全振动的次数， 叫做振动的频率。周期和频率都是表示振动快慢的物理量。周期越短，频率越 大，表示振动越快。 用T表示周期，f表示频率，则有
图4-7 观察受迫振动
虽然物体做受迫振动的频率与物体的固有频 率无关，但是驱动力的频率是否与固有频率接近， 也会显著影响物体的振动。下面我们通过图4-8所 示的装置来研究这个问题。 在一根张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B、 C的摆长相等。当A振动的时候，会通过张紧的绳 子给其他各摆施加驱动力，使它们做受迫振动。 驱动力的频率等于A摆的频率，各摆的固有频率决 定于各自的摆长。 通过观察实验，可以看出，B摆和C摆振幅最 大。驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受 迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
单摆的周期与振幅和摆球质量无关的这个性质叫做单摆的等时性。 荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐 运动的周期T除了与摆长l有关外，还与当地的重力加速g的大小有关，关系式为
T 2 l g
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，就是我们今天摆钟的前身。 由于摆的周期可以通过改变摆长来调节，所有用起来很方便。
图4-8 研究摆的共振
如图4-9所示，取两个频率相同的音叉A和B，把它们相隔不远并排放在桌上， 打击音叉A，使它发声，再用手按住音叉A的叉股，使它Hale Waihona Puke Baidu止发声，这时可以听 到音叉B发出了声音。
图4-9 声音的共鸣
如果在B的叉股上套上一个套管，改变音叉B的固有频率，重做上面的实验， 就听不到音叉B发出的声音了。 音叉A的叉股被敲时产生振动，这种振动通过空气给音叉B以周期性的驱动 力，这两个音叉的频率相同，所给驱动力的频率等于音叉B的固有频率，于是B 发生共振，发出声音。声音的共振现象通常叫做共鸣。B的叉股套上套管后它的 固有频率改变了，就不会发生共鸣了。 音叉下面的空箱，叫做共鸣箱，可以使音叉的声音增强。实验中两个音叉 间振动的传播，主要是通过共鸣箱实现的。 共振现象有许多运用。将一些不同长度的钢片装在同一个支架上，使转速 计与开动着的机器紧密接触，可以制成转速计。机器的振动引起转速计的轻微 振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有较大的振幅。从 刻度上读出这个钢片的固有频率，就知道可以机器的转速了。
图4-10 桥梁的共振
1、一根张紧的绳上，悬挂着a、b、c、d四个摆，a和d的摆长相等，且与 其余各摆的摆长不等，让d摆开始摆动，则其余三摆的振动情况是（ ）。 A．a、b、c三个摆的振幅相等 B．a、b、c三个摆的周期相等 C．a摆的振幅最大 D．b摆的周期最大 2、汽车的车身是装在弹簧上的，成为一个振动系统，有一定的固有频率。 假设车的固有周期是1.5 s，在一条起伏不平的路上各凸起处大约相隔8 cm，这 辆车以多大速度行驶，车身上下会颠簸得剧烈？
f 1 1 ，T T f
在国际单位制中，周期的单位是秒，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是 1Hz 1s 1 。 Hz，
上面我们说过，振子完成一次全振动所用的时间是相同的。如果改变 弹簧振子的振幅，弹簧振子的周期或频率是否改变呢？ 通过实验观察可以发现，开始时拉伸（或压缩）弹簧的程度的不同， 振动的振幅也就不同，但是对同一个振子，振动的频率（或周期）却是一 定的，与振幅无关。简谐运动的频率由振动系统本身的性质完成所决定， 又称为振动系统的固有频率。