哈勃定律下宇宙的简单性质
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哈勃定律下宇宙的简单性质
（一）宇宙在膨胀：
奥伯斯佯谬:如果宇宙是无限的，星系间是相对静止的,么任一视线，总 会遇到一颗恒星或一个星系，那么夜晚的星空应该是光辉灿烂的，与事 实相矛盾。
对奥伯斯佯谬的两种解释：（1）宇宙是有限的。（2）宇宙是膨胀的， 由于多普勒效应，光在到达地球之前已经 移至红外，即红移。 天文学观测表明红移确实存在，宇宙是否有限尚不可知。
2.宇宙的空间尺度估计：如果认为最远处的星系以光速退行那么该星 c 系你我们的距离为：r m = ≈ 2 × 10 10 光年 H 说明：以上推导中忽略了万有引力作用对退行速度的影响，在后 续讨论中将考虑这种影响。
（四）宇宙的中心：
哈勃定律表明星系的退行速度与距我们的距离成正比，这似乎 表明我们所在的银河系是宇宙的中心。但这种说法其实是错误 的。
（五）宇宙物质分布的均匀性：
我们已经知道现时的宇宙在大尺度上是均匀的，那么这种均匀性 会不会随着宇宙的膨胀而改变呢？下面将讨论这一问题。
不妨假设宇宙的密度n是时间t和空间r的函数，即n＝n（r，t）。 任选一点作为球心。对于距离球心距离为r的很薄的一层球壳有 方程：
4πr 2 ∆rn(r, t ) = 4π (r + v∆t )2 ∆r′n(r + v∆t , t + ∆t )
r v
=
H
r r
0
r r0
r r
H
=
H
r r
0
r r0
可见当考虑的时间范围很短时，H可视为定值。
（三）宇宙年龄和空间尺度的估计：
1.宇宙年龄:如果近似认为退行速度不随时间而改变，那么表示星 系从r＝0运动到现时位置的时间，所以宇宙的年龄为：
τ=
1 r = ≈ 2 ×1010 ( years) H v
1 Mm &2 − G mr = E （常量） 2 r
式中E的值可由现时时刻的宇宙状态求得：
E =
1 mv 2
2
0
−G
Mm r0
由上式可求得星系P的运动速度v与位置r的关系：
v = ±
2 GM r
+
2E m
可见星系的退行速度随r的增大而减小，这正是引力作用的结果。
开宇宙，平宇宙与闭宇宙： 1.E>0，这时v恒有正解或负解。正解表示退行速度为正，即宇宙在膨胀；负 解表示退行速度为负，即宇宙在收缩。而且如果膨胀就一直膨胀下去。根据 现时的情况应取正号。称这样的宇宙为开宇宙。 2.E=0，这时v也有正解或负解，但挡r趋于无穷时，v趋于0。在这种情况下， 宇宙虽然在膨胀，但膨胀速度最终要趋向于0，即膨胀最终要停止，但达到停 止的时间无限长。称这样的宇宙为平宇宙。
∆r′ = H (r + ∆r)∆t − Hr∆t + ∆r = H∆r∆t + ∆r
将第二个方程带入第一个方程并舍去高阶小量得：
v∆t 2 n(r, t ) = n(r + v∆t, t + ∆t )(1+ H∆t )(1+ ) r ∂n ∂n v∆t = ( v∆t + ∆t + n)(1+ H∆t )(1+ 2 ) ∂r ∂t r
化简得：
∂n ∂n Hr + + 3 Hn = 0 ∂r ∂t
又因为：dn
dt
得方程：
∂n ∂n Hr &#−3 Ht
= 0
解得：
n = n0 e
可见，宇宙的质量分布与位置无关，也就是说宇宙的质量分布现在是均 匀的。而且这种均匀性将一直持续下去。
（六）宇宙的最终形态：
3.E<0，这种情况下当r达到一定的值时，v变为0，以后v就变号。这对应于宇 宙先膨胀再收缩。称这样的宇宙为闭宇宙。
我们的宇宙究竟属于哪种情况，完全取决于E的正负。由于E为常量，可由现 时的E来判定其正负。E的正负完全取决于 1 mv 0 2 和 GMm 相对大小。设现时 r 2 宇宙的密度为 ρ 0 则：
2
当ρ 0 > ρ 时，v恒正，宇宙永远膨胀（开宇宙）。 当ρ 0 ＝ ρ 时，v由正趋于0，宇宙最终要停止膨胀（平宇宙）。 当ρ 0 < ρ 时，v由正变0再变为负，宇宙由膨胀变为收缩（闭宇宙）。
由此可见我们的宇宙究竟是开的，平的还是闭的完全取决于宇宙平均密度 的大小，而实际宇宙的平均密度究竟有多大目前还不十分清楚。
（七）违背哈勃定律的特例：
哈勃定律尽管具有普遍性但并不是对所有恒星和星系都适用，在 宇宙中存在很多蓝移的行星和星系。其中有一颗最为奇妙的‘行 星’，天文名称为SS433。它的奇妙之处在于它既向我们红移又 向我们蓝移。 有关SS433的问题目前还没有研究得十分清楚，其中有一种解释 是SS433不断向其两端高速喷射出物质流。科学界普遍认SS433 中蕴含了目前尚不为人所知的宇宙奥秘。 张戎枭, PB06203183
（二）哈勃定律：美国天文学家哈勃注意到越暗弱的星系红移越大，根据
大量观测数据得出： v = Hr 为：50 千米 / 秒 ⋅ 百万秒差距 其中v为退行速度，H为哈勃常数，其现时值
关于哈勃定律的几点说明：1.哈勃常数H与时间有关，若与时间无关则退行速度 将会一直增大，而由于万有引力的作用退行速度应当减小才对，推出矛盾。 2.记现时的哈勃常数为Ho，忽略退行速度随时间的减小则有：
0
2 GM r0
2
=
2G 4 • π r0 3 ρ r0 3
2 2
0
=
8 π G ρ 0 r0 2 3
又由哈勃定律： v0 = H 0 r0
2 2
不难得出：
8 2 H 0 r0 = πG ρ 0 r0 即： 3 2 3H 0 ρ0 = 8πG 时E＝0。
3H0 ≈ 4.8×10−30 g / cm3 称为临界质量密度。 ρ0 = 8πG
由运动的相对性，我们不难发现，无论在什么星系上观察，其 他星系都在以它为中心后退。
不放假设在星系O 上观察时，根据哈勃定律，星系P（位矢为r）的速度 为： v0＝Hr0
0
若在星系O上观察，设O0O＝d，则星系O0相对于星系O的退行速度为： ＝ u＝Hd ＝ 根据速度合成法则：星系P相对于O的速度为： v＝v0－u＝Hr－Hd ＝ － ＝ － 但r0－d＝r，即星系 ＝ ，即星系P以O为原点的位矢，于是有： v＝Hr ＝ 就满足哈勃定律的运动而言，宇宙并无中心或者说处处皆是中心。
如果考虑到万有引力对星系退行速度的影响则星系P的运动方程应该为： 4 Mm M = πr 3 ρ && = − G 2 mr 为半径为r的球的总质量。由于宇 3 r ，其中 宙密度的均匀性及星系运动的球对称性，M可视为不变的常量。于是星 系P的运动完全类似于在地球引力场中一个上抛体的运动。星系与球内 Mm 物质的相互作用势能为 − G r ，由机械能守恒：
（一）宇宙在膨胀：
奥伯斯佯谬:如果宇宙是无限的，星系间是相对静止的,么任一视线，总 会遇到一颗恒星或一个星系，那么夜晚的星空应该是光辉灿烂的，与事 实相矛盾。
对奥伯斯佯谬的两种解释：（1）宇宙是有限的。（2）宇宙是膨胀的， 由于多普勒效应，光在到达地球之前已经 移至红外，即红移。 天文学观测表明红移确实存在，宇宙是否有限尚不可知。
2.宇宙的空间尺度估计：如果认为最远处的星系以光速退行那么该星 c 系你我们的距离为：r m = ≈ 2 × 10 10 光年 H 说明：以上推导中忽略了万有引力作用对退行速度的影响，在后 续讨论中将考虑这种影响。
（四）宇宙的中心：
哈勃定律表明星系的退行速度与距我们的距离成正比，这似乎 表明我们所在的银河系是宇宙的中心。但这种说法其实是错误 的。
（五）宇宙物质分布的均匀性：
我们已经知道现时的宇宙在大尺度上是均匀的，那么这种均匀性 会不会随着宇宙的膨胀而改变呢？下面将讨论这一问题。
不妨假设宇宙的密度n是时间t和空间r的函数，即n＝n（r，t）。 任选一点作为球心。对于距离球心距离为r的很薄的一层球壳有 方程：
4πr 2 ∆rn(r, t ) = 4π (r + v∆t )2 ∆r′n(r + v∆t , t + ∆t )
r v
=
H
r r
0
r r0
r r
H
=
H
r r
0
r r0
可见当考虑的时间范围很短时，H可视为定值。
（三）宇宙年龄和空间尺度的估计：
1.宇宙年龄:如果近似认为退行速度不随时间而改变，那么表示星 系从r＝0运动到现时位置的时间，所以宇宙的年龄为：
τ=
1 r = ≈ 2 ×1010 ( years) H v
1 Mm &2 − G mr = E （常量） 2 r
式中E的值可由现时时刻的宇宙状态求得：
E =
1 mv 2
2
0
−G
Mm r0
由上式可求得星系P的运动速度v与位置r的关系：
v = ±
2 GM r
+
2E m
可见星系的退行速度随r的增大而减小，这正是引力作用的结果。
开宇宙，平宇宙与闭宇宙： 1.E>0，这时v恒有正解或负解。正解表示退行速度为正，即宇宙在膨胀；负 解表示退行速度为负，即宇宙在收缩。而且如果膨胀就一直膨胀下去。根据 现时的情况应取正号。称这样的宇宙为开宇宙。 2.E=0，这时v也有正解或负解，但挡r趋于无穷时，v趋于0。在这种情况下， 宇宙虽然在膨胀，但膨胀速度最终要趋向于0，即膨胀最终要停止，但达到停 止的时间无限长。称这样的宇宙为平宇宙。
∆r′ = H (r + ∆r)∆t − Hr∆t + ∆r = H∆r∆t + ∆r
将第二个方程带入第一个方程并舍去高阶小量得：
v∆t 2 n(r, t ) = n(r + v∆t, t + ∆t )(1+ H∆t )(1+ ) r ∂n ∂n v∆t = ( v∆t + ∆t + n)(1+ H∆t )(1+ 2 ) ∂r ∂t r
化简得：
∂n ∂n Hr + + 3 Hn = 0 ∂r ∂t
又因为：dn
dt
得方程：
∂n ∂n Hr &#−3 Ht
= 0
解得：
n = n0 e
可见，宇宙的质量分布与位置无关，也就是说宇宙的质量分布现在是均 匀的。而且这种均匀性将一直持续下去。
（六）宇宙的最终形态：
3.E<0，这种情况下当r达到一定的值时，v变为0，以后v就变号。这对应于宇 宙先膨胀再收缩。称这样的宇宙为闭宇宙。
我们的宇宙究竟属于哪种情况，完全取决于E的正负。由于E为常量，可由现 时的E来判定其正负。E的正负完全取决于 1 mv 0 2 和 GMm 相对大小。设现时 r 2 宇宙的密度为 ρ 0 则：
2
当ρ 0 > ρ 时，v恒正，宇宙永远膨胀（开宇宙）。 当ρ 0 ＝ ρ 时，v由正趋于0，宇宙最终要停止膨胀（平宇宙）。 当ρ 0 < ρ 时，v由正变0再变为负，宇宙由膨胀变为收缩（闭宇宙）。
由此可见我们的宇宙究竟是开的，平的还是闭的完全取决于宇宙平均密度 的大小，而实际宇宙的平均密度究竟有多大目前还不十分清楚。
（七）违背哈勃定律的特例：
哈勃定律尽管具有普遍性但并不是对所有恒星和星系都适用，在 宇宙中存在很多蓝移的行星和星系。其中有一颗最为奇妙的‘行 星’，天文名称为SS433。它的奇妙之处在于它既向我们红移又 向我们蓝移。 有关SS433的问题目前还没有研究得十分清楚，其中有一种解释 是SS433不断向其两端高速喷射出物质流。科学界普遍认SS433 中蕴含了目前尚不为人所知的宇宙奥秘。 张戎枭, PB06203183
（二）哈勃定律：美国天文学家哈勃注意到越暗弱的星系红移越大，根据
大量观测数据得出： v = Hr 为：50 千米 / 秒 ⋅ 百万秒差距 其中v为退行速度，H为哈勃常数，其现时值
关于哈勃定律的几点说明：1.哈勃常数H与时间有关，若与时间无关则退行速度 将会一直增大，而由于万有引力的作用退行速度应当减小才对，推出矛盾。 2.记现时的哈勃常数为Ho，忽略退行速度随时间的减小则有：
0
2 GM r0
2
=
2G 4 • π r0 3 ρ r0 3
2 2
0
=
8 π G ρ 0 r0 2 3
又由哈勃定律： v0 = H 0 r0
2 2
不难得出：
8 2 H 0 r0 = πG ρ 0 r0 即： 3 2 3H 0 ρ0 = 8πG 时E＝0。
3H0 ≈ 4.8×10−30 g / cm3 称为临界质量密度。 ρ0 = 8πG
由运动的相对性，我们不难发现，无论在什么星系上观察，其 他星系都在以它为中心后退。
不放假设在星系O 上观察时，根据哈勃定律，星系P（位矢为r）的速度 为： v0＝Hr0
0
若在星系O上观察，设O0O＝d，则星系O0相对于星系O的退行速度为： ＝ u＝Hd ＝ 根据速度合成法则：星系P相对于O的速度为： v＝v0－u＝Hr－Hd ＝ － ＝ － 但r0－d＝r，即星系 ＝ ，即星系P以O为原点的位矢，于是有： v＝Hr ＝ 就满足哈勃定律的运动而言，宇宙并无中心或者说处处皆是中心。
如果考虑到万有引力对星系退行速度的影响则星系P的运动方程应该为： 4 Mm M = πr 3 ρ && = − G 2 mr 为半径为r的球的总质量。由于宇 3 r ，其中 宙密度的均匀性及星系运动的球对称性，M可视为不变的常量。于是星 系P的运动完全类似于在地球引力场中一个上抛体的运动。星系与球内 Mm 物质的相互作用势能为 − G r ，由机械能守恒：