凸函数(独门绝招3)

凸函数 独门绝招3

一、课本题的启示

题1（高中数学二（上）P 11）求证：

2

2

2(

)22

a b a b ++≤本题揭示的问题是：如果函数

2()f x x =，

则左式是()2

a b f +，

右边是()()2

f a f b +，

不等式()()()22

a b f a f b f ++≤

的几何意义如右图。（下凸函数中，自变量的平均值的函数值≤函数的平均值）

题2（高中数学课本一（上）P 102）证明：若

2

()f x x bx c =++，则

1212()()(

)22

x x f x f x f ++≤，

该不等式的几何意义如右 图。自变量的平均值的函 数值≤函数的平均值）

题3（高中课本（上）P 23）求证： ||||lg ||lg ||

lg 22

A B A B ++≥

，如果令 ()lg ,f x x =且 12||,||x A x B ==， 则不等式的几何意

义如右图。在上凸 函数中 1212()()

()22

x x f x f x f ++≥

） 从上我们可以得出凸函数定理如下：

(1) 如果函数()y f x =在区间D 上是上凸的，

则对于区间D 内的任意两个值12,x x ，恒有：

1212()()(

)22

x x f x f x f ++≥（简记平均的函数≥函

数的平均值）

(2) 如果函数()y f x =在区间D 上是下凸的， 则对于区间D 内的任意两个值12,x x ，恒有：

1212()()(

)22

x x f x f x f ++≤（简记

二、凸函数定理可以推广：

1、 若()y f x =是上凸函数，则

1231231212()()()

(1)(

)33

()()()

(2)(

)n n x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f n n

++++≥

++++++≥

L L

2、若()y f x =是下凸函数，则

(1)(2)

其几何意义是：三角形的重心

123123()()()

(

,)33

x x x f x f x f x G ++++在三角形的内部。

三、高中数学的初等函数中，属于凸函数的是： 1、上凸函数类：

11

(1),(,0).(2),(0,).y x y x x x

=∈-∞=-∈+∞

2(3)(0).(4)(01,0),(5)log (1).(6)sin ,[0,](7)cos ,[,].(8)tan ,(,0)222

n a y ax bx c a y x n x y x a y x x y x x y x x ππππ

=++<=<<>=>=∈=∈-

=∈-

2、 下凸函数类：

（1） (2) （3） (4) （5） （6） （7） （8）

(9) L 四、高考中的凸函数 1、（06江西）对R 上的可导的任意函数()f x ,

若满足：(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）

(0)(2)2(1).(0)(2)2(1)

(0)(2)2(1).D (0)(2)2(1)A f f f B f f f C

f f f f f f +<+≤+≥+>、、、

2、（06四川）已知函数2

2

()ln f x x a x x

=+

+ (0),()x f x >的导数是()f x '。对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：

（1）1212()()0()22

f x f x x x

a f ++≤>当时，

（2）12124,|()()|||a f x f x x x ''≤->-当时

g g

)

()2

a b f +g

g f(x 2

)

f(x 1)C

x 2x 112

2

x x +1

2

()()

2

f x f x +1

2

()

2x x

f +

3、（05北京）对于函数()f x 的定义域中任意 的1212,()x x x x ≠，有如下结论：

1212121212121212(1)()()();(2)()()();()()()()(3)0;(4)()22

f x x f x f x f x x f x f x f x f x x x f x f x f x x +=⋅⋅=+-++><

-

当()lg f x x =时，上述结论中正确的序号是：

4（05湖北）在2

22,log ,,x y y x y x ===

cos 2y x =这四个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()()22

x x f x f x f ++>

恒成立的函数的个数是 （ ）

A 、0

B 1

C 、2

D 、3

5（02北京）如图所示，1234()()()()f x f x f x f x 、、、是定义在[0,1]上的4个函数，其中满足性质：对[0，1]中的任意1212121,,()(()())22

x x x x f f x f x +≤+恒成立的

只有 （ ）

6、（94文22）已知函数()log a f x x =，

1212,(0,)[()()]

x x f x f x ∈+∞+1

若。判断2

与

12()

2

x x f +的大小，并证明你的结论。

7、（94理22）已知函数 若 ： 121

2

1

[()()]()

2

2

x x f x f x f ++>

8、证明函数()lg(110)x

f x =+是凸函数。

9、求在ABC ∆中，求证：33sin sin sin A B C ≤

五、竞赛中凸函数

10、在ABC ∆中，求sin sin sin 222

A B C ++的最

大值是 （ ） A 、1 B 、2 C 32

D 、13

11、设a,b,c 均为正数，求证：

()()()3

()()()

2

ab a b bc b c ca c a a b b c c a ++

++

+≤

+++

六、对应练

12、若0,026a b a b >>+=且求lg 2lg a b +的最大值

13、若212a b +=,求122a b ++的最小值

14、在△ABC 中,sin

sin sin 222

A B C ++ 的最大值 是 ( )

31.1 .2 .23

A B C D

15、当423

,()(1)x x R f x x ∈=

+的最大值是 .

1.C 3.(2) (3) 4.B 5.A 10.C 1

2. 3lg2 1

3. 48 15.

427

tan ,(0,).

2y x x π

=∈1212,(0,),2x x x x π

∈≠且证明