小波信号坚持奇异点

小波分析在一维奇异信号检测应用中的应用研究

权爱娟

(德州学院物理系，山东德州253023)

摘要小波分析被誉为分析信号的显微镜，能精确刻画信号在小波变换下的局部奇异性。小波分析突破了传统傅里叶变换(Fourier Transform)等信号处理方法的限制，在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理，同时，各奇异点的位置，也可以由小波分析的局部模极大值性质检测出来，因而在检测信号性等方面具有广泛的应用价值。突变信号又称奇异信号，突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。

关键词小波分析；模极大值；奇异信号；傅里叶变换；

1 绪论

小波分析是傅里叶分析思想的发展与延续，它自产生以来，就一直和傅里叶分析密切相关。信号的奇异性分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换(Fourier Transform)一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。小波变换具有时－频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。在处理信号的领域，对原始信号进行一系列的变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，以获得更多的信息。根据傅立叶变换的理论，在一定的条件下，一个周期函数可以表示为傅立叶级数。傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息在许多情况下，具有实际的物理意义，所以傅立叶变换得到了广泛的应用。但是，这种理论具有一定的局限性，那就是不能表达信号的时域信息，所以应用十分受限。后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达信号的时域信息，但是在空间中的分辨率是固定不变的，应用起来不够灵活，信号的瞬态的特点不能被很好的表达出来。

数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性,该点就是奇异点。信号的突变点往往包含重要的信息。如果一信号在某个时刻的一个小邻域内发生了突变，那么信号的整个频谱都将会受其影响。突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息，因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅里叶变换是不够的。小波分析突破了传统傅里叶

变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征。

2 小波分析的理论基础

在信号处理的领域中，存在众多的频域分析方法，其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息，傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法，但是傅里叶分析方法严重的不足在于不能表达时域信息，应用很受局限，小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征，在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。

2.1 小波分析简介

在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，小波分析是自1986年以来由Y1Meyer，S1Mallat及I1Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analy2sis) 划时代的发展结果。小波分析方法是一种窗口大小（既窗口面积）固定但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可改变的时域局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。在大尺度下，可以将信号的低频信息(全局)表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频(局部)特征反映出来。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。

小波分析属于时域分析的一种，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间—尺度（时间—频域）分析方法，具有多分辨率分许的特点，而且在时域和频域两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜。小波分析已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障与监控、分析以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方都可以用小波分析来代替。小波分析优于傅里叶变换的地方就是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波变换具有空间局部化性质，小波变换系数由该点附近的局部信息所确定，因此小波变换能够很好的分析信号的奇异点的位置和奇异点的强弱。

奇异点的位置可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极大曲线来检测；而信号点的奇异性强弱（在数学上，通常用Lipshitz 指数来刻画信号奇异性的大小）可以由小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。

2.2 小波分析的理论基础

设()()R L t 2⊂ϕ(()R L 2表示平方可积的实数空间，既能量有限的信号空间），其傅里

叶变换为()ωϕˆ。当()ωϕˆ满足允许条件（Adimissible Condition ）：

()∞<=⎰ωωωϕϕd c R 2

ˆ （2.1） 时，我们称()t ϕ为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet ）。讲母函数()t ϕ经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。

对于连续的情况，小波序列为

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=a b t a t b a ϕϕ1

, 0;,≠⊂a R b a (2.2) 其中，a 伸缩因子，b 为平移因子。

对于离散的情况，小波序列为

()()k t t j j k j -=--222,ϕϕ Z k j ⊂, (2.3) 对于任意的函数()()R L t f 2∈的连续小波变换为

()()dt a b t t f a f b a W R b a f ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==⎰-ϕϕ21,,, （2.4） 其逆变换为 ()()dadb a a t b a W a C t f f R R ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎰⎰+ϕϕ,11

2 （2.5） 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形

[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+±∆-±⨯∆+∆-a a a b a b ϕωϕωϕϕˆ,ˆ,00 ，窗口中心为⎪⎭

⎫ ⎝⎛±a b 0,ω ，时窗宽和频窗宽分别为ϕ∆a 和a ϕˆ∆。其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影

响窗口在频率轴上的位置的，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上