瞬时无功功率理论

小结 矢量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标 变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静 止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参 变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。
矢量变换原理与坐标变换
以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示 三相交流绕组 === 两相交流绕组 === 整体旋转直流绕组
i p e p e i e q q e i e i
假定三相瞬时电压为三相平衡电压源，A相电压为，代入电压3/2 变换有
e e sin 1 t Em 2 cos 1 t 3
坐标变换与变换矩阵
已知无零线Y形接线时，i 式进而可简化为:
A
i B iC 0
，则有 i
3 2 1 2 2 3 1 6
C
i A iB
。代入上
i i
0
i i 2
A B
反变换关系与变换矩阵为:
cos 1 t i sin 1 t i
可见，上式与2/2变换结果相同。
坐标变换与变换矩阵
7.进一步引申还可知道
可以看出，经过3/2和2/2变换，三相交流系统中的基波有功分量 和基波无功分量在d-q坐标系表示为直流分量，或者讲，被变换的三相 电流中若既含有基波电流，又有高次谐波电流，则经过变换后所获得 的 直流分量对应原来的基波电流，而变换获得的谐波分量将对应原来的 （n-1）次谐波电流（注意到，3/2变换的结果仍保持频率不变，且两变 量为正交分量）。 由此启发人们利用这样的变换/反变换结果来获取除了基波成分之 外的其它畸变分量。 应注意到，虽然上述对电压的3/2变换代入到瞬时功率表达式中， 可以得到与2/2变换同样的结果。但在实际应用时却属两种检测算法。 例如，它们的低通滤波器设计参数不同；由于d-q坐标系是以 旋转的， 它与轴的夹角是随时间变化的，还需从系统电压提取同步相位信息。 另 外，当考虑电压畸变时， 2/2变换仍是准确的。
空间互差120， 通以时间上互差120 的三相平衡交流电. (A,B,C) 三相静止坐标 1 C A B 空间互差90， 通以时间上互差90 的两相平衡交流电. ( , 空间互差90, 分别通以直流电流,且整个铁心 以同步速度旋转（即磁动势与坐标系一起旋转） ( d, q ) 两相旋转坐标 q

矢量变换原理与坐标变换
解决的思路与基本分析：
1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120 度，且通以时间上互差120度的三相正弦交流电时，在空间上会 建立一个角速度为 1 的旋转磁场。 又知，取空间上互相垂直的（ , )两相绕组，且在绕组中 通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等 效的旋转磁场。 此时的电机数学模型有所简化.
u
i u
i C ii
假设变换前后功率不变，即
P i u
T T P i u
P P i u i u
T T
经代入整理后，有 为简化变换阵，一般取
( C i i ) C u u i C i C u u i u
T T T T
Ci Cu E
坐标变换与变换矩阵
4．3/2 2/2变换的物理意义：
i A I m sin( 1 t ) i B I m sin( 1 t i C I m sin( 1 t 2 3 4 3 ) )
当定子三相电流为 :
。
代入3/2变换式，有
id sin( 1 t ) Im2 cos( 1 t ) iq
现代电能质量分析与监控技术
矢量变换原理与坐标变换 瞬时无功功率理论 非正弦条件下的功率理论
矢量变换原理与坐标变换
一、从异步电动机矢量控制的基本思想出发
由于交流异步电动机中的电压、电流、磁通和电磁转矩 各物理量间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比于主磁通 与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步机数 学模型中将出现两个变量的乘积项，因此又为多变量, 非线 性系统(关键是有一个复杂的电感矩阵), 这使得建立异步电 动机的准确数学模型相当困难。 为简化电机的数学模型,须从简化磁链关系入手.
i d I m 2 cos i q I m 2 sin
上式说明，在D-Q轴上通以两个直流电流，其大小分别为三 相绕组中的有功电流和无功电流。这样也可获得与三相绕组 等效的磁动势。
坐标变换与变换矩阵
6．由3/2变换的瞬时无功功率理论可以获得与上述同样的结果 已知，
B
C

为保证推导的严谨性，在非方阵中引入一个独立变量，称为零轴 电流。当定子绕组为Y 形接线时，可在变换矩阵中消去该独立因子 ）经推导整理可以得到3/2变换表达式，
（
i i
1 2 3 0

1 2 3
2
1 i A 2 i B 3 i 2 C
a b c a b c
e e

1 2 3 0

1 2 3
2
1 e 2 e 3 e 2
a
b
c

i i

1 2 3 0

1 2 3
2
1 i 2 i 3 i 2
A
B
C

式中，e , , i , 为相互垂直的为旋转瞬时向量，可表示为：
e e je

i i ji


瞬时有功功率和瞬时无功功率为：
e i p e e e i q 代入上页式中可以得到，两相正交系统中的功率等于
矢量变换原理与坐标变换
电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。 关于旋转磁动势的认识： 1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是， 除了单相电机之外，两相,三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若 通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。 根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90 度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相 (3-2)变换的思路。 绕组的作用。这就是ABC 2)。进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂 直的绕组M,T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的， 但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生 d q(2-2)变换.
T
Cu Ci C
坐标变换与变换矩阵
C C 代入上式，则有 C
T T
E
1
C
C C E
T
C
T
C
1
式中, C为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。 满足上述功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统一变 换关系。 2．(3s/2s变换) 三相静止轴系A-B-C到两相静止轴系 为便于分析，取三相绕组匝数相等，
1
瞬时无功功率概念
对于非正弦交流电路，对瞬变的或随机变化的非周期性波形的场 合，无功功率补偿是动态的和瞬时进行的，不能简单的借助FFS方 法。 例如，可以利用上述的3—2变换求取瞬时无功功率补偿量的大小。 假设被补偿负荷由三相系统电源供电，三相瞬时电压为 e , e , e 和瞬时电流为 i , i , i ，则可以做如下变换：
i i
A B
i 1 i 2 0
上式对电压和磁链也成立。
坐标变换与变换矩阵
3．(2s/2r变换) 二相静止轴系 到二相旋转轴系 d,q 的变换
假如有两个相互垂直的绕组，在两绕组中分别通以直流 电流，并且将此固定磁场以同样的角速度旋转，则两相旋转 绕组产生的合成磁场也是一个旋转磁场。再进一步使两绕组 轴线与三相绕组（或与两相静止绕组的轴线同方向）的旋转 磁场方向相同。由此即可用两个直流分量来替代三相交流电。 这可进一步简化参变量间的关系。


N C i C sin 240
坐标变换与变换矩阵
从而找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，
i N 1 i N 0
3 2
cos 120 sin 120


i cos 240 i sin 240 i

A
因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和，

i
d
i
dp
i dq

坐标变换与变换矩阵
5．3/2变换结果代入2/2变换后有
id sin Im2 cos iq cos sin( 1 t ) sin cos( 1 t )
坐标变换与变换矩阵
代入上式整理后，有
p q sin 1 t Em 2 cos 1 t 3 cos 1 t i sin 1 t i
i p sin 1 t i q cos 1 t
N
A
的变换
,
NB NC N3
并取两相绕组匝数也相等，
N N N 2
。可得到，
两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式
N i N A i A N B i B cos 120 N i 0 N B i B sin 120

N C i C cos 240
其中，
Im2
3 2
Im
。
上式说明，从静止三相A-B-C变换到静止二相d-q，在D、Q绕组中通以互 差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止 绕组等效的磁动势。
坐标变换与变换矩阵
又可知，将上式部分（d轴）展开后有，
i dp I m 2 cos sin 1 t i dq I m 2 sin cos 1 t
设两相静止坐标系与两相旋转坐标系间的夹角为（且随 时间变化），
1t 0
坐标变换与变换矩阵
由两相静止轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可 以得到变换关系，
i sin i cos
d q
cos i sin i
)
F
两相静止坐标 1

F
1
F

d
坐标变换和变换矩阵
二、坐标变换
所谓坐标变换的方法就是用一组新的变量来代替原方程中的一 组变量，使得原方程（数学模型）得以简化（弱化强耦合或解耦）。
1．变换原则---功率不变约束条件
设电压方程为
u Zi
新定义的变ຫໍສະໝຸດ Baidu为
u , i
坐标变换和变换矩阵
设电压变换矩阵为 C ，电流变换矩阵为C ，则变换前后的电压和电流关系 式为 u C u
矢量变换原理与坐标变换
2. 还知, 直流电机的磁链关系为:
F---励磁绕组 轴线---主磁通的方向,即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis). A---电枢绕组 轴线---由于电枢绕组是旋转的,通过电刷馈入的直流电产生电枢磁 动势,其轴线始终被限定在q轴,即与d轴成90度,称为交轴(Quadrature axis). 由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交, 因此电枢磁通对主磁通影响 甚微. 换言之,主磁通唯一地由励磁电流决定, 由此建立的直流电机的 数学模型十分简化. 如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型， 分析和控制就变得大大简单了。