第5章测量误差理论的基本知识

例 ：钢尺—尺长、温度、倾斜改正 水准仪 — i角 经纬仪 — c角、i角
注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。
2、偶然误差
在相同的观测条件下，对某个固定量 作一系列的观测，如果观测结果的差异在 正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶 然误差。
三、 运用误差传播定律的步骤
求观测值函数中误差的步骤：
1.列出观测值函数的表达式：
Z f (x1, x2,xn )
2.对函数式全微分，得出函数的真误差与 观测值真误差之间的关系式：
f
f
f
dZ

( x1 )d x1
( x2 )d x2
( xn
)d xn
式中，( f ) 是用观测值代入求得的值。
xi
3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：
mZ2

(
f x1
)
2
m12

(
f x2
)
2
m22







(
f xn
)2
mn2
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。
误差传播定的几个主要公式：
函数名称 倍数函数
函数式 z kx
函数的中误差
mz kmx
lim 0
n n
即 n , x l L（算术平均值）
n
说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。
二、 算术平均值中误差mL
因为
l 1 1
1
L n n l1 n l2 n ln
式中，1／n为常数。由于各独立观测值
的精度相同，设其中误差均为m。
VV









n1
条件：观测值真值 x 未知，
算术平均值L已知
其中 Vi —观测值改正数， Vi L li
证明： m
解：
i li x












n

VV











n1
（i=1，2，3，…，n）
Vi L li （i=1，2，3，…，n）
第五章 测量误差的基本知识
§5.1 测量误差的概念与分类 §5.2 偶然误差的统计特性 §5.3 评定精度的指标 §5.4 误差传播定律及其应用 §5.5 同精度独立观测量的最佳估值及其中误差 §5.6 广义算术平均值及权
本章要点
• 本章主要介绍测量误差理论的基础知识，包括误差的分类、衡量 精度的指标、误差传播定律、中误差的计算方法、同精度观测、 不同精度观测、权的含义等内容。学习过程中学生应重点掌握偶 然误差的统计特性、中误差计算、误差传播定律的应用、定权的 方法。
n(n 1)
34 1.1 6(6 1)
返回
)2
m12

f ( x2
)2
m22




( f xn
)2
mn2
返回
最佳估值的计算
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：
Lx l1 l2 ln l
n
设平均值的中误差为mL，则有
m2 L

1 n2
m2 1

1 n2
m2 2

1 n2
m2 n

1 m2 n
故
mL
m n
由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 1 倍。
n
三、精度评定
第一公式
m












n
条件：观测值真值 x已知
第二公式 m （白塞尔公式）
两式相加，有
即
设 Lx
Vi i L x 则
i vi
将上列等式两端各自平方，并求其和，则
VV 2 V n 2
将 v n L l 0 代入上式，则 vv n 2
又因 L x l x l x
3.2
m1 ，m2说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
二、容许误差（极限误差）
定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观 测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。这个限值就是容许（极限）误 差。
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
5.1.2 测量误差的来源
1. 仪器误差 2. 观测误差
观测条件
3. 外界条件的影响
如：i角误差、尺长误差等，一般由于仪器校正不完善所致 如：照准误差、读数误差等，由于观测者感官有限所致 地球曲率、大气折光等

mD 0.048(m)
二、 线性函数的误差传播定律
设线性函数为：
z k1x1 k2x2 knxn
式中 x1, x2, xn 为独立的直接观测值， k1,k2, kn 为常数，x1, x2, xn 相应的
观测值的中误差为 m1,m2, mn 。
mz k12m12 k22m22 kn2mn2
即：
lim n

n

0
（抵偿性）
3 粗差
• 测量中不小心出现的错误，例如，读错数、记错数，测错目标等
误差处理的原则：
1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。 2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵
消和削弱。 3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据
减少其影响。
返回
5.3 评定精度的指标 精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之
极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占 总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 ˝的只 有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中 误差的没有出现。
中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。
三、 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
5.1 测量误差的概念与分类
• 5.1.1观测误差 • 真值：观测量客观上存在的一个理论值，用Δi表示。 • 观测值：对某量观测所得的值，用Li表示 。 • 真误差：观测值与真值之差，用 i= Li -X表示。 • 测量误差或观测误差：表现为观测值与其真实值之间的差异。 • Δi= Li -180°
n
nn
故
2
2 n2

1 n2
[(21

22

2n )

21 2

2 2 3

2 3 4
]
2
n2
PQ n
（P≠Q）
由于 1, 2,, n 为偶然误差，它们的非自乘积
PQ仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特 性，即
n
推导过程：
设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差 公式为
i li x （i=1，2，…，n）
将上式相加得
1 2 n (l1 l2 ln ) nx
或
[] [l] nx
故
l x
nn
由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时，
解：1.函数式
D Dcos
2.全微分
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差
mD2
[(cos
) mD ]2
[(D sin )
m

]2
[(cos15) 0.05]2 [(50 sin15) 30 ]2
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
m1
02 22 12 (3)2 42 32 (2)2 (1)2 22 (4)2 10
2.5
第二组观测值的中误差：
m2
(1)2 22 (6)2 02 (1)2 72 12 02 (3)2 (1)2 10
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
5.1.3 测量误差的分类
1、系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如 误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称 为系统误差。
在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。
为独立观测值的中误差。
求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
f
式中：xi (i 1,2,, n) 是函数F对 xi的偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常 数，因此上式是线性函数，其中误差为：

0.01 200

1 20000
返回
5.4 误差传播定律及其应用
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。
函数形式
倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数
一、 一般函数
设非线性函数的一般式为：
z f (x1, x2 ,x3,, xn )
式中： xi 为独立观测值；m1, m2, m3,, mn
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K

D
1 D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
K1

m1
D1

0.01 100

1 10000
K2

m2
D2
偶然误差的特性
真误差 l x l 180
观测值与理论值之差
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界 性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、 区间性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；
④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增 加而趋近于零，
和差函数
z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
一般函数
Z f (x1, x2,xn )
mZ
f ( x1
lim PQ 0
n
n
VV
n
(n 1) VV
n
VV m2
n n 1
例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。
算术平均值L中误差是：
mL
m n
VV
间的离散程度。
评定精度的标准
中误差 容许误差 相对误差 极限误差
5.3.1 中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观
测，观测值l1， l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，
Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：
m
n
式中
21 22 23 ... 2n , i li x
mZ2

(
f x1
)2
m12
(x误f2 )差2 m传22 播定律 的(一xfn般)2 形mn2式
mZ
( f x1
)2
m12

(
f x2
)2
m22



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(
f xn
)2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D