2018学年高中数学选修2-2配套课件：第一章 导数及其应用1-2-1 精品

f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝c_
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln a (a>0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝_e_x
1 f′(x) xln a ＝(a>0，且a≠1)
1
f′(x)＝_x__
答案
(2) y log1 x;
2
解 y′＝xl1n21＝－xl1n2；
重点突破
解析答案
(3)y＝cos π4；
解
y′＝cos
π4′＝0；
(4)y＝22x.
解 y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；
解 y′＝8x7；
(2)y＝12x； 解 y′＝12xln 12＝－12xln 2；
f′(x)＝kx＋b (k，b为常数) f(x)＝C(C为常数) f(x)＝x f(x)＝x2
f(x)＝ 1 x
f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝__k f′(x)＝__0 f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x f′(x)＝_－__x1_2
1
f′(x)＝_2__x
自主学习
答案
思考 (1)函数f(x)＝C，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ 答案 常数函数f(x)＝C：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴， 斜率为0；当y＝C表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时 速度始终为0，即一直处于静止状态. 一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x 表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动； 一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k，|k|越大，函数变化得越快. 二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x2的图象上点(x，y)处的切 线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速 度为2x.
思考 由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α为常数)的导数吗？ 如何记忆该公式？ 答案 因y＝x，得y′＝1； y＝x2，得y′＝2x， 故y＝xα的导数y′＝αxα－1， 结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”.
答案
返回
题型探究
题型一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x15； 解 y′＝x15′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56；
1
m
x n.
n xm
防范措施
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ 3 . 解析 令 f(x)＝ax－ln(x＋1)，则 f′(x)＝a－x＋1 1. 由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1. 又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
答案
(2)函数 f(x)＝1x导数的几何意义是什么？ 答案 反比例函数 f(x)＝1x：导数 y′＝－x12， 几何意义为函数 y＝1x的图象上某点处切线的斜率为－x12.
答案
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
(3)y＝x x；
解
yx
x
3
x 2 ,
y'
=
3
1
x2;
2
(4) y log1 x.
解
3
y′＝
1 1＝－xln1 3.
xln 3
解析答案
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
例2 求过曲线y＝sin x上点P π6，12 且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是：
解析答案
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程. 解 设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4). ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5， ∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2). 又∵切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2). 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1. 当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0； 当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0. 故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
④若 y＝5 x，则 y′＝155 x.
其中正确的个数是 .
12345
解析答案
12345
4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 12e2 . 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. ∴S△＝12×1×－e2＝12e2.
第 1章 1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
学习 目标
1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1 ，y＝ x
x的
导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 常见函数的导数 原函数
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函 数符号的变化.
返回
解析答案
5.求下列函数的导数：
(1)y＝x13； 解 y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4. (2)y＝3 x.
解
y'
=
(3
x )'
=
1
( x 3 )'
=
1
1 1
x3
1
2
x 3.
3
3
12345
解析答案
课堂小结
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地 进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y＝1－2sin2 2x的导数.因为 y＝1－2sin2 2x＝cos x，所以 y′＝(cos x)′ ＝－sin x.
解析答案
3 2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)＝ 6 .
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
∴f′(3)＝2 1
3＝
3 6.
12345
解析答案
3.给出下列结论：
①cos
π6′＝－sin
π6＝－12；
②若 y＝x12，则 y′＝－2x－3；
③若f(x)＝3x，则[f′(1)]′＝3；
解析答案
易错易混 在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错
例 3 求函数 y＝3 x2的导数.
错解
3
∵y＝3 x2， y x 2 ,
故
y'
3
1
x2.
2
错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，
从而导致得到错误的结果.
正解
y
3
x2
2
x 3 , y '
2
1
x3
.
3
防范措施
m
准确把握根式与指数幂的互化：n xm x n ,
3
y'
|
x
6
cos
6
=
2
.
∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 23，
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 解 ∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1. 又∵f(2)＝－2， ∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2， 即x－y－4＝0.