线性代数第二章 方阵的行列式

本章教学内容 §1 n阶行列式的定义 §2 方阵行列式的性质 §3 展开定理与行列式的计算
§1 n阶行列式的定义
本节教学内容 1.排列与逆序数 2.n阶行列式的定义
§1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,„,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2„ in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2„ in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2„ in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2„ in).
§1 n阶行列式的定义
公式 若排列i1 i2„ in中, it之后有kt个数比it小 (t=1,2,„,n-1),则(i1 i2„ in)=k1+k2+„+ kn-1. 例 (53421)= 4 2 2 1 9 (52431)= 4 1 2 1 8 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列； 例 (53421)=9, ∴53421为奇排列； 改变了排列 (52431)=8, ∴52431为偶排列。 的奇偶性
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32
1.右边每项都是三个元素的乘积，这三个元素位于 行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成 a1 j a2 j a3 j
1 2 3
的形式，第一个下标(行标)排成标准排列123，第 二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3，3级排列共 有3!=6个，故右边共有6项。
AT
j1 j2 jn
( j1 j2 jn ) ~ ~ ~ ( 1 ) a a a 1 j1 2 j2 nj n
j1 j2 jn
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a j1 1a j2 2 a jnn A
性质2表明，行列式对行成立的性质，对列也 成立. 由性质1、2有
作一次对换
§1 n阶行列式的定义
定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素 不动，这种构成一个新排列的变换称为对换. 定理1.1 一次对换必改变排列的奇偶性. (证略) 例1 设3x452y是一个6级奇排列，求x,y. 解 (314526)=2+0+1+1+0=4, ∴ 314526是偶排列，364521是奇排列， ∴ x=6, y=1. n! 都 是 个. 推论 所有n级排列中奇偶排列各占一半，
证 当i>j时，aij=0, 故D中可能不为零的元素 aiji的下标
ji i,即j1 1 ，j2 2， ，jn n, 则j1=1， j2=2，„ ，
jn=n，即可能不等于零的均布项只有a11a22 „ann， 又(12 „n)=0,即此项的符号为正号， 所以D= a11a22 „ann
bin c i 1 a n1 ann
ann
§1 n阶行列式的定义
证
左边

j1 j i j n
( j1 j i j n ) ( 1 ) a1 j1 ( biji c iji ) ani n
( j1 j i j n ) ( 1ห้องสมุดไป่ตู้) a1 j1 biji ani n
作业：习题2.1(A) 第1(1), 3, 5题
§2 n阶行列式的性质
本节教学内容 1. 行列式的性质 2.方阵行列式的性质
§2 n阶行列式的性质
1.行列式的性质 为了方便行列式的计算，我们来讨论 行列式 的性质.
§2 n阶行列式的性质
性质2.1 行列式具有分行可加性，即
j1 j i j n
j1 j i j n
( 1)
( j1 j i j n )
a1 j1 c iji ani n
右边.
§2 n阶行列式的性质
性质2.2 设A为方阵，则AT=A T ~ a ~ ), 则a 证 设A (aij ), A (a ij ji ij
§1 n阶行列式的定义
仿例2 证明可知
a11 a12 a1n a11 a22 ann a11 a22 ann 0 a22 0 0 a11 a22 ann
a2 n ann
§1 n阶行列式的定义
例3 证明 0
0 D 0 a1n
n( n 1 ) a2 n (-1) 2 a1n a2 n1 an1
1 2 3
例
2 3 1 1 3 2 21 3 3 21 3 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 18
下面我们来观察三阶行列式的值的特点
§1 n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a33 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
2
例 n级排列n(n-1) „21是奇排列还是偶排列？
n( n 1) 解 (n(n-1) „21)=(n-1)+(n-2)+„+1 2
所以当n=4k或n=4k+1时，n(n-1) „21是偶排列； 当n=4k+2或n=4k+3时，n(n-1) „21是奇排列. (上述n为正整数，k为整数)
§2 n阶行列式的性质
性质 2.1 行列式具有分列可加性，即
a11 b1 j c1 j a1n a21 b2 j c 2 j a2 n ann a11 c1 j a1n a21 c 2 j a2 n ann an1 c nj an1 bnj c nj
2
§1 n阶行列式的定义
仿例3 证明可知
a11 a21 a n1 a1n a2 n 1 a n1 ( 1)
n ( n 1 ) 2

a1n
a1n ( 1)
n ( n 1 ) 2
a2 n 1
a1n a2 n1 an1
a1n a2 n1 an1
§1 n阶行列式的定义
§1 n阶行列式的定义
3.一阶行列式 a11= a11, 例 一阶行列式 -2=-2，(这不是绝对值) 4.行列式的值也可定义为
A
i1 i2 in
( i1 i2 in ) ( 1 ) ai1 1 ai2 2 ain n
§1 n阶行列式的定义
a11 0 例2 证明 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11 a22 ann 0 ann
§1 n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32
2. 带正号的三项，列标排成排列123, 231, 321, 均 是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321, 213, 132, 均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为
1 2 3
例
2 3 1 1 3 2 21 3 3 21 3 1 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 18
下面我们来观察三阶行列式的值的特点
§1 n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a33
a11 a21 A a n1 a12 a22 a1n a2 n
表示对所有不同的n级排列求和
( j1 j 2 j n ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anj n
j1 j 2 j n
符号因子
an 2 ann
均布项
来自不同行 也称为n阶行列式. 不同列的n 个元素的积 注1. 均布项共有n!个，一半取正号, 一半取负号； 2. 当n>3时，不宜用“对角线法则”计算行列式 的值
线性代数 第二章
第二章 方阵的行列式
在高中数学和高等数学中，我们学过二阶行列式 和三阶行列式。行列式是是一种常用的数学工具 ，也是线性代数的基本工具之一，它在数学和其 他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用. 本章将较全面的来介绍行列式的概念、性质和行 列式的值的计算方法。
第二章 方阵的行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
表示对所有不同的3级排列求和
( j1 j 2 j 3 ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3
j1 j 2 j 3
§1 n阶行列式的定义
仿三阶行列式，可定义n阶行列式 定义1.1 n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA.
As 2 Ass A12 A1 s A22 A2 s A11 A22 Ass 0 Ass
其中A11 , A22 , Ass 为方阵 .
§1 n阶行列式的定义
本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一 个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性； 理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符 号，熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式 的值。
例4
A11 0 A11 A22
A21 A22 其中A11,A22, 为方阵.
例
1 2 0 0 2 3 0 0 3 4 1 1 4 5 2 4

1 21 1 2 32 4
( 3 4) (4 2) 2
§1 n阶行列式的定义
更一般的有
A11 A21 As1 A11 0 0 0 0 0 A11 A22 Ass A22
a2 n 1
an1 ann 1
ann
i
证 当i+j≤n时，aij=0,
故可能不为零的元素 aij 下标
i ji n 1,即j1 n，j2 n 1,，jn 1, j1=n，„， jn=1，即可能不等于零的均布项只有a1na2n-1 „an1 n( n1) 又 n( n 1) D (-1) 2 a a a 1n 2 n1 n1 ( n( n 1) 21) ,
§1 n阶行列式的定义
2. n阶行列式的定义 我们已学过二阶行列式与三阶行列式 二阶行列式
a11 a21 a12 a22
a11a22 a12 a21
行列式 的值
一种 算式
例
1 1 2 3
1 3 ( 1) 2 5
§1 n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a33 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32

a11 b1 j a1n a21 b2 j a2 n ann an1 bnj
a11 bi 1 c i 1 a n1 a11 bi 1 a n1 a12 bi 2 an 2 a12 bi 2 c i 2 an 2 a1 n a1 n bin c in
a11
ann
a12 ci 2 an 2 a1 n c in