水火箭飞行高度的探究--陈鹏

水火箭飞行高度的探究

山东交通学院信息工程系

作者：陈鹏、褚春亮、黄浩

指导老师：刘进庆

时间：2011 年 2 月

目录

1 研究背景与意义 (3)

2 研究内容 (3)

3 飞行高度计算模型建立 (4)

3.1 计算模型建立前提假定 (4)

3.2 数学推导模型建立 (4)

4 水火箭的制作研究 (8)

4.1 水火箭的实体制作 (8)

4.2 空气阻力系数的测定 (10)

4.3 空气阻力系数的求解 (13)

5 考虑空气阻力的火箭飞行高度 (13)

5.1 用MATLAB求解的思路 (13)

5.2 MATLAB程序及图像 (14)

6 误差分析与结论总结 (16)

6.1 误差分析 (16)

6.2 结论 (16)

6.3 论题展望 (17)

7 附录 (17)

8 致谢 (18)

9 参考文献 (19)

1研究背景与意义

水火箭即水力压缩火箭是一种制作及发射相对较容易的火箭。目前国内的水火箭还停留在制作上，没有深入到用数学的方法进行严谨的深入的探究。随着数学和物理知识的不断积累，已初步具备对水火箭进行深入探究的基础。又逢第十二届“挑战杯”大学生课外学术科技作品竞赛，于是怀着浓厚的兴趣对之进行深入的探究。

探究水火箭的飞行高度可以极大的提高我们的动手能力、实践能力、创新能力、以及综合运用所学知识解决实际问题的能力。同时今后可对他人制作水火箭提供一个理论参考。

2研究内容

水火箭是火箭的一种，其动力来自于火箭体内的压缩空气，通过高压不断把火箭体内的水向外喷出，火箭获得反方向的推力，在推力、重力及空气阻力的合力作用下向前飞行。本文主要研究自制火箭，在一定条件下（自身载重、空气阻力等）发射的高度公式推导及其试验论证。主要研究及试验内容如下：

（1）飞行高度数学计算模型建立

（2）水火箭制作研究

（3）应用MATLAB求解微分方程

（4）试验论证、模型修正

3 飞行高度计算模型建立

3.1 计算模型建立前提假定

（1） 由于自制水火箭飞行高度较低，不考虑火箭在飞行过程中重力加速度的变化，假定为一定值；

（2） 由于自制火箭在飞行的过程中随着简体内部的水量的不断减少，箭体内气压不断降低，射速会不断减小，因时间紧迫先不考虑射速变化对飞行高度的影响，只研究空气阻力的影响。即u 为恒矢量。

3.2 数学推导模型建立

3.2.1 火箭推力公式的推导

我们只在竖直方向上对火箭的飞行过程做受力分析。

我们设火箭飞行的某时刻t ，火箭—水系统（以下简称系统）的质量为'm ，它相对于某一选定的惯性参考系（地球）的速度为v ，在t t t →+∆时间间隔内，有质量为m ∆的水被以速度u 相对火箭喷射出去，此时系统则包括火箭、剩余的水以及被喷射出去的水。在时刻t t +∆火箭相对选定的惯性系的速度为v v +∆，而水流相对于惯性系的速度则为v v u +∆+。

按上述分析，在时刻t ，系统的动量为

()'P t m v =

在时刻t t +∆时间，系统的动量为

()()'P t m m v v m v v u ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

-∆+∆∆+∆+

在t t t →+∆时间间隔内，系统动量的增量为

()()P P t t P t ∆=+∆-

即

'P m v u m ∆=∆+∆

由上式可得动量随时间的变化率为

'd P dv dm m u dt dt dt

=+ 式中/dm dt 是水流质量随时间的变化率，而它又是由火箭中喷射出来的，故有

'dm dm dt dt

=- 于是上式可写成

''d P dv dm m u dt dt dt

=- 我们知道系统的合外力等于系统动量随时间的变化率，因此作用于系统的合外力

''d P dv dm F m u dt dt dt

==- 即

''dv m F d d d m t

t u =+ （1）

'dm u dt

即为火箭的推力。

3.2.2 火箭飞行高度的推导

由（1）式我们可以知道F 是系统所受的合外力，即为重力和空气阻力，所以有

212'''dv dm m u m g c Sv dt dt ρ=++ （2）

上式就是我们理论推导出的火箭飞行高度的微分方程。

我们先不考虑空气阻力的影响，继续推导火箭的飞行高度公式为火箭的实际制作做理论指导。

我们已设定不考虑射速变化的影响，所以u 为恒矢量，在0t =时，火箭的质量为0'm ，速度为0v ，在t t =时，火箭的质量为'm ，速度为v ，先不看空气阻力，那么对上式积分得

00'0''v m t v m dm dv u g dt m =+⎰

⎰⎰ 于是有

00

''ln ln ''m m v v u gt u gt m m -=+=- 应当注意的是这里u ，g 是u 、g 的模，与火箭的飞行方向相反，我们默认火箭的飞行方为正方向。

我们设火箭的飞行高度为y ，上式可写为

'ln 'dy m v u gt dt m ==- 或

'ln 'm dy u dt gtdt m =-

我们设在0t =时，0y =； t t =时，y y =对上式积分得

0000'ln '

y t t m dy u dt g tdt m =-⎰

⎰⎰ 于是有 2012

'ln 'm y u t gt m =- （3） 我们令火箭起飞时水的体积为V 升、喷嘴的横截面积为s ，那么有

V uts =

即

V u st

= 带入（3）式得

2012'ln 'V m y gt s m =- （4）

由此可以看出火箭装水越多、喷口面积越小、质量比越大、喷射时间越短飞行高度越高。但是这对塑料瓶的耐压承受力就有很大的要求了。我们做了一次塑料瓶的耐压极限测定实验，从实验看出普通塑料瓶的耐压极限在1MPa 以上。这对下面的火箭设计制作有指导意义。

注意：在（4）式中我们没有考虑空气阻力。那么考虑空气阻力如何求解呢？这就要借助计算机辅助求解了。在水火箭飞行的过程中空气阻力212f c Sv ρ=

其中ρ是空气密度，标准状况下约为31.293/kg m ；S 是箭体径向迎风面积；v 是火箭飞行速率；c 是空气阻力系数，这也正是我们主要的测量数据。