第三章 独立随机变量序列

第三章 独立随机变量序列 Independent Random Variable Series

一、独立性与零一律

1. 独立性 Pr. space (,,)p ΩF

定义3.1.1 有限子集I T ⊂,If {

}()t

t

t I

t I

P A P A ∈∈=ΠI Then 事件族{,}t

A t T ∈⊂F 称为关于P 独

立的.{,}t t T ∈C 为F 的子集族,If 任意有限子集I T ⊂,有

{}()t t t I

t I

P A P A ∈∈=ΠI ,t t A t I ∀∈∈C

则称{,}t t T ∈C 为(关于p )的独立子集族.

特别,当t C 为F 的σ域(①c

t t

A A ∈⇒∈C C ；②n t n t A A ∈⇒∈U C C )时

{,}t t T ∈C 称为关于p 独立的t σ族.

命题 3.1.1 F 的子类族{,}t t T ∈C ,IF t T ∀∈,t C 为π类(,t t A B AB ∈⇒∈C C )and {,}t t T ∈C 为独立族,then

(1) {(),}t t t T σ=∈B C 为独立族；

(2) 若t B 的完备化σ域,则{,}t t T ∈B 为独立族.

系3.1.1 若独立子σ域族{,}t t T ∈B ,T 的互不相交子集{,}T J αα∈,则

{(,),}T t t T J ασα=∈∈B B 为独立族.

定义 3.1.2 (,,)p ΩF 上..r v 族{,}t X t T ∈,若{(),}t X t T σ∈是独立σ域族,则称{,}t X t T ∈是关

于p 独立的.

命题3.1.2 R.V .族{,}t X t T ∈为独立族⇔一切实数（有理数）t α,T 的任意子集I ,有

{()}()t t t t t I

t I

P X R X αα∈∈≤=≤∏I

初等Pr. CDF: ||i j X X ⇔11

(,,)()n

n i

i F x x F x ==∏L (CDF: Cumulative Distribution Function)

Proof. “⇐”显然.

“⇒”取{():}t t t X αα=≤C 为实数(或有理数）,用命题3.1.1即可.

命题3.1.3 If 独立..r v 族{,}t X t T ∈,{,}T J αα∈为T 互不相交的子集,{(,),}t f X t T J ααα∈∈ 为

Borel 族,Then {(,),}t Y f X t T J αααα=∈∈为独立R.V .族. 初等Pr. ||i j X X ⇔()||()f X f Y

命题3.1.4 If 独立..r v 族{,}t X t T ∈,,()t t t T f X ∀∈可积(非负),Then I T ∀⊂,有

[()][()]x t t t t I

t I

E f X E f X ∈∈=∏∏

初等Pr. ||i j X X ⇔ [()()][()][()]E f X f Y E f X E f Y = Proof. T 有限,0t T ∈0{:()}t f f X =G 可积

0000\{}\{}0[()][()][]=:(),\{},Borel t t t A t A t T t t T t t t E f X I E f x E I f A X t T t f δ∈∈⎧⎫

=⎪⎪⎨⎬⎪⎪∈∈⎩⎭

∏∏H 为可测函数 则{:Borel }B I B ⊃H 为集,且H 为G 类,由单调类定理则有H 可测,即0()f X 可积,有

000

[()][()][]t t t A t A t t t t E f X I E f X E I ≠≠=∏∏

类似于命题3.1.1的证明,对t T ∈依次逐个运用上面的做法,即可证明. 系3.1.4 {,}t X t T ∈为i...r v 族,可积,则I T ∀⊂,有[

][]t

t

t T

t T

E X E X ∈∈=∏∏

||X X ⇔()()()E XY E X E Y =

2. 零一律

定义：..'r v s {,1}n X n ≥,记*

1

(,)k

n X

k n σ∞

==

≥I B , 则称*B 为关于X 的σ域或尾事件域.

（严仕健P371） *

11

(,,)n

n n X

X σ∞

+==

L I B 为12,,X X L 尾σ代数,*B 中的事件称为12,,X X L 的

尾事件.

定理（Kolmogorov 0-1律）：If {,1}n X n ≥为...'i r v s , Then 其尾时间域*

B 中任一事件的Pr.必为0

or 1.

Proof: 1n ∀≥, *

(,1)k X k n σ⊂≥+B ⇒*

||(,)k X k n σ≤B ⇒*

1

||(,)k

n A X

k n σ≥=

≤U B 是域,也

是一个π类.由命题3.1.1⇒*

||()A σB

另一方面*

()(,1)k A X k B σσ=≥⊃⇒*

*

||B B ⇒*

A B ∀∈, 有()()P A P A A =I ⇒()0P A =. 系 3.1.3 If {,1}n X n ≥为...'i r v s ,*

B 为尾事件域,Then *

B 可测..r v Y 必为退化的.即Y 以概率1

为常数值 ()1P Y a ==, ()0P Y a ≠=.

Proof:c R ∀∈,*

{}Y c ≤∈B , 故()0P Y c ≤= or ()1P Y c ≤=.取0inf{:()1}c c P Y c =≤=then

00 c

≥⎩

故无论0c 有限or 无限,均有0()1P Y c ==. 系3.1.4：If ...'i r v s {,1}n X n ≥, then

(1) lim n n X →+∞

,lim n n X →+∞

为退化的；(⇒{lim ,}1n n P X →+∞

∃=;{lim ,}1n n P X →+∞

∃=)

(2){:lim }0 1n n P X or ω→+∞

∃=;P{:

}0 1n n X or ω→+∞

<+∞=∑

;1

P{:lim

0}0 1j n j n

X or n ω→+∞≤==∑ 定理3.1.2 （Borel-Cantelli 引理） (1) 事件列{,1}n A n ≥

1

()n

n P A ∞

+<∞∑⇒( ..)0n

P A i o =

(2) If {,1}n A n ≥为独立事件列, Then

1

()n

n P A ∞

==∞∑⇒( .

.)1n

P A i o = Proof :(1) (lim )lim {

}lim ()0n n k

n n n k n

k n

P A P A P A ∞

→+∞

→+∞

→+∞

=≥=≤=∑U

(2)

(lim )lim {}lim [lim

()]lim [lim (1())]m m

c

c c n

k k

k

n n m n m n k n

k n k n

P A P A P A P P A →+∞

→+∞→+∞

→+∞→+∞

→∞

==≥===−∏∏I

lim [lim

exp{()}]lim [lim exp{()}]0m

m

k

k

n m n m k n

k n

P A P A →+∞→+∞

→+∞→+∞

==≤−=−=∑∏

∴ (lim )1(lim )1c

n n n n P A P A →+∞

→∞

=−=

引理3.1.1 对正态分布的尾Pr.成立下列估计