矩阵位移法心得

矩阵位移法心得

-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

结构力学学习心得

——矩阵位移法

结构力学是力学的分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律以及如何进行结构优化的学科。所谓工程结构是指能够承受和传递外载荷的系统，包括杆、板、壳等以及它们的组合体，如飞机机身和机翼、桥梁、屋架和承力墙等。结构力学的任务是：研究在工程结构在外载荷作用下的应力、应变和位移等的规律；分析不同形式和不同材料的工程结构，为工程设计提供分析方法和计算公式；确定工程结构承受和传递外力的能力；研究和发展新型工程结构。 结构力学中的求解方法有很多种，比如力法、位移法、力矩分配法、矩阵位移法，在结构动力学中还有刚度法、柔度法、极限荷载法等等。在一个半学期的结构力学学习中，我对矩阵位移法犹为深刻，而且较为难理解，在结构力学书里短短的一章书，学校就安排了我们为期十周的学习，可见矩阵位移法的重要和学习的难度。

首先简单介绍一下矩阵位移法：矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机作为运算工具的综合分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习的重点。

引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩阵位移法从手算的角度来看运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。

矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析，同时把整个结构看作是由若干单个杆件（称为单元）所组成的集合体作为基本思路。单元分析：首先把结构拆散成有限数目的杆件单元（结构的离散化），写出各单元杆端的力与位移两者的关系式。整体分析：将这些单元再集合一起，使其满足平衡条件和位移连续条件，也就是保证离散化了的杆件单元重新集合后仍恢复为原结构。

一般单元局部坐标下的单元刚度方程：

323222323222000012612600646200000012612600626400e EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l k EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

一般单元坐标转换矩阵：

整体坐标系下的单元刚度矩阵：利用公式 ，可将局部坐标系下的单

元刚度矩阵转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵。

结构原始刚度矩阵的组装：将各单元整体坐标系下的单元刚度矩阵的四个子块按其下标，放入结构刚度矩阵中相应的位置即可组成总刚。可简单表述为：“对号入座，同号相加”。

非结点荷载的处理：根据位移等效的原则，首先对结点的位移加以阻止，得到各单元的固端力，然后取消约束即将上面得到的固端力反号后作为荷载加在结点上，就得到了等效结点荷载。

支承条件的引入：根据已知结点位移，对结构的原始刚度矩阵进行修改；通常采用划入与已知为零的结构位移对应的行和列得到修改后的结构刚度矩阵。

计算出结点位移后，在计算各单元杆端力时应将前面计算的固端力考虑进去。

通过上述分析，可将矩阵位移法的计算步骤总结如下：

(1) 对结点、单元进行编号，选定结构坐标系及局部坐标系。

(2) 建立单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。

(3) 建立单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵。

(4) 形成结构原始刚度矩阵。

(5) 计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载。

(6) 引入支承条件，修改结构原始刚度方程。

(7) 解刚度方程，求结点位移。

(8) 计算各单元杆端内力。

另外，移法计算刚架时，亦可忽略轴向变形的影响。由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡结点线位移相等者编号亦相同。但当有斜杆等情况时，这样处理并不方便。忽略轴向变形另一方便的办法是采用前面讲的一般方法（即每个结点位移分量均作为独立未知量求解），但将杆件的截面面积A 输为很大的数（例如比实际面积大104～106倍），就可得到满意的结果。同时我们可以用力矩分配法进行比较，如书本课后练习题10—4。与力矩分配法最大的不同是，力矩分配法是忽略了轴向变形，通过计算我们可以知道，两种不同的算法在弯矩值上，每个单元平均都有。的差值，比较上来说矩阵位移法的答案更为精确，但力矩分配法的解题步骤，解题方法和计算是十分简单的，所以它更适用与简单结构粗略计算，能快速得到我们所需要的值。但对于复杂结构，精确计算，则用矩阵位移法，同时把它与计算机程序结合计算尤为简单。

[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000cos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααe T [][][][]e e T e e T k T k =

最后为了更方便的编写程序，我在这里说明支承条件这一点，矩阵位移法，是把包括支座在内的全部结点位移分量都先看作是未知量而依次编号，每一单元的所有元素都对号入座以形成总刚，然后再处理支承条件，这种方法称为后处理法。如果先考虑支承条件，则可以将已知的结点位移分量编号均用0表示。单刚中凡与0对应的行和列的元素均不送入总刚，这样便可直接形成缩减后的总刚。这中方法就称为先处理法。先处理法更适用与手算，这样处理的话可以减少不小的计算量，但在当今计算机普及的年代后处理法使用更为广泛而且对于编写的语句更加简单，但这样形成的总刚阶数较高，占用存储量大，不过对于现在高级的计算机硬件，这已经不算是一个难题。还有，为什么我们要引入支承条件。我们可要牢记的是在计算时所形成的单元刚度方程的单元是一个自由单元，两端是没有任何的支承约束，因此杆除了由杆端力引起的轴向变形和弯曲变形外，还可以有任意的刚体移动，固所给定的力不能求得唯一的位移解，所以要增加足够的约束条件。

总之矩阵位移法是结构力学中最重要的章节之一，其原理奠定了用电脑计算结构强度和刚度的基础。随着土木工程结构的计算普遍采用电脑软件进行，结构力学课程中矩阵位移法这一章节也显得日益重要。由于计算机计算必须采用矩阵运算的方式进行，因而矩阵位移法整个推导过程和解题方式都与线性代数密不可分，而线性代数是工程数学中的较为抽象难学的一支，并且它用于解释结构力学课程中难学章节之一的位移法，故其学习的难度对于我们来说是可以想见了。但在老师的指导下通过半学期的有效学习，我们已经掌握了矩阵位移法，而且能够通过计算机计算出大部分结构体系。可是学无止境，我知道只是通过考察是远远不够，以后的日子我们还需要更加努力地深入学习，优化编写更有效率的程序，为以后的学习或工作提供更有效率的途径。