真理符合论论数学真理观的后现代转向论文

真理符合论论数学真理观的后现代转向论文
【内容提要】在数学思想、内容与方法的历史性变革过程中，数学真理的观代性开始
发生转向，逐步表现出一些后现代特征：数学真理从追求形而上学的目标与价值转向追求
相对的、多样化的理论构建；数学真理是一个具有不同层次性和等级结构的开放体系；数
学真理超越了自然真理的范畴，开始生长出一种新维度——可选择性；形式化与非形式化
都是获得数学真理的有效手段。

【关键词】数学真理/后现代转向/哥德尔定理/形式化/非形式化
【正文
数学真理作为数学认识论的核心问题，既是关于数学知识真实性、客观性、可靠性、
可信性的一个重要指标，也是衡量人类科学发展水平的一个基本尺度。

文艺复兴以来，随
着近代数学的诞生，人们对数学真理的理解达到了新的高度，逐步形成了现代性的数学认识，其主要标志就是以形而上学和柏拉图主义为基调的绝对主义和基础主义的真理观。

随
着后现代思潮的崛起，现代性的科学观念受到强烈的冲击。

在后现代哲学的语境中，人类
以往创造的所有知识的合法性都受到了质疑。

后现代主义者解构现代性的气势不仅有些咄
咄逼人，而且其对现代性的批判的确也不乏深刻性和合理性。

当后现代主义对普遍真理、
宏大叙事、逻各斯中心主义、本体论和本质主义提出质疑并予以解构之后，作为现代性和
科学真理的一个典范——数学，将如何应对后现代的挑战并对其真理性重新定位？这是一
个十分重要的科学认识论问题。

置身于后现代的语境之中，透过后现代独特的话语视角对
数学真理的现代性观念及其内在演化机制进行解读和反思，我们会看到，从1世纪到20
世纪，数学无论从思想上、内容上、方法上和体系上都发生了很大的变化，其中许多变化
是具有革命性意义的。

作为科学知识之主要标志的数学真理及其观念也相应地展现出许多
不同于现代性观念的后现代特征。

这些新特征极大地丰富了数学真理的内涵，深刻地变革
了关于数学真理的现代性观念，开拓了人类理性认识的新维度。

可以说，数学真理观正逐
步从现代性转向后现代性。

尽管如此，数学真理的概念对于数学而言依然是极为重要的，
是不能完全解构或取消的。

但随着数学的发展，数学真理性的意义将发生深刻的演变。

数
学并不具有终极的、绝对的、中心化的、惟一不变的认识论基础，数学的真理性具有鲜明
的社会、历史和文化特征。

一、数学真理从惟一性、终极性向多样性、谱系性的转向
现代性的数学真理观念源自于古希腊毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统，到17、18世纪，其基本思想趋于成熟。

从柏拉图到康德，整个西方数学的文化精神都是以毕达哥拉斯—柏拉图主义的数学传统为基准的。

无论是笛卡儿的万能代数方法、莱布尼兹的数理逻
辑思想，还是拉普拉斯的用数学方程式精确刻画宇宙秩序的决定论思想，都是现代性数学
真理观念的典型产物，其基本特点是对数学真理的惟一性、终极性、绝对性、整体性、永
恒性的信仰。

康德虽然把纯粹直观作为数学知识判断的一个要素，但这种直观却是先天的。

在康德看来，数学是先天的综合判断，是形而上学的典范。

这种现代性的数学哲学观作为
西方理性主义的一个重要源泉，对西方科学主义思想以及后来的逻辑实证主义科学哲学思
潮的形成都具有深刻的影响。

19世纪以来，数学的知识进步发生了持续、内在的变革。

作为这一变革的一个重要的认识论突破，开始出现一系列解构现代性数学观念的思想萌芽。

首先是非欧几何的诞生和
代数学的抽象化。

非欧几何的诞生，是数学观从现代性向后现代性转向的一个重要标志。

非欧几何瓦解了长期以来人们对数学公理“不证自明”和免予质疑的认识定位。

数学公理
的选择是一种基于认识必然性规律之上的合乎推理程式的理性与历史的共同抉择。

这种抉
择不再是惟一确定的而是多样变化的，不再是绝对意义上的而是有了相对的意义。

非欧几
何所揭示出的新的数学真理品质表明，数学真理并不是像康德所假设的那样，是一种先验
的直觉和综合判断。

然而，尽管非欧几何的产生初步改变了人们对数学真理具有惟一性的信念，并初步揭
示出现代性数学真理观的内在认识论缺陷，但随着非欧几何的相容性问题的解决，在当时
的大多数数学家心中，存在着一个绝对的、终极的和完全确定的数学基础仍是不言而喻的。

集合论诞生后，一度被视为建立终极性数学基础的法宝。

但随着康托悖论、罗素悖论等一
系列数学与逻辑学悖论的不期而至，数学出现了前所未有的基础危机。

面对危机，数学界
和数理逻辑界的领袖人物雄心勃勃地提出了各自宏伟的数学奠基工程计划。

无论是以罗素、怀特海为代表的逻辑主义，还是以希尔伯特为开创者的形式主义，都企图在完全逻辑化、
充分形式化和彻底公理化的基础上重新构筑数学真理，以扶正并稳固已经倾斜的整个经典
理性主义大厦。

逻辑主义和形式主义都相信，数学知识是由无可非议、绝对确定、绝对可
靠的为数不多的逻辑的或数学的概念、公理经过严格的逻辑或数学方法推演出来的。

他们
确信，所有的数学定理都可以从这种完美无缺、固定不变的基础中得到，因而所有的数学
真理便可以通过奠定一劳永逸和完全可靠的数学基础而获得。

逻辑主义的代表人物罗素阐
述道：“逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且仅为精神所感知的。

这
种知识是客观的，永恒的。

”[1]（p。

219）逻辑主义有两个基本信条：（1）所有的数学
概念最终都可以归结为逻辑概念；（2）所有的数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则
得到证明。

而形式主义者提出了著名的希尔伯特纲领（即关于数学的数学或元数学），其
基本思想是：（1）纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定
理来表现；（2）可通过元数学方法，借助于摆脱不相容性来证明形式系统的可靠性。

从认识论的角度看，逻辑主义者与形式主义者都把数学真理建立在绝对、封闭、完备
的理念之上，其认识论背景，正是利奥塔所称的“宏大叙事”或“元叙事”、德里达所称
的“逻各斯中心主义”和本质主义；在方法论上则是决定论和还原论。

所不同的是，形式
主义者更偏重于从数学的角度来看待这一问题，而逻辑主义者则期望把逻辑作为认识的起点。

从更广阔的知识背景来看，逻辑实证主义在科学与知识的真理标准和判断方面所表现
出的强烈的证实主义、还原论和狭隘科学主义倾向，也是与上述典型的现代性数学理念密
切相关。

与逻辑主义、形式主义和逻辑实证主义建立普遍的、总体性的数学的意愿相反，20世纪30年代初，奥地利年轻的数理逻辑专家哥德尔发表了在数学、数理逻辑乃至整个科学
界都具有划时代意义的不完全性定理（注：哥德尔不完全性定理由以下两条定理组成：（1）足以包括数论在内的任一形式系统中，存在一个不可判定的公式——即一个公式和
它的否定都是不可证明的。

（2）足以包括数论在内的形式系统的协调性在本系统中不能
得到证明。

）。

哥德尔研究形式公理化体系相容性问题的本意是为了证明希尔伯特纲领，
即完成对包括算术系统在内的形式化体系的相容性证明，但最终得到的结果却完全出乎人
们的意料。

哥德尔定理表明，在任一形式体系中都有不可判定命题存在。

由于任一形式体
系都无法在自身范围内完成自我解释和说明，所以逻辑主义和形式主义的基于逻辑化、形
式化、封闭性和完备性的数学基础主义计划就是无法实现的。

数学命题的正确性不仅要受
到数学概念是如何界定的、数学公理是如何选择的、数学的论证方式是如何取舍的等多种
因素的影响和制约，而且有时候在体系内还是不可判定的。

数学的定理不是从毋庸置疑的、绝对无误的前提下，通过绝对可靠的推理规则得到的不容怀疑的绝对真理。

数学命题的正
确性不仅依赖于可能变换或更替的前提和假设，而且依赖于推理规则的选择和限定。

换句
话说，数学并没有形而上学意义上的严格性。

数学命题、理论的真理性就取决于数学共同
体搭建的理论平台和数学语境，因此，数学知识就被赋予了强烈的社会文化性。

从19世纪中叶非欧几何的诞生到20世纪初哥德尔定理的产生这一段历史时期，数学
的知识演变逐步解构了以完美性、永恒性和确定性为标志的绝对主义数学真理观。

从更深
刻的历史背景来看，基础主义数学真理观的危机从根本上表明了现代性意义上的西方理性
主义和科学主义已经走到了绝境。

逻辑主义和形式主义的一个致命的认识论错误就在于，
欲把数学置于机械的、僵化的、教条的、终极的法则和规则之下，把一切已有的或尚未发
现的数学思想、理论、方法都归结和还原到固定的、惟一的、不变的、静止的基础主义数
学教条上去，其结果只能是扼杀数学的创造性和生命力。

实际上，数学研究应该从一举实
现关于真理话语的永恒的、终极的、整体的宏大目标转向对局部的、有限的、形成性的和
阶段性的目标追求。

数学在刻画世界图式、探索宇宙奥秘的同时，更要关注现实问题，如
当代科学前沿进展、人工智能与数字化、经济增长与技术进步、由信息、通讯技术所营造
的新的社会秩序、新的文化范式等。

只有充分地关注并体现时代命题，数学真理才能获得
新的意义。

20世纪以来数学发展过程中许多重大的理论创新和突破都是这一新的认识范式的产物。

例如随机数学、模糊数学、突变理论、分形与混沌理论等。

19世纪后半叶以来的这种有限的、局部的、相对的、富有时代特征的追求真理的态度，显示出数学真理越来越深刻的人类学和谱系学特征。

当代数学研究越来越重视从数学的边
缘化的、细节的、局部的、奇异的和非常态的部分开拓新的领域。

数学家开始越来越多地
接受一个没有固定基础的数学体系，承认数学中存在着不可判定命题，对悖论从绝对排斥
到相对容忍。

还有许多数学难题，如连续统假设、公理集合论的相容性证明等，也一直未
获解决。

因此，在数学认识活动中，必须放弃那种一蹴而就地达到绝对真理殿堂的奢望，
把追求数学真理的过程与目标同人的认识过程相一致，通过实现分解了的、局部的、系列
的子目标而逐步迈向整体目标。

概括起来看，这一转向的基本特征是，数学真理从追求一
劳永逸的终极性目标和拥有一成不变的、形而上学的、绝对永恒的知识体系及其价值，转
化为追求分解了的、可实现的子目标和按逻辑程式、知识法则和思维方法所设置的各种可
能的、多样化、具有谱系学特征的理论框架。

二、数学真理是具有不同层级的、开放的、动态的理论体系
现代性数学真理观的一个基本特征就是对数学理论体系的封闭的、连续的、线性的、
简单统一性的认识定位。

然而在19世纪以来的数学演变过程中，数学知识结构和理论体
系的基础性、封闭性和简单统一性被打破，逐步被更为宽泛多样的、离散的、非线性的、
网状结构的、不断变革的和开放的新的数学知识、理论和方法所取代。

数学理论的多样化、开放性和知识建构特征不仅使数学知识结构呈现出了层次性，而且赋予了数学真理以更加
丰富的内涵。

数学真理不仅包括那些由基本的、原始的定义和公理所必然蕴含的重言式，
而且也开始接纳和包容那些具有不同程度真理性的命题、判断、猜想、假设和方法。

从其
确切性相对较高的中心内核到确切性逐渐减弱的外层，数学真理逐渐形成了一个不断生长
的动态体系。

皮亚杰深刻分析了数学中的创新具有无限运演的可能性：“数学实体己不是从我们内
部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义；当数学实体从
一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类‘实体’进行的运演，
反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到一种结构为止，这种结构或者正在形成‘更强’的结构，或者在由‘更强的’结构来予以结构化。

”[2]（p。

79）实际上，这种不断变化演进的数学等级结构背后对应着数学真理的等级结构。

与之相应的就有一个数学真理可信度的标准，这种标准赋予不同等级的数学真理以不同程
度的可信度，这表明后现代的数学真理是一个具有不同层级的理论体系。

徐利治和郑毓信
进一步指出：“数学真理是具有层次结构的……可以引进适当的‘测度’去作为数学真理
性程度的衡量标志或评价标准。

”[3]（p。

18）
后现代的数学真理观在拒绝绝对主义、封闭性和完全自足的观念之后，其认识论上的
转向就是赋予数学真理以进化、动态和开放的特征。

在此，我们必须弄清的一个重大数学
哲学理论问题是：数学在多大程度上是靠得住的？那种把数学视为绝对真理化身的见解和
数学具有绝对可靠的、终极不变的基础的观点已被证明是错误的；然而，并不能因为感到
数学丧失了经典意义上的确定性而对数学真理性感到绝望和悲观。

从整体上看，相当大的
一部分数学知识的真理性是取决于其公理体系的可靠性。

然而，公理及其体系的可靠性却
无法完全从数学中获得确认，它需要从其他的公理、元数学或数学的外部去寻找。

罗素在
分析了数学真理所具有的归纳主义倾向之后，提出了不同于其最初的逻辑主义实在论的主张，认为为了证明数学是真的，“需要其他的方法和考虑”。

[4]（p。

399）而就数学内
部而言，如果仅仅依赖于欧几里得计划、经验主义计划或归纳主义计划等逻辑还原和化归
方法，数学的真理意义就会陷入所谓“无穷回归”的永恒危机之中。

拟经验主义者的观点是：“数学是数学家做的或做过的事情，它具有任何人类活动或创造所具有的不完善
性。

”[5]（p。

42）这种“理性重建”试图展现真实的数学情境，其实质是数学知识的发
生论。

与波普尔的证伪主义哲学相比，拉卡托斯由于强调数学的历史性和实践性，其学说
超越了波普尔而与库恩的范式革命有共通之处。

库恩主张把科学置于一个广泛的历史发展
背景中去考察，这对于理解数学同样适用。

数学是一门不断生长的知识，具有进化和社会
学的特征。

数学新知识及其真理性将随着知识接受检验程度的提高以及数学内部体系适应
性的提高而不断地进行调节、修正和改进。

对于经过多项指标检验的数学知识，可以赋予
其相对稳定的价值。

我们之所以相信科学的计算和方法，是因为它在日常生活、商业贸易、工程技术和科学研究中提供了准确无误的运算结果。

正因为如此，人类才敢把载人航天器
送上太空。

与现实有关的数学命题的真理性随着数学的发展会呈现出越来越精确、越来越
丰富的特点。

数学真理的另一个内在特点是，其真理性依赖于其初始理论的假设和约定。

亨佩尔指出：“数学的正确性来自于那些决定数学概念涵义的规定，因而数学命题本质上是‘定义
为真’的。

”[5]（p。

8）如在十进制中，1+1=2是真理，而在二进制中，1+1=2就成为一
个没有任何意义的命题。

尽管亨佩尔的论点揭示了数学真理的一个本质属性，但却忽略了
数学本质中的不可或缺的经验维度，所以仅仅把数学命题的真假性看作是“定义为真”，
是无法展示数学真理的全部风采的。

因为并非全部的数学命题的真伪性都能在其公理体系
中得到确认，特别是当理论尚不成熟时，相应的真理意义就不可能是明晰的、精确的和完
整的。

这时候，许多结论和推断具有暂时的、模糊的、似真的、可错的特点。

重要的是，
无论在哪种情况下，数学真理及其意义都有赖于始终处于动态中的知识创造过程。

在此，
我们可以体会到为什么数学兼具发现和发明两种品质。

数学真理的这一双重性特点体现了
人性与知性的辩证统一、主观性与客观性的辩证统一。

三、数学对自然真理性的超越及其解释学意义
数学真理从现代性向后现代性转向的第三个基本趋势是，数学真理超越传统数学认识
论中的真理符合论、单一真理性和数学实在论观念，开始强调数学真理对自然和其他各种
现象的多样化解释。

数学真理除了包含已知的应用领域的大量现实性真理和描绘自然现象、刻画自然规律的自然真理之外，还包含着许多在未知领域和理想状态下所广泛进行的理论
建构和模式构造。

当非欧几何的相容性被牢固地建立在欧氏几何相容性的基础之上时，传
统数学真理观的一个预设——数学是对自然真理的精确刻画、数学真理就是自然真理的论
点便开始失去了根基。

数学概念与客观实在之间并不是完全对等、同一和符合关系。

惟一
性作为真理的一个普遍特征而数学却不具备。

因为存在两组以上具有不同内容（甚至截然
相反）的公理体系并行不悖这一事实，这能够导出在数学真理体系中必然具有的多样性观
念和随之而来的可选择性观念。

黎曼几何的创立者，著名数学家黎曼在1854年就设想，
空间的有限区域的结构性质不同于无限区域（包括无穷大和无穷小）的结构性质。

这种思
想在广义相对论诞生60多年前便已产生，这充分显示了数学在科学进步中的超前和先导
作用。

黎曼抛弃了康德“综合知识的演绎有惟一的确实结构”的见解，认为就组成科学知
识的概念框架而言，数学理论对经验主义的知识起到了一种相对的或辩证的演绎作用。

黎
曼还认为，非欧几何的诞生表明数学与现实的分离。

如在现代几何学中，点、线、面等基
本几何概念已从欧氏几何中的抽象的实体意义下摆脱出来，不再被赋予任何实体意义。

这
种见解的合理性在于，可以允许数学超越以前那种必须有与之对应的经验背景或应用对象
的研究范围。

现在看来，由于数学处理着对应于十分不同但又有内在联系和统一性的复杂
客体及其所展示的各种各样的模式，因此，在一种预设的理论整体统一性和和谐性的前提
下，所呈现的多样性和可变性便会不可避免地进入数学真理的范畴。

后现代时代的数学真
理必须保持一个多重模式并存，同时在体系上相互联系、相互作用、彼此协调的框架。

数学在19、20世纪所取得的一个令人瞩目的成就是数学理论的多样性，这种多样性
赋予人们对于数学概念、公理、方法以相对的选择自由。

许多数学定义、问题、方法和公
理已不再具备绝对的、必然的意义。

其中比较典型的例子如“连续统假设”、“选择公理”、“非直谓定义”、“超限归纳法”等。

著名数学家彭加勒在《科学的假设》一书中
提出以下见解：“数学的创造力归因于对初始假设及定义的自由选择，其后，通过对推演
出来的结论和可观察世界的比较，对这些定义和假设加以约束。

”[6]（p。

246）这种自
由选择实际上体现了数学共同体的研究范式、学术语境和价值取向。

康托宣称：“数学的
本质在于其自由。

”这一思想作为对长期以来占据数学哲学统治地位的柏拉图主义和形而
上学的一种否定，其意义是不可低估的。

康德说，规律在哪里，人的自由也在哪里。

黑格
尔的两句名言：“人作为人是自由的，精神的自由构成了人最特有的本质。

”[7]（p。

21）“必然性的真理就是自由。

”[8]（p。

120）数学真理发展的新特点生动地说明了这一点，数学发展的这种越来越强烈的自由化趋势充分表明人对数学本质及其规律的把握已经达到
一个新的水平，人类对于数学的认识正从必然王国迈向自由王国。

这里要澄清的是，数学中的自由是一种相对的自由，而不是绝对的自由。

著名数学家
马宁指出：“数学的自由只能在严酷的必然的限度内发展。

”[6]（p。

251）这一观点深
刻地阐明了数学中的自由这一概念的本质特征。

所谓“严酷的必然的限度”无非就是数学
世界的法则、规则、自律性和秩序。

数学家赫斯（Hersh）明确提出，数学对象是由人发
明或创造的，但“它们不是随意创造的，而是从已有的数学对象以及科学和日常生活的需
要中得到。

数学对象一旦被创造出来，就具有了很好决定的，独立的品质”。

[9]（p。

42）这是一种典型的建构实在论立场。

由此可见，数学中的自由本质上是人的精神自由与数学
内在规律的高度和谐和统一。

既然宇宙万物间复杂多变的关系呈现出多样化的统一，那么从理论与现实的关系看，
在数学真理的价值判断中，可选择性就成为数学真理判断的一个必然选择。

相应地，可解
释性也就成为数学真理的一个新维度。

罗杰·琼斯指出，在当代物理学的“任一领域中，
基本方程都有可供选择的数学表达，对任一基本方程的数学表达来说，解释的多重性都存在，每一种解释都不可避免地与某种表达能力相关”。

[9]（p。

175）一方面，许多数学
理论作为对自然法则、规律和图式的一种刻画日益显示出其精确、多样、广泛和深刻的特点。

例如同一偏微分方程可以同时表征从经验直觉上看是迥然不同的现象，而同一现象亦
可以用不同的数学模型和理论视角去加以透视。

另一方面，由于数学理论构造的需要，许
多数学知识（特别是相当数量的纯粹数学知识）可能暂时没有必然对应的现实模型。

在这
种情况下，对数学真理的认识定位若仅仅囿于现代性观念下的符合论、目的论和反映论就
远远不够了。

为了使数学尽可能有效地描绘包括自然现象在内的各种现象，就必须全方位
地在理论上、逻辑上探讨各种可能性，并允许给予理论的多样性留下充分的解释余地。

当
数学语言不再与对象实体之间具有一一对应的关系，当数学的理论生成超越了主客体之间
的二元对立，当数学的理论构造超越经验本位和实践本位的真理判断之后，数学真理就逐。