第一讲 最新中考复习专题数与式培优重难点突破

九年级数学下中考复习重难点突破辅导
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第三讲 数与式
知识点一 ：实数与实数的运算
（一）实数的分类：
注意： 1、正确理解实数的分类。如：2是 数，不是 数，722是 数，不是 数；
200‰是 数，不是 数；0既不是 数，也不是 数，但它是自然数。
（二）实数的基本概念和性质
注意：a+b的相反数是 ，a-b的相反数是 ，|3-π|= ， 是唯一一个没有倒数的数，
相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ，
平方等于本身的数是 ，立方等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 ，
立方根等于本身的数是 ，算术平方根等于本身的数是 。
（三）科学记数法、近似数和有效数字。
例：近似数3.05万用科学记数法表示为 ，它是精确到 位,有 个有效数字。
巩固提高

1、下列各数中，3.14159，38，0.131131113…，-π，25，17，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、已知2x与|3x+y+m|互为相反数，且y为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6
3、2017年，我国二月共感染“H7N9”禽流感160人，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，
其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米

4、如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么
该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边

5、设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的
一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

6、3+3的整数部分是a，3-3的小数部分是b，则a+b等于 ．
7、计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜
测32009+1的个位数字是 ．

8、计算：(-1)2013-|-2|+( 3-π)0×38+(14)-1． 计算：(2013-π)0-(12)-2-2sin60°+|3-1|．
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知识点二： 整式
一、整式的有关概念：
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式： 。

单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的 ， 不变。
二、整式的运算：
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
三、幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法：：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数）
2、幂的乘方：：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数）
3、积的乘方：：(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。
4、同底数幂的除法：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）
巩固提高

巩固提高

1、已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2= ．
2、已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= ．
3、如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是 ．
4、观察下列各式的计算过程：
5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…
请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为 ．
5、已知x-1x=3，则4-12x2+32x的值为（ ）
A．1 B．32 C．52 D．
7
2
6、（2016•张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，
剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（ ）

A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm
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7、（2016•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩
形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，
当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）

A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a=4b
8、如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则
第2013个格子中的整数是 ．

-4 a b c 6 b -2 …
9、（2016•烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第
2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若
要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（ ）

A．502 B．503 C．504 D．505
10、一列数a1，a2，a3，…，其中a1=12，111nnaa（n为不小于2的整数），则a100=（ ）

A．12 B．2 C．-1 D．-2
11、（2016•十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（ ）

A．8 B．9 （ C．16 ） D．17
12、如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（ ）

A．M=mn B．M=n（m+1） C．M=mn+1 D．M=m（n+1）
知识点三 因式分解
一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
二、因式分解常用方法：
1、提公因式法： 2、运用公式法：
三、因式分解的一般步骤

（ ）
（ ）
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222
444 zyxyx

1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
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1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）

2、若162kxx是一个完全平方式，则k的值为___________。

3、分解因式4x-x2= ． m3-4m= ．222212123mnmnm= ．
-3x2+2x-13= ． 3a2-12ab+12b2= ．
117218nn
xx
=

．

1522xx
= =
知识点四 分式
分式的概念注意：①若 则分式AB无意义 ； ②若分式AB=0，则应 且

例：若分式242xx的值为0，则x=
分式的基本性质
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先化简，再求值：22441(1)11xxxxxx，其中x满足x2+x-2=0．

先化简，再求值： 24()44aaaa，其中a=3+2．
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知识点五 二次根式
一、 二次根式

式子a（ ）叫做二次根式。例：若式子1xx有意义，则x的取值范围是 ．
二、 二次根式的几个重要性质：

①（a）2= （a≥0） ②2a= =
③ba= （a≥0 ,b≥0） ④ab= (a≥0, b＞0)
三、最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足条件：
1、被开方数的因数是 ，因式是整式，
2、被开方数不含 的因数或因式。
四、二次根式的运算：

1、 无论x取任何实数，代数式 24xxm都有意义，则m的取值范围为 ．

2、先化简，再求值：221-21(1)11xxxx，其中1=2+1x

3、若a+3b-5+b-2a+3=-150++150--，求ab的值。

（a＜o）
（a≥o）
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培优检测
1、若m=4，n=3，且m-n=n-m，则m+n=
．

2、已知a+b=0，222a-b=a+ab-b=3，则
．

3、定义一种新的运算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ．
4、2016•永州）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1
．若我们

规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数
进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）
2
=

（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那

么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为
．
5、（2016•黄石）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”，而计数制方法很多，如
60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为一天；7进位制：7天化为1周
等…而二进位制是计算机处理数据的依据．已知二进位制与十进位制比较如下表：

十进位制
0 1 2 3 4 5 6 …

二进位制
0 1 10 11 100 101 110 …
请将二进位制数10101010（二）写成十进位制数为
．

6
、如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研

究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则

第6个五边形数是
．

7、已知关于x,y的式子（2x²+mx-1/2y+3）-（3x-2y+1-nx²）的值与字母x的取值无关,
求式子（m+2n）-（2m-n）的值.

8、已知f(x)=1(1)xx，则f(1)=111(11)12，f(2)= 112(21)23…，已知f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=
14
15
，求n的值．