2013-2014学年沪科版八年级数学下19.2平行四边形讲解与例题

平行四边形

1．平行四边形的定义

(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．

(2)表示方法：

平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．

平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．

①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；

②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．

【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是()．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”

B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”

C．AD∥BC，AB∥CD

D．对角线为AC，BO

解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.

答案：C

2．平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，AB CD，AD BC.

由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故

AB CD.

(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.

(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB ＝OD.

图③

(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点O ，与AD 和BC 分别交于点E ，F ，则OE ＝OF ，且S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD .

【例2】ABCD 的周长为30 cm ，它的对角线AC 和BD 交于O ，且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，求AB ，AD 的长．

分析：依题意画出图形，如图，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，即AO ＋AB ＋

BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

因为OA ＝OC ，OB 为公共边，

所以AB －BC ＝5(cm)．

由AB ＋BC ＝302

＝15(cm)可求AB ，BC ， 再由平行四边形的对边相等得AD 的长．

解：∵△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，

∴AO ＋AB ＋BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AO ＝OC ，∴AB －BC ＝5(cm)． ∵ABCD 的周长为30 cm ，

∴AB ＋BC ＝15(cm)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ AB －BC ＝5，AB ＋BC ＝15，得⎩

⎪⎨⎪⎧

AB ＝10，BC ＝5. ∴AB ＝10 cm ，AD ＝BC ＝5 cm.

3．平行四边形的判定

(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．

(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

如图，连接BD ，由AD ＝BC ，AB ＝CD ，可证明△ABD ≌△CDB ，所以∠CDB ＝∠ABD ，∠CBD ＝∠ADB ，从而得到AB ∥CD ，AD ∥BC .由定义得到四边形ABCD 为平行四边形．

其推理形式为：

∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°.

从而得到AB∥DC，AD∥BC.

由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵AD∥BC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．

【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．

解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.

又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD，

所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO.

所以四边形ABCD是平行四边形．

4．三角形的中位线

(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．

【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC 的周长为10 cm，则△DEF的周长是__________cm.