高中数学 抛 物 线

解析： 设抛物线标准方程为 x2＝ 2py 或 x2＝－ 2py(p>0)．因 为 P(－ 3， m)在抛物线上，所以 9＝± 2pm 由已知结合抛物线定义， 可知 P(－ 3， m)到抛物线准线距离为 5， p 所以有 ＋ |m|＝ 5 2 ②， ①，
由①②解得 p＝ 1 或 p＝ 9， 所以， 所求抛物线方程为 x2＝± 2y 或 x2＝± 18y. 答案： x2＝± 2y 或 x2＝ ± 18y
p F ， 0 . 2
2 p (1)y1y2＝－ p2， x1x2＝ . 4
2p (2)|AB|＝ x1＋ x2＋ p＝ 2 (θ为直线 AB的倾斜角 )． sin θ 1 1 2 (3) ＋ 为定值 . |AF| |BF| p (4)以 AB为直径的圆与准线相切． (5)以 AF或 BF为直径的圆与y轴相切．
第七节
抛 物 线
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F的距离与到定直线l的距离 相等 ； (3)定点 不在 定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px(p 标准方程 ＞0)
y2＝－ 2px(p＞0)
Байду номын сангаас
x2＝ 2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
2．以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点 P(1， m)到焦点的距离为 3，则抛物线的方程是________．
解析： 设抛物线的方程为 y2＝ 2px，则由抛物线的定义 p 知 1＋ ＝ 3，即 p＝ 4，所以抛物线方程为 y2＝ 8x. 2 答案： y2＝ 8x
3．抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，其上一点 P(－3，m)到焦点距离为5，则抛物线的方程为 ________________．
p 解析：抛物线 y ＝2px(p＞0)的准线为 x＝－ 且过点 2
2
p (－ 1，1)，故－ ＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点 2 坐标为(1,0)． 答案：(1,0)
2． 动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x＋2＝0 的距离相 等，则 P 的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点的 抛物线，p＝2，所以其方程为 y2＝8x. 答案：y2＝8x
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
y ＝ 2px(p＞ 标准方程 0)
2
y2＝－
x2＝
x2＝－
2px(p＞0) 2py(p>0) 2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 对称轴 焦点 离心率 准线方程
F
y＝ 0
p ，0 2

x＝ 0
p 0， 2
p 0，－ 2 F
p － ， 0 F 2
F
e＝ 1
p x＝－ 2
p x＝ 2
p y＝－ 2
p y＝ 2
标准 方程
y2＝ 2px(p ＞0)
y2＝－ 2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－ 2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 x≥0， y ∈R x≤0， y ∈R 向左 |PF|＝ y≥ 0，x∈ R y≤ 0，x∈ R 向上 向下 |PF|＝
解析： 分别过点 A， B， P 作准线的垂线， 垂足分别为 M， N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线 的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8. 答案：8
考点一
抛物线的标准方程及几何性质 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．(2015· 陕西高考改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线 经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．
范围 开口方向 焦半径 (其中 P(x0， y0))
向右 |PF|＝
p x0＋ 2
p －x0＋ 2
p y0＋ 2 |PF|＝
p －y0＋ 2
[小题体验] 1． (教材习题改编)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距 离为 1，则点 M 的纵坐标是________．
解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离， 1 又准线方程为 y＝－ ， 16 1 15 设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 15 答案： 16
[谨记通法] 1．求抛物线方程的 3个注意点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属 于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方 程之间的对应关系； (3)要注意参数 p的几何意义是焦点到准线的距离，利 用它的几何意义来解决问题．
2．记住与焦点弦有关的 5个常用结论 (以图为依据 )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条 件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与 直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数 p易忽视只有 p＞ 0，才能证明其 几何意义是焦点 F到准线 l的距离，否则无几何意义．
[小题纠偏] 1． 抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝1， 则 a 的值为_______．
1 解析：由题意知抛物线的标准方程为 x ＝ay，所以准
2
1 1 线方程 y＝－ ＝1，解得 a＝－ . 4a 4 1 答案：－ 4
2．已知顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线 过点(－ 2,3)，则它的方程是________．
9 2 4 答案：y ＝－ x或x ＝ y 2 3
2
3．设抛物线 x2＝12y 的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中 点，则|AF|＋|BF|＝________.
3．写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点与双曲线 3x2－y2＝ 3的一个焦点重合； (2)焦点到准线的距离为 3.
解： (1)双曲线的焦点有两个，分别为 (－ 2,0)， (2,0)，所 以抛物线的标准方程有两种形式： y2＝ 2px和 y2＝－ p 2px(p>0)．由 ＝ 2，得 p＝ 4，故抛物线标准方程为 y2＝ 8x 2 或 y2＝－ 8x. (2)由题意知 p＝ 3，但没有明确抛物线的开口方向，故抛 物线标准方程有四种可能性． y2＝± 6x或 x2＝± 6y.