e第五章平稳时间序列预测

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4．ARMA(n,m)模型预测的一般结果
Xˆ t (l) E( X tl X t , X t1, X t2 ...)
1 Xˆ t (l 1) 2 Xˆ t (l 2) ... l1 Xˆ t (1) l X t ... n X tln l at 2at1 ... m atlm
X tl 1 X tl1 atl 1atl1
Xˆ t (1) E[(1 X t at1 1at ) X t , X t1, X t2 ...)] 1 X t 1at
at X t Xˆ t1 (1) X t 1 X t1 1at1
Xˆ t (l) E[(1 X tl1 atl 1atl1 ) X t , X t1 , X t2 ...)]
传递形式
X t G j at j j0
逆转形式
X t I Xj t j at j 1
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一、由ARMA模型的传递形式进行预测
X tl G j atl j j0
Xˆ t (l) E(( X tl X t , X t1, X t2 ...)
G j E(atl j X t , X t1 , X t2 ...) j0
E[(G0 atl G1atl1 ... Gl1at1 )
(Gl j
G
* j
)at
j
]2
j0
2 a
[G02
G12
G
2 2
...
G2 l 1
(Gl j
G
* j
)
2
]
j0
Xˆ t (l) Gl j at j j0
这说明条件期望预测与最小均方误差预测是一致的
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二、用ARMA模型的逆转形式进行预测
( X tl X t , X t1, X t2 ...) ~ N (E( X tl ),Var( X tl ))
Xˆ t (l) E(( X tl X t , X t1, X t2 ...)
几条性质
E( X k X t , X t1, X t2 ...) X k
E(ak X t , X t1, X t2 ...) ak
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3 MA(1)模型预测
X tl atl 1atl1
Xˆ t (1) E[(at1 1at ) X t , X t1, X t2 ...)] 1at
at X t Xˆ t1 (1) X t 1at1
当预测步数超过1时
Xˆ t (l) 0
对于MA(m)模型而言，超过m步的预测值均为零，这 与MA序列的短记忆性是吻合的。
X tl I j X tl j atl j 1
Xˆ t (l) E( X tl X t , X t1, X t2 ...)
I j E( X tl j X t , X t1 , X t2 ...) j 1
l 1
I j Xˆ t (l j) I j X tl j
j 1
j l
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三、用ARMA模型(即差分方程形式)进行预测
1 Xˆ t (l 1)
l 1
Xˆ t (l) 1 Xˆ t (l 1) 0
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Xˆ t (l) 1 Xˆ t (l 1) 0
该差分方程的通解为
Xˆ t (l) b0t1l
由一步预测结果求出待定系数可得
Xˆ t (l)
来自百度文库
(Xt
1 1
at )1l
预测函数的形式是由模型的自回归部分决定的，滑 动平均部分用于确定预测函数中的待定系数，使得预测 函数“适应”于观测数据。
1 AR(1)模型预测
X tl 1 X tl1 atl
Xˆ t (l) E[(1 X tl1 atl ) X t , X t1 , X t2 ...)] 1 Xˆ t (l 1)
Xˆ t (l) 1 Xˆ t (l 1) 0
Xˆ t (l) 1l X t
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2 ARMA(1,1)模型预测
18
35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
应用时间序列分析
第五章 平稳时间序列预测
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本章介绍利用ARMA模型进行平稳时间序 列预测的理论与方法。具体要求： ①理解平稳线性最小均方误差预测的含义； ②熟悉条件期望预测以及预测的三种形式； ③掌握ARMA模型差分方程形式的预测方法； ④掌握预测值的适时修正方法。
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t 考虑以 为原点，向前期(或步长)为 l 的预测 Xˆ t (l)
预测误差为
et (l) X tl Xˆ t (l)
预测误差的均方值为 E[et2 (l)] E{[ X tl Xˆ t (l)]2}
使上式达到最小的线性预测称为平稳线性最小均方误 差预测（也称为平稳线性最小方差预测）
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第一节 条件期望预测
E{[ X tl Xˆ t (l)]2}
2 a
(G02
G12
G22
...
G2 l 1
)
1
Xˆ tl
1.96 a (G02
G12
G22
...
G2 l 1
)
2
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将X tl的预测值表示为at , at1, at2 ,的线性组合
Xˆ t (l)
G
* j
at
j
j0
E{[ X tl Xˆ t (l)]2}
Gl j at j j0
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et (l) X tl Xˆ t (l) G0 atl G1atl1 ... Gl1at1
E[et2 (l)] E{[ X tl Xˆ t (l)]2}
2 a
(G02
G12
G22
...
G2 l 1
)
Var( X tl ) E[ X tl E( X tl )]2
当预测步数超过m时 Xˆ t (l) 1 Xˆ t (l 1) 2 Xˆ t (l 2) ... n Xˆ t (l n)
该差分方程的通解为
Xˆ
t
(l)
b0t
f0
(l)
b1t
f1 (l)
...
bt n1
f n1 (l)
其中的函数形式由下面特征方程的根决定
n 1n1 ... n1 n 0
E(atl X t , X t1, X t2 ...) 0 E( X tl X t , X t1 , X t2 ...) Xˆ tl
(k t) (k t)
(l 0) (l 0)
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第二节 预测的三种形式
ARMA模型的三种表示形式
差分方程形式
X t 1 X t1 2 X t2 ... n X tn at 1at1 2at2 ... m atm