河北省石家庄市辛集中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)

河北省石家庄市辛集中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1
一、选择题（本大题共16小题，共80.0分） 1. 设a >b >0，下列各数小于1的是( )
A. 2
a−b
B. (a
b )12
C. (a b
)
a−b
D. (b a )
a−b
2. 一元二次不等式−x 2+x +2>0的解集是( )
A. {x|x <−1或x >2}
B. {x|x <−2或x >1}
C. {x|−1<x <2}
D. {x|−2<x <1}
3. 若变量x ，y 满足约束条件{4x +5y ≥8
1≤x ≤30≤y ≤2
则目标函数z =3x +2y 的最小值是( )
A. 4
B. 23
5
C. 6
D. 31
5
4. 下列不等式的证明过程正确的是( )
A. 若a ，b ∈R ，则b a +a b ≥2√b a ⋅a
b
=2
B. 若x ，y ∈R +，则lgx +lgy ≥2√lgxlgy
C. 若x <0，则x +4x ≥−2√x ⋅4
x
=−4
D. 若x ∈R ，则2x +2−x ≥2√2x ⋅2−x =2
5. 己知函数y =log a (x −1)+2(a >0且a ≠1)恒过定点A.若直线mx +ny =2过点A ，其中m ，n
是正实数，则1
m +2
n 的最小值是( )
A. 3+√2
B. 3+2√2
C. 9
2
D. 5
6. 已知x ，y 满足{−1⩽x +y ⩽1
1⩽x −y ⩽3
，则3x −y 的取值范围是( )
A. [1,7]
B. [1,8]
C. [2,7]
D. [−1,7]
7. 设a,b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ={a,a ≤b b,a >b ,a ∨b ={b,a ≤b
a,a >b
若正数a,b,c,d 满
足ab ≥4,c +d ≤4，则( )
A. a ∧b ≥2，c ∧d ≤2
B. a ∧b ≥2，c ∨d ≥2
C. a ∨b ≥2，c ∧d ≤2
D. a ∨b ≥2，c ∨d ≥2
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=x3−2x2，则f(3)=()
A. 9
B. −9
C. 45
D. −45
9.曲线y=xe x+2x+1在点(0,1)处的切线方程为()
A. y=−3x+1
B. y=3x+1
C. y=2x+2
D. y=−2x+2
10.已知a，b为空间中的两条相互垂直的异面直线，P为两直线外一点，过点P作与a平行且与b
垂直的平面，这样的平面个数是()
A. 0
B. 1
C. 无数
D. 0或1
11.三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的()
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
12.正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是()
A. √3
3B. √3
6
C. √2
6
D. 1
6
13.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为√5，左视图为边长是1的正方
形，俯视图为有一个内角为45°的直角梯形，则该多面体的体积为()
A. 1
B. 1
2C. 2
3
D. 2
14.设球O是棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1的外接球，M为B1C1的中点，点P在球面上运动，
且总有DP⊥BM，则点P的轨迹的周长为()．
A. 2√3π
B. 14
5π C. 2√70
5
π D. 4√5
5
π
15.已知三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个半径为√3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，M，
N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M=1
2
A1B1，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()
A. 3
10B. C. 7
10
D. √70
10
16.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为
棱PC，PB上的点，若PM∶MC=3∶1，且AN//平面BDM，则PN∶
NB=()
A. 4∶1
B. 3∶1
C. 3∶2
D.
2∶1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
17.下列函数中，在区间(1,+∞)上是增函数的是________(填序号)．
①y=−x+1；②y=1
；③y=−(x−1)2；④y=31−x．
1−x
18.在等比数列{a n}中，a n>0，a5−a1=15，a4−a2=6，则a3=____.
19.在斜二测画法中，一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则其面积为______ ．
20.一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为______．
三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）
21.已知函数f(x)=3mx2+mx−2(m∈R)．
(1)当m=1时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为R，求实数m的取值范围．
22.解关于x的不等式ax2+2ax+a+1>0(a∈R)．
23.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB//CD，PA=AB=AD=2，DC=
1，AD⊥AB，PD=PB=2√2.点M是PB的中点．
(1)证明：CM//平面PAD；
(2)求四面体MABC的体积．
24.如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB=BD=CD=2，M为AD中点，求点A到平面MBC的距离．
-------- 答案与解析 --------1.答案：D
解析：
本题主要考查不等式的性质以及指数函数和幂函数的性质，属于基础题．由不等式的性质以及指数函数和幂函数的性质进行判断即可．
解：∵a>b>0，
∴a−b>0，a
b >1，0<b
a
<1，
由指数函数以及幂函数的性质知，2a−b>20=1，
(a b )
1
2>(a
b
)0=1，
(a b )
a−b
> (a
b
)0=1，
 (b a )a−b< (b
a
)0=1，
故选D．
2.答案：C
解析：
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
把不等式−x2+x+2>0化为(x+1)(x−2)<0，求出解集即可．解：一元二次不等式−x2+x+2>0可化为x2−x−2<0，
即(x+1)(x−2)<0，
解得−1<x<2，
所以不等式的解集是{x|−1<x<2}．
故选C．
3.答案：B
解析：
本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各交点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．
解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=3x+2y，
画出不等式组表示的平面区域，作直线3x+2y=0，
平移直线当直线过点P(1,4
5
)时，目标函数值最小，
最小值为3×1+2×4
5=23
5
，
故选B．
4.答案：D
解析：解：A不正确，因为a、b不满足同号，也不一定满足都不为零，故不能用基本不等式．
B不正确，因为lg x和lg y不一定是正实数，故不能用基本不等式．
C不正确，因为x和4
x
不是正实数，故不能直接利用基本不等式．
D正确，因为2x和2−x都是正实数，故2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2成立，当且仅当2x=2−x相等时(即x=0时)，等号成立．
故选D．
根据基本不等式的使用条件，以及基本不等式的等号成立的条件，逐一检验各个选项，可得只有D 正确，从而得出结论．
本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．
5.答案：B
解析：
本题考查基本不等式求最值，涉及对数函数的性质，属基础题． 先求出定点，然后利用基本不等式求最值即可． 解：当x −1=1即x =2时，log a (x −1)+2恒等于2， 故函数y =log a (x −1)+2的图象恒过定点A(2,2)， 由点A 在直线mx +ny =2上，可得m +n =1， 由m >0，n >0，可得，
1m +2n =(1m +2
n )(m +n) =3+
n m +2m n ≥3+2√n m ⋅2m
n
=3+2√2 当且仅当n
m =2m n
即m =√2−1且n =2−√2时取等号，
故选B ．
6.答案：A
解析：
本题考查的知识点是不等式的性质，使用待定系数法，设3x −y =a(x +y)+b(x −y)，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握．
解：设3x −y =a(x +y)+b(x −y)，则{a +b =3
a −
b =−1，
解得：{a =1
b =2
，
∴3x −y =(x +y)+2(x −y)
∵{−1⩽x +y ⩽11⩽x −y ⩽3，∴1≤(x +y)+2(x −y)≤7， 即3x −y 的取值范围是[1,7]．。