高中数学 抛 物 线
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解析: 设抛物线标准方程为 x2= 2py 或 x2=- 2py(p>0).因 为 P(- 3, m)在抛物线上,所以 9=± 2pm 由已知结合抛物线定义, 可知 P(- 3, m)到抛物线准线距离为 5, p 所以有 + |m|= 5 2 ②, ①,
由①②解得 p= 1 或 p= 9, 所以, 所求抛物线方程为 x2=± 2y 或 x2=± 18y. 答案: x2=± 2y 或 x2= ± 18y
p F , 0 . 2
2 p (1)y1y2=- p2, x1x2= . 4
2p (2)|AB|= x1+ x2+ p= 2 (θ为直线 AB的倾斜角 ). sin θ 1 1 2 (3) + 为定值 . |AF| |BF| p (4)以 AB为直径的圆与准线相切. (5)以 AF或 BF为直径的圆与y轴相切.
第七节
抛 物 线
1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F的距离与到定直线l的距离 相等 ; (3)定点 不在 定直线上.
2.抛物线的标准方程和几何性质
y2=2px(p 标准方程 >0)
y2=- 2px(p>0)
Байду номын сангаас
x2= 2py(p>0)
x2=- 2py(p>0)
2.以 x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点 P(1, m)到焦点的距离为 3,则抛物线的方程是________.
解析: 设抛物线的方程为 y2= 2px,则由抛物线的定义 p 知 1+ = 3,即 p= 4,所以抛物线方程为 y2= 8x. 2 答案: y2= 8x
3.抛物线的顶点在原点,焦点在 y轴上,其上一点 P(-3,m)到焦点距离为5,则抛物线的方程为 ________________.
p 解析:抛物线 y =2px(p>0)的准线为 x=- 且过点 2
2
p (- 1,1),故- =-1,解得p=2.所以抛物线的焦点 2 坐标为(1,0). 答案:(1,0)
2. 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相 等,则 P 的轨迹方程为________.
解析:由抛物线定义知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的 抛物线,p=2,所以其方程为 y2=8x. 答案:y2=8x
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
y = 2px(p> 标准方程 0)
2
y2=-
x2=
x2=-
2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 对称轴 焦点 离心率 准线方程
F
y= 0
p ,0 2
x= 0
p 0, 2
p 0,- 2 F
p - , 0 F 2
F
e= 1
p x=- 2
p x= 2
p y=- 2
p y= 2
标准 方程
y2= 2px(p >0)
y2=- 2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=- 2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 x≥0, y ∈R x≤0, y ∈R 向左 |PF|= y≥ 0,x∈ R y≤ 0,x∈ R 向上 向下 |PF|=
解析: 分别过点 A, B, P 作准线的垂线, 垂足分别为 M, N,Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线 的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8. 答案:8
考点一
抛物线的标准方程及几何性质 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1.(2015· 陕西高考改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线 经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为________.
范围 开口方向 焦半径 (其中 P(x0, y0))
向右 |PF|=
p x0+ 2
p -x0+ 2
p y0+ 2 |PF|=
p -y0+ 2
[小题体验] 1. (教材习题改编)若抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距 离为 1,则点 M 的纵坐标是________.
解析:M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离, 1 又准线方程为 y=- , 16 1 15 设 M(x,y),则 y+ =1,∴y= . 16 16 15 答案: 16
[谨记通法] 1.求抛物线方程的 3个注意点 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属 于四种类型中的哪一种; (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方 程之间的对应关系; (3)要注意参数 p的几何意义是焦点到准线的距离,利 用它的几何意义来解决问题.
2.记住与焦点弦有关的 5个常用结论 (以图为依据 )设 A(x1, y1), B(x2, y2),
1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条 件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与 直线垂直的直线. 2.抛物线标准方程中参数 p易忽视只有 p> 0,才能证明其 几何意义是焦点 F到准线 l的距离,否则无几何意义.
[小题纠偏] 1. 抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=1, 则 a 的值为_______.
1 解析:由题意知抛物线的标准方程为 x =ay,所以准
2
1 1 线方程 y=- =1,解得 a=- . 4a 4 1 答案:- 4
2.已知顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线 过点(- 2,3),则它的方程是________.
9 2 4 答案:y =- x或x = y 2 3
2
3.设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中 点,则|AF|+|BF|=________.
3.写出适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点与双曲线 3x2-y2= 3的一个焦点重合; (2)焦点到准线的距离为 3.
解: (1)双曲线的焦点有两个,分别为 (- 2,0), (2,0),所 以抛物线的标准方程有两种形式: y2= 2px和 y2=- p 2px(p>0).由 = 2,得 p= 4,故抛物线标准方程为 y2= 8x 2 或 y2=- 8x. (2)由题意知 p= 3,但没有明确抛物线的开口方向,故抛 物线标准方程有四种可能性. y2=± 6x或 x2=± 6y.