华南师范大学电磁学第一章静电学的基本规律(高斯定理)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dS
S
取过场点P的以球心O 为球心的球面
第2步：从高斯定理表达式的左方入手
计算通过高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
S
S
S
17
E dS E4π r2
S
第3步：求高斯面内电量代数和
r <R r >R
qi 0
i
qi Q
i
QP
Ro r
S
第4步：根据高斯定理列方程、解方程
举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住
并且能熟练使用 理论是建立在理想模型之上的
16
例1 求电量为q 半径为R 的均匀带电球面的
电场强度分布
解:第1步：根据电荷分布的对称 性，选取合适的经过场点的高 斯面(闭合面)
q P
Ro r E
将上式推广至一般面元 若面积元不垂直电场强度
匀强电场
来自百度文库
dS
dS
由图可知: 通过 dS和 dS电场线条数相同
5
由图可知: 通过 dS和 dS电场线条数相同
令
dS dSnˆ
d EdS
EdScos
匀强电场
dS
dS
ds
E
θ是面元dS的法线方向与该处
的电场强度方向之间的夹角
d E dS
电通量的基本定义式
4. 高斯定理在求解场强方面的应用
对电量的分布具有很好的对称性情况下 利用高斯定理求解 E较为方便
常见的电量分布的很好的对称性：
球对称
柱对称
面对称
均 匀
球体
带 球面
电 的
(点电荷)
无限长的 柱体 柱面 带电线
无限大的 平板 平面
15
注意 电量分布没有很好的对称性时，虽然 不能用高斯定理求场强，但高斯定理仍然成立！
四、高斯定理及其应用 1.电场线（电力线） 2.电通量 3.静电场的高斯定理 4. 高斯定理在解场方面的应用 附录1：静电应用（图片） 附录2：静电场高斯定理的证明 附录3：如何理解均匀带电球面内场强为0？
1
1. 电场线（电力线）
用一族空间曲线形象描述场强分布
E
电场线(electric field line)过去称为电力线 P• （1）规定
计算通过高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
S
S
S
20
E dS E4π r2
S
第3步：求高斯面内电量代数和
rR rR
i
qi
r3 R3
q
qi q
i
QP
Ro r
S
第4步：根据高斯定理列方程、解方程
qi
E 4πr 2 i(S内)
(1) 表述
在静电场内 任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0
E dS
qi内
i ( S内）
S
0
（严格证明见附录2）
E
ds
S
qi
10
(2) 高斯定理关系式的导出 思路：1）以点电荷场为例
取包围点电荷的高斯面 取不包围点电荷的高斯面 2）推广到一般 推导： 1）场源电荷是电量为Q的点电荷 高斯面包围该点电荷
等于高斯面内电量代数和除以0
2)场源电荷仍是点电荷 但高斯面不包围电荷
因电场线连续，故电通量为零
等于高斯面内电量代数和除以0
3)推广:利 用叠加原 理
E dS
qi
i ( S内）
S
0
Q
S
13
讨论 1) E 中dS, 是面E元 所在dS处的场强.
S
2) E并非只是由闭合面内的电荷产生，而是由
6
通过任意面积元的电通量
d E dS
通过任意曲面的电通量： 把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场
E
dS
S
d E dS
S
S
7
讨论
1) d E dS 有正 有负 正负取决于面元的法线方向的选取
若取如实蓝箭头所 示的法线方向，则
E
dS
>
0
若取如虚红箭头所 示的法线方向，则
qi
E 4πr 2 i(S内)
0
qi
E
i
4 0r 2
18
第5步：得解
r < R E0
思考：
1）球面内场强为零 到球面外突变 ，物 理上合理吗？
r
q
4π 0 R 2
0
>R
E
q
4π 0r 2
E
0R
r
均匀带电球面电场分布
2）若选过场点P的 任意闭合曲面，高 斯定理是否成立？ 能否求出场强的分 布？
3）能否这样证明 球面内的场强： “因为球面内没 有电荷，所以场 强为零”，对吗？
19
例2 求电量为q 半径为R 的均匀带电球体的
电场强度分布
解:第1步：根据电荷分布的对称 性，选取合适的经过场点的高 斯面(闭合面)
q P
Ro r E
dS
S
取过场点P的以球心O 为球心的球面
第2步：从高斯定理表达式的左方入手
空间所有电荷共同产生的 ，但是闭合面内、
外的电荷对电通量 E d的S 贡献不同.
S
只有闭合面内的电荷对电通量 E dS 有贡献.
S
3)高斯定理是静电场的基本性质方程之一，
它表明静电场是有源场，它要求电场线在无
电荷处不能中断.
4)对于运动电荷产生的电场及迅变电磁场，
库仑定律不再成立，但高斯定理仍然成立. 14
方向：电场线上每一点的切线方向表示该 点的电场强度方向；
大小： 定性: 疏密
定量: 垂直面积 规定条数
2
定量规定：
通过垂直于 E 的单位面积的电场线条数等
于该区域的电场强度值，即，
d
E dS
d EdS
dS E
式中的dΦ称为通过该面积元的电通量
3
（2）电场线的性质 1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于 负电荷(或无穷远处) ，不会在没有电荷处中 断.
2)两条电场线不会相交，也不会相切.
3)电场线有头有尾，不会形成闭合曲线.
这些性质是由静电场的基本性质和场的单 值性、有限大小性决定的.并且可用静电场 的基本性质方程加以证明.
4
2. 电通量(electric flux) 通过任意面积的电场线条数叫通过该面的电通量
由电场线的定量规定，有 d EdS
E
dS
<
0
E
dS
S
对于非闭合面，面元的正方向可以任取，
物理上有实际意义的是求通过闭合面的电通量 8
2)通过闭合面的电通量
SE dS
规定：面元方向 —由闭合面内指向面外
简称外法线方向
E
E
ds
<0
电场线穿入
E
ds
>0
电场线穿出
dS
S
dS
几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数 9
3. 静电场的高斯定理(Gauss theorem)
11
高斯面如图
通过该高斯面的电通量？ 根据电场线的连续性 等于以点电荷为球心的 任意半径的球面的电通量
Qr
S
dS
E
计算通过 球面的电 通量
通过高斯球面任一面元dS
的电通量是 de EdS
EdS
12
通过高斯球面的电通量
EdS EdS
S
S
E dS
S
E4r 2
Q 4 0r 2
4r 2
Q 0
S
取过场点P的以球心O 为球心的球面
第2步：从高斯定理表达式的左方入手
计算通过高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
S
S
S
17
E dS E4π r2
S
第3步：求高斯面内电量代数和
r <R r >R
qi 0
i
qi Q
i
QP
Ro r
S
第4步：根据高斯定理列方程、解方程
举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住
并且能熟练使用 理论是建立在理想模型之上的
16
例1 求电量为q 半径为R 的均匀带电球面的
电场强度分布
解:第1步：根据电荷分布的对称 性，选取合适的经过场点的高 斯面(闭合面)
q P
Ro r E
将上式推广至一般面元 若面积元不垂直电场强度
匀强电场
来自百度文库
dS
dS
由图可知: 通过 dS和 dS电场线条数相同
5
由图可知: 通过 dS和 dS电场线条数相同
令
dS dSnˆ
d EdS
EdScos
匀强电场
dS
dS
ds
E
θ是面元dS的法线方向与该处
的电场强度方向之间的夹角
d E dS
电通量的基本定义式
4. 高斯定理在求解场强方面的应用
对电量的分布具有很好的对称性情况下 利用高斯定理求解 E较为方便
常见的电量分布的很好的对称性：
球对称
柱对称
面对称
均 匀
球体
带 球面
电 的
(点电荷)
无限长的 柱体 柱面 带电线
无限大的 平板 平面
15
注意 电量分布没有很好的对称性时，虽然 不能用高斯定理求场强，但高斯定理仍然成立！
四、高斯定理及其应用 1.电场线（电力线） 2.电通量 3.静电场的高斯定理 4. 高斯定理在解场方面的应用 附录1：静电应用（图片） 附录2：静电场高斯定理的证明 附录3：如何理解均匀带电球面内场强为0？
1
1. 电场线（电力线）
用一族空间曲线形象描述场强分布
E
电场线(electric field line)过去称为电力线 P• （1）规定
计算通过高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
S
S
S
20
E dS E4π r2
S
第3步：求高斯面内电量代数和
rR rR
i
qi
r3 R3
q
qi q
i
QP
Ro r
S
第4步：根据高斯定理列方程、解方程
qi
E 4πr 2 i(S内)
(1) 表述
在静电场内 任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以0
E dS
qi内
i ( S内）
S
0
（严格证明见附录2）
E
ds
S
qi
10
(2) 高斯定理关系式的导出 思路：1）以点电荷场为例
取包围点电荷的高斯面 取不包围点电荷的高斯面 2）推广到一般 推导： 1）场源电荷是电量为Q的点电荷 高斯面包围该点电荷
等于高斯面内电量代数和除以0
2)场源电荷仍是点电荷 但高斯面不包围电荷
因电场线连续，故电通量为零
等于高斯面内电量代数和除以0
3)推广:利 用叠加原 理
E dS
qi
i ( S内）
S
0
Q
S
13
讨论 1) E 中dS, 是面E元 所在dS处的场强.
S
2) E并非只是由闭合面内的电荷产生，而是由
6
通过任意面积元的电通量
d E dS
通过任意曲面的电通量： 把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场
E
dS
S
d E dS
S
S
7
讨论
1) d E dS 有正 有负 正负取决于面元的法线方向的选取
若取如实蓝箭头所 示的法线方向，则
E
dS
>
0
若取如虚红箭头所 示的法线方向，则
qi
E 4πr 2 i(S内)
0
qi
E
i
4 0r 2
18
第5步：得解
r < R E0
思考：
1）球面内场强为零 到球面外突变 ，物 理上合理吗？
r
q
4π 0 R 2
0
>R
E
q
4π 0r 2
E
0R
r
均匀带电球面电场分布
2）若选过场点P的 任意闭合曲面，高 斯定理是否成立？ 能否求出场强的分 布？
3）能否这样证明 球面内的场强： “因为球面内没 有电荷，所以场 强为零”，对吗？
19
例2 求电量为q 半径为R 的均匀带电球体的
电场强度分布
解:第1步：根据电荷分布的对称 性，选取合适的经过场点的高 斯面(闭合面)
q P
Ro r E
dS
S
取过场点P的以球心O 为球心的球面
第2步：从高斯定理表达式的左方入手
空间所有电荷共同产生的 ，但是闭合面内、
外的电荷对电通量 E d的S 贡献不同.
S
只有闭合面内的电荷对电通量 E dS 有贡献.
S
3)高斯定理是静电场的基本性质方程之一，
它表明静电场是有源场，它要求电场线在无
电荷处不能中断.
4)对于运动电荷产生的电场及迅变电磁场，
库仑定律不再成立，但高斯定理仍然成立. 14
方向：电场线上每一点的切线方向表示该 点的电场强度方向；
大小： 定性: 疏密
定量: 垂直面积 规定条数
2
定量规定：
通过垂直于 E 的单位面积的电场线条数等
于该区域的电场强度值，即，
d
E dS
d EdS
dS E
式中的dΦ称为通过该面积元的电通量
3
（2）电场线的性质 1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于 负电荷(或无穷远处) ，不会在没有电荷处中 断.
2)两条电场线不会相交，也不会相切.
3)电场线有头有尾，不会形成闭合曲线.
这些性质是由静电场的基本性质和场的单 值性、有限大小性决定的.并且可用静电场 的基本性质方程加以证明.
4
2. 电通量(electric flux) 通过任意面积的电场线条数叫通过该面的电通量
由电场线的定量规定，有 d EdS
E
dS
<
0
E
dS
S
对于非闭合面，面元的正方向可以任取，
物理上有实际意义的是求通过闭合面的电通量 8
2)通过闭合面的电通量
SE dS
规定：面元方向 —由闭合面内指向面外
简称外法线方向
E
E
ds
<0
电场线穿入
E
ds
>0
电场线穿出
dS
S
dS
几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数 9
3. 静电场的高斯定理(Gauss theorem)
11
高斯面如图
通过该高斯面的电通量？ 根据电场线的连续性 等于以点电荷为球心的 任意半径的球面的电通量
Qr
S
dS
E
计算通过 球面的电 通量
通过高斯球面任一面元dS
的电通量是 de EdS
EdS
12
通过高斯球面的电通量
EdS EdS
S
S
E dS
S
E4r 2
Q 4 0r 2
4r 2
Q 0