无穷小与无穷大-无穷小的比较

x 2时，y x 2 是无穷小 x 1
x 1时，y x 2 是无穷大 x 1
(5) y lg x
x 1时，y lg x是无穷小 x 0 或x 时，y lg x是无穷大
(6) y

x2 x2
x
或x
2时，y

x 2 是无穷小 x2
(4)当x 1时，y x 1
是无穷大 是无穷小 是无穷大 是无穷小
(5)当x 0时，y 3 1 x
(6)当x

时，y

2 x2 2
(7)当x 时，y 3 x
(8)当x

时，y

1 3x
是无穷大 是无穷小 是无穷小 是无穷大
2. 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过
lim f (x) lim f (x)
xx0 ( x)
xx0 ( x)
例如，
lim 2x lim ln x
x
x0
注意：
（1） 无穷大是个变量，不是常数
（2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联
例1 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过 程中是无穷小和无穷大？

' '
'
21
在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因 子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种 方法称为等价无穷小替换法．
常用的无穷小替换有：(x 0)
sin x ~ x tan x ~ x ex 1~ x
arcsin x ~ x arctan x ~ x ln(1 x) ~ x
(1) y x2
解 x 0 时，x2 0, x 0 时，x2是无穷小
x 时，x2 , x 0 时，x2是无穷大
(2) y 1
解
x
x 1
时， 1 x 1

0
, x
时，
1 x 1
是无穷小
x
1时， 1 x 1

, x
1 时，
1 x 1
称无穷大.
如果函数 f (x)当 x x0 (x )时为无
穷大，按通常意义来说，极限是不存在的， 但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是 无穷大”并记为
lim f (x) (lim f (x) )
xx0
x
而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把 负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为
cos cos
x) x
x x2

lim
x0
x
x2
2 cos
x
1 2
23
(1)lim x2 sin 1 0
x0
x
(2)lim arctan x 0
x
x
sin 2x
(3) lim n
x2
0
cos n2
( 4) lim n n
0
2.4.3 无穷小的比较
我们记
1 x
，

2 x
，

1 x2
，它们
都是 x 时的无穷小量．但
lxim
x
0时，y
x 2 是无穷大 x2
例2 求 lim x sin 1 ．
x0
x
解 量；
因为
sin 1 x
1，所以
sin 1 x
是有界变
当 x 0 时，x 是无穷小量．
根据性质1.2，乘积 x sin 1 是无穷小量．即
lim x sin 1 0 ． x
x0
x
练习
求下列函数的极限
程中是无穷大和无穷小
(1) y x 1
x x

1(2时时) y，，xx
11 x13
是无穷小 是无穷大
x
时，1 x3
是无穷小
x0
时，1 是无穷大 x3
(3) y 1 x 1
x

时，
1 x
1
是无穷小
1
x 1时，
是正无穷大 x 1
(4) y x 2 x 1

1/ x2 lim x 1/ x

1 lim x x

0，

lim
x

lim 1/ x x 2 / x

1， 2

lim
x

2/ x
lim x 1/
x
2
lim2x ． x
1 ， 2 ，1 趋于零的情况 x x x2
x 10 100 1/ x 0.1 0.01
(2)若 lim c( c 是不等于零的常数)，
则称 与 是同阶无穷小量．若c 1，则称
与 是等价无穷小量．
关于等价无穷来自百度文库，有下面重要的性质．
定理4–4 设 ~ ， ~ ，且lim ' 存在， '
则
lim lim '

'
证明：
lim lim ' ' lim '
• 性质1 无限个无穷小之和仍是无穷小。 • 性质2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小 。
• 推论1 常数与无穷小之积是无穷小。 • 推论2 有限个无穷小之积是无穷小。
2.4.2 无穷大
定义1.10 如果 x x0(或 x )时， 相应的函数值的绝对值 f (x) 无限增大，则称 f (x) 当 x x0(或 x )时为无穷大量，简
无穷小量；当 x 1 时， (x 1)2是无穷小量
当 x 时， 1 ， x2
1 x2
是无穷小量．
我们经常用希腊字母 ， ， 来表示
无穷小量．
注意：
（1）无穷小是以零为极限的变量， 常数中只有零是无穷小
（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，
例如: f (x) 1 x
是无穷大
(3) y 1 x
x 解时，1
x

0
，所以
x

时，
1 x
是无穷小
x
0时，1 x

,所以 x
0
1
时， x 是正无穷大
练习一
1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？
(1)当x 时，y x2
(2)当x 时，y

1 x2
(3)当x 1时，y 1 x 1
第4节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小的比较
主讲： 唐辉成
1
2.4.1 无穷小
定义1.12 若函数 y f (x) 在自变量 x 的某个变化过程中以零为极限，则称在该 变化过程中, f (x)为无穷小量．简称无穷小．
例如，当 x 0 时，sin x ，3 x ，x3 是
1 000 0.001
10 000 0.000 1
0
2 / x 0.2 0.02 0.002 0.000 2
0
1/ x2 0.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01 0
定义1.14 设 、 是同一变化过程中
的两个无穷小量，
(1)若 lim 0 ,则称 是比 高阶的 无穷小量．也称 是比 低阶的无穷小量．
1 cos x ~ x2 2
22
例4–32 求极限
sin 2x lim x0 sin 5x
lim 2x x0 5x
2 5
例4–33
求极限
lim tan x sin x0 x sin x2
x
lim
x0
tan x sin x sin x2
x

lim
x0
sin x(1 x sin x2
当
x

时,
f
(x)

1 为无穷小
x
当 x 1时, f (x) 1 就不是无穷小
x
定理1.2 函数 f (x) 以 A 为极限的充分 必要条件是： f (x) 可以表示为 A 与一个无穷
小量 之和．即
lim f (x) A f (x) A 其中 lim 0．
无穷小的代数性质