一、正项级数和审敛法

n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
1
(1) sin ; n1 n
1
(2) n1 3n n ;
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
n1
n1
lim
n
un 2 un
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.
1 n1
例如：
n1
n
2
收敛,
1 n1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
n1
n1
n1
例6
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
例7
判别级数
n1
(1)n
1 2n
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(1
1 )n2 n
的收敛性.
解
un
1 (1 1 )n2 ,
2n
n
n
|
un
|
1 2
(1
1 )n n
e 2
1,
lim
n
|
un
|
0
故原级数是发散的.
四、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
n2 n 1
例 5 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
练习 判别下列级数的收敛性.
(1)n cos ,
n1
n
n1
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法 6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
n1
2 (1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n1
如果
lim
n
nun
l0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
n 2n
1
n
,
n1
1 5n
; 1
1
;
n2 n2 n
n1
tan
3n
;
1;
n1 ln(n 1)
(1-cos 1 );
n1
2n
n1
n2
2n n2 3
2;
n 1
ln(1
1 n3/2
).
n1
5nn!,
n1
4nnnn!,
n
n
n1 2n 1
二、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,
);(ⅱ)
lim
n
un
0,
则级数收敛,且其和 s u1,其余项rn的绝对值
rn un1.
(1)n
例 5 判别级数(1) n1
n
(2) (1)n n 的收敛性.
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
1
(4).
nn
n1
练习题: 判定下列级数的收敛性:
n1
1 5n
; 1
1
;
n2 n2 n
n1 tan 3n ;
1;
n1 ln(n 1)
(1-cos 1 );
n1
2n
n1
n2
2n n2 3
2;
n1
ln(1
1 n3/2
).
n1
5nn!,
n1
4nnnn!,
(
1)
n1
n
n
1
1
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1