多种种风险资产组合有效前沿

数学模型论文题目多种种风险资产组合有效前沿

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新疆农业大学数理学院

目录

摘要、关键词与定义 (3)

多种种风险资产组合有效前沿的定义 (3)

多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： (3)

部分选股数据处理及计算 (4)

结论 (7)

多种种风险资产组合有效前沿

作者： 指导教师：

摘要：针对投资者总希望用尽可能小的风险来获得尽可能大的收益，本文进行了有效组合的详细构建。文章中通过抽样的方式选取几只有代表性的股票来构建中国股票市场的有效前沿。

关键词：投资组合；有效前沿；股票市场；预期收益。

证券投资组合有效前沿的定义：有效边界是组合证券资产选择的重要基础。

根据现代证券投资组合理论，理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”这两个特征，即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最下化。在多种风险证券组合收益模型中，对于每一个给定的收益率水平，得到的对应投资组合的方差或标准差比在同样收益水平的任何组合的方差或标准差要来得小，称之为有效前沿。在均值—方差坐标系当中，组合的前沿是抛物线；在标准差—均值坐标系中，则是一条双曲线。收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合，位于组合前沿的上半部分，被称为有效前沿。为了更加具体地描述有效前沿，我们将采取浅入深出的方式来阐述这一问题。

多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： 设市场上有n 种证券，其收益率为x i （i=1,2…n ），x i 为随机变量。用向量的形式可以表示为：x=(x 1, x 2….x n )T 其数学期望与方差为:

E （x ）=[E(x1),E(x2),…E(x3)]=u=(u 1,u 2,…u n ) Var(x)=E((x-u)(x-u)T )=Σ=(σij )n*n

设投资组合投资于第i 种证券的比例为ω（i=1,2，…n ）, 用向量表示为：

ω=(ω1, ω2…ωn )T 这里Σωi=1

令 1T ω=1 其中 1T =（1,1...1）

这一组合的期望收益就是该组合所有证券期望收益的加权平均，即：

E （ωT x ）=ωT E(x)= ωT u

该投资组合的方差为：

Var （ωT x ）=E((ωT x-E （ωT x ）)( ωT x-E(ωT ))= ωT Σω 为了计算证券的有效前沿，我们假设投资组合的期望收益率为已知量，即ωT u=a ， 且有 1T ω=1,在此已知条件下，求符合限定条件的ω，使得组合的风险ωT Σω最小。

构造拉格朗日函数，得

L=ωT Σω-2λ11（ωT 1-1）-2λ2（ωT u-a ） ω

∂∂L

=2Σω-2λ1*1-2λ2*u 对ω求偏导，得 ω=Σ-1（λ11+λ2u ）

令 A=1T Σ-11 B=1T Σ-1u C=u T Σ-1u 带入ω，得

ωa =Σ-1⎪⎭

⎫

⎝⎛--2B AC aB C *1+Σ-1

u =

u B AC B aA B AC aB C 1

12

1*2--∑--+∑--

此证券组合预期收益ωa T x 的方差为 ()

X Var T a ωσ=2

⎪

⎭⎫ ⎝⎛∑--+∑--∑=--u B AC B aA B AC aB C T

a 1121*2ω 从而得到组合收益与方差的函数关系： 12

2

/12=---

A B AC A B a A σ

在平面上，该函数图形是一个以（0，B/A ）为中心，以σ=0和a=A/B 为对称轴的双曲线。由于必须保证σ>0,a>0,因此投资组合的可行区域为双曲线在第一象限内的一支。此外，可以求得点g （(1/A)^(1/2)，B/A ）为“全局最小方差组合”，

最小方差为：A

A g g 1

*1,/12-∑==ωσ在投资者理性投资的假设下，任何投资者都

不会选择g 点以下的组合，g 点以上的前沿是可行集中相同风险（方差）下受益最大的组合，即有效组合。

例：本文选取了具有代表性的为春兰股份 ，古越龙山，烟台万华

输入各个证券的预期收益率

五矿发

展春兰股

份

古越龙

山

烟台万华浙大网新

预期收益率-0.52%-0.77% 0.06%-1.16% -0.60%

标准差32% 26% 45% 36%

各个证券间的协方差矩阵

五矿发春兰股古越龙

烟台万华浙大网新

各个证券间的协方差逆矩阵

五矿发春兰股古越龙

烟台万华浙大网新

P= 21.64% 32.63% 32.52% 12.02% 1.20%

结论：马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。但以股票的历史收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时方差对结果影响较大，以股票的历史收益率的方差度量资产风险与相关性，可能会与实际方差矩阵存在一定的偏差。投资组合构建完成后，在实际运行中需要对投资组合进行分析，即计算投资组合收益情况。实际中，可能用收益率作为评价投资组合绩效的尺度和标准，操作性强，并不能真正评价业绩。因此仅仅计算出投资组合的平均收益率还不够，必须根据风险大小对收益率进行调整，即计算风险调整的收益率

谢辞

数学模型论文暂告收尾，这也意味着大三这一学期学习数学模型结束，在这里首先我向我的导师XX老师致以衷心的谢意。在苗老师的悉心的指导和言传身教下，我才能得以顺利完成这次数学模型论文工作，论文初稿与定稿无不凝聚着苗老师的心血和汗水，在我的模型的设计和处理期间，老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议。通过这次自己的实践写论文过程让我学到了不少东西，比如平时不注意的概念以及计算机的一些操作等。我觉得这对我以后写毕业论文会很有帮助，在这次的论文编写中遇到了很多问题也是我以后要注意的，在此我像帮祝我的老师同学们表示深深地感谢！真心的说一句谢谢！