小学数学中“奇思妙想”

用代数方法构建小学数学的“奇思妙想”
蒋晓云
桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001
研究代数方法和算术方法之间的联系对于提高小学教师的专业水平，有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行指导都有十分重要的。

从方法论的角度来讲，代数的有关知识和方法对理解和解决一些算术问题会起到导向作用。

如用方程组求解“鸡兔同笼”问题，可以诱导出求算术方法。

“鸡兔同笼”是我国古代名题之一。

《孙子算经》中记载了这样一个问题：今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
《孙子算经》中是这样解答这个问题的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只
鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。

因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。

显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。

这种“奇思妙想”不是一般小学生，甚至小学数学教师能想到的，要有相当的造化才行。

如果我们用点代数知识，依靠方程思想和方法去解决这个问题：
设鸡的只数为x,兔的只数为y,依题意有：
⎩
⎨⎧=+=+944235y x y x 解法1：②÷2-①得：y=(94÷2-35)=12（只）
代入①得x=35-12=23(只)
通过代数方法，我们从解法1可看出《孙子算经》中的巧妙解法的奥妙所在。

我们还可以采用如下与《孙子算经》中的“奇思妙想”等价的“人性化”说法：
思路一：设想鸡和兔子都受过训练，主人一声令下，所有的鸡都“ 金鸡独立”，而所有的兔子则都用两条后腿站立起来，……
解法2：②-①×2得：2y=(94-35×2)，从而y=(94-35×2)÷2=12（只）
代入①得x=35-12=23(只)
解法3：①×4-②得：2x=(35×4-94)，从而y=(35×4-94)÷2=23（只）
代入①得x=35-23=12(只)
解法2和解法3可诱导出对应的两种形象化的思考方法
思路二：设想兔子都是受过训练的聪明动物，主人一声令下，所有的兔子都用两条后腿站立起来，此时：（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了头的总数的2倍；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数少2。

因此，兔子的只数等于94-35×2的一半，即(94-35×2)÷2－35＝12（只）。

显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

……
思路三：鸡的翅膀是由四足爬行动物的前肢进化而来，如果把鸡的翅膀也看成是“足”，则……
例1：小明买了3本英语作业本和5本写字本，共付3元；小王小明买了2本英语作业本和7本写字本；共付了3.1元。

问每本英语作业本和每本写字本各多少元？
解：设每本英语作业本为x 元，每本写字本为y 元,依题意有：
① ②
⎩⎨⎧=+=+1.372353y x y x ②×3-①×2得：11y=(3.1×3-3×2)=3.3 从而y=0.3（元）
代入①得3x+5×0.3=3 解得：
x=0.5(元)。

算术思路：我们创造条件，使其中一种数量相同，假设小明又帮同学买了1份相同的作
业本，即共6本英语作业本和10本写字本，共付3×
2=6元，小王也帮另外两同学买了与
自己相同的作业本，即6本英语作业本和21本写字本；共付了3.1×3=9.3元。

所以，11本
写字本共花了9.3-6=3.3（元）从而可得到每本写字本0.3元。

……
例2 如图1木工沿着正方形木板的一边锯下宽为1/2米的一条，剩下部分的面积是65/18
平方米，求锯掉部分木板的面积。

解：设正方形木板的边长为x 米，则正方形的面积为x 2平方米，锯下的长方形面积为
x/2平方米，依题意得到方程：
18
65212=-x x ① 解方程得：6131=x 或6
102-=x (不合题意，舍去)。

锯去的面积为121361321=⨯。

可是在小学范围内没有学过一元二次方程，我们注意到方程①可以变形为：
22)41(418654)41(4⨯+⨯=-x 即22)2
1(18654)]21([+⨯=-+x x ② 21-x x 和恰好是剩余的长方形的长和宽，2)]2
1([-+x x 就是一个正方形面积，而18654⨯是4个剩余的长方形面积，2)2
1(是边长为2
1的正方形面积。

形象化的思考方法：我们将四块剩余的长方形和一个小正方
形拼在一起得到图2的大正方形，大正方形的面积是
62362336529)21(186542⨯==+⨯，所以，大正方形的边长是623。

大正方形边长为阴影部分的（长+宽），长=宽+1/2，
所以阴影部分的长=6132)21623(=÷+,锯去的面积为12
1361321=⨯。

此题算术解法的“奇思妙想”给人以美的享受。

例3：今有女不善织，日减功，迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织毕，问织几
何？
解：这是一个等差数列求和问题，等差数列求和公式项数末项首项⨯+=2
s 。

即该女共织90302
15302301=⨯+=⨯+=a a s ① ②
图2
}{n a 为等差数列代数学中推导等差数列求和公式的过程是这样的：
n n n a a a a s ++++=-121 ①
121a a a a s n n n ++++=- ②
①+②得：)())1(2()()()(2111121n n n n n a a n d n a n a a a a a a s +=-+=++++++=- 。

从得到等差数列求和公式：n a a s n n ⨯+=2
1 算术“奇思妙想”：假设该女有个妹妹，妹妹善织，每天织布都比前一天多一点，而且
姐姐少织多少，她就多织多少。

如果她第一天织一尺，最后一天织五尺，也刚好三十天织完，那么，她所织的布总数就与姐姐一样。

现在把姐妹两人所织的布加起来：
姐姐所织＝5+……+1 (每天比头天少织同样多) 妹妹所织＝1+……+5 （每天比头天多织同样多） 两人所织＝6+……+6 （姐少织多少妹就多织多少）
可知两人共织布：
6×30＝180尺；
又姐妹两人所织布数相同，所以，姐姐只织布：
180÷2＝90尺。

例4.6.7（古埃及草片文书）把10斗大麦依次分给10个人，使每相邻两个人所得的大
麦都相差1/8斗，应该怎样分？
解：这也是一个等差数列问题。

已知数列和n S ，公差d ，求数列各项i a
又由于])1([)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=
n s na d n d d na +=-+++++=11])1(20[
其中d n d d s n )1(20-++++= ，所以 n
s S a n n -=1，从而: 数列{}i a 各项为：d n a d a d a a )1(,,2,,1111-+++
由题意知8/1,10,1010===d n S
8/458/98/38/28/10932010=+++++=+++++= d d d d s
16
7108/451010101=-=-=n s S a ，于是，这10个人依次分得： d a d a d a a 9,,2,,1111+++ ，即7/16，9/16，11/16……,25/16斗。

小学数学解法：假设第１个人没有分到大麦，第2个人分到大麦1/8斗，第3个人分到
大麦2/8斗……。

则10个人依次分得：0, 1/8, 2/8, ……,9/8斗，按这种分法，则共分大麦45/8斗；
然后，与实际情形比较，少分大麦35/8斗；再将所剩35/8斗大麦平均分给这10个人，每人再分7/16斗，于是，这10个人依次分得7/16，9/16，11/16……,25/16斗。

由此可见，对某些小学数学难以解决的问题，如果先用代数方法加以解决，便可从中受到启示而寻找一种技巧性的算术解法，从思想方法上，运用这样的“高”观点，将会使我们在小学算术问题解决上思路大为开阔，方法更加灵活有效，从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。

作者简介：
蒋晓云，1963，男，广西桂林人，桂林师专数学与计算机科学系教授，桂林市21世纪园丁工程导师，基础教育改革专家成员组成员，主要从事数学与计算机科学教育研究。

作者担任广西教育厅小学数学教师继续教育教材《综合数学教育》副主编，并担任小学数学方法论、数学论文写作编写任务，该书已由广西师大出版社出版2003。