多元函数无条件极值充分条件的推广形式

函数的极值是高等数学中微分应用的重要内容, 多元函数的极值是重要的组成部分, 也是 高等数学教学中的重点与难点。现行的 高等数学 !教材中讨论了二元函数无条件极值的充 分条件。
定理: 设函数 z = f (x, y ) 在点 (x0, y0 )的某邻域内有一阶及二阶连续偏导数, 又 fx ( x0, y0 ) = 0, fy ( x0, y0 ) = 0。
dx
2 1
+
dx22 + ∀ +
dx2n &
0
时,
d2 u > 0, p0
即
u = f (p ) - f ( p0 ) > 0, 则 f ( p )在点 P0 取得极小值, f 是负定的充分必要条件是 - f 是正定的, 于是当 - A 的各阶顺序 主子式全大于零,
当
则 f ( p )在点 P0 取得极大值, 若矩阵
- ai1 - ai2 ∀ - aii
全大于零, 则函数 u = f ( p ) = f ( x1, x2, ∀, xn ) 在点 P0 取得极大值; ( 3)若矩阵 A = ( ai, j ) nn 有偶数阶主子式小于零, 则函数 u = f ( p ) = f (x 1, x 2, ∀, xn ) 在点
例2 求 在条件
f (x1, x2, ∀, xn ) = x1 x2 ∀xn, 其中 xi ∋ 0, ( i = 1, 2, ∀, n ),
下的极值。 解: 由条件得
将上式代入目标函数中。
x1 + x2 + ∀ + xn = a x1 = a - ( x2 + ∀ + xn )。
f ( x1, x2, ∀, xn ) = g ( x2, ∀, xn ) = ( a - x 2 - ∀ - xn ) x2 ∀xn。 由
2
xi xi f (p0 ),
又因为
n
2
%i= 1
xi xi
f ( p0 ) = d2 u = X ∃AX, p0
故 u的符号可由 X ∃AX 的正定性来判别, 由代数理论 [ 3] 可知, X ∃AX 是正定的充要条件是矩阵
A 的顺序主子式全大于零, 故当 A 的各阶顺序主子式 P i 全大于零时, X ∃AX 是正定的。 当
x1 = x2 =
∀ = xn =
a n
处取得极大值
a
n
。
n
例 2是条件极值中的典型问题, 还可以用拉格朗日乘数法来求解, 但拉格朗日乘数法只能
求出其稳定点, 不能进一步判别该稳定点是否为极值点。 6利用本文的方法虽然能判别稳定
点是否为极值点, 但要求问题的条件中某个ຫໍສະໝຸດ Baidu量易于显化。
3 结语
多元函数极值原理在很多学科中都有应用, 本文利用多元函数的微分学及线性代数中有 关的理论, 将二元函数求无条件极值的充分条件推广到一般的情形中。推广后的充分条件可 用于多元函数的情形, 可以解决多元函数的无条件极值和条件变量易于显化的条件极值问题, 具有实用意义。
fxi (P 0 ) = 0, ( i = 1, 2, ∀, n )。 记
记矩阵
ai, j = fx ixj (P0 ), ( i = 1, 2, ∀, n, j = 1, 2, ∀, n)
a11 a12 ∀ a1n
- a11 - a12 ∀ - a1n
A = a21 a22 ∀ a2n , ∀∀∀∀
令: fxx (x 0, y0 ) = A, fxy (x0, y0 ) = B, fyy ( x0, y0 ) = C,
则 f ( x, y )在 ( x0, y0 )处是否取得极值的条件如下: ( 1) AC - B2 > 0时具有极值, 且当 A < 0时有极大值, A > 0时有极小值; ( 2) AC - B2 < 0时没有极值; ( 3) AC - B2 = 0时可能有极值, 也可能没有极值, 需另作讨论。 该定理有很大的局限性, 利用它只能解决二元函数的条件极值问题, 而实际问题中常常会
2
f (p0 )
其中,
n
% Rn
=
1 ( n + 1)!
i= 1
n+ 1
xi xi
f ( p0 ),
p 0 为 U (p0 )内的某个定点。 因此, 当函数在点 P0 的某邻域内具有二阶连续偏导时,
n
其正负性与 % i= 1
% u =
f(p)
-
f (p0 )
=
1 2!
n i= 1
2
xi x i f ( p0 ) 相同。
d2 u
=
p0
d2f (P 0 )
=
fx
1x1
(P
0
)
dx
2 1
+
fx1x 2 (P0 ) dx1 dx2
+
∀+
fxnxn (P 0 ) dx2n
= a11 dx21 + a12 dx1 dx2 + ∀ + a1n dx1 dxn + a21 dx2 dx1 + a22 dx22 + ∀ + ann dx2n。
从而将上述定理可类比推理成如下的结论。 设 n元函数 u = f ( p ) = f ( x1, x2, ∀, xn )
作者简介: 陈允杰 ( 1980 ) , 男, 江苏盐城人, 硕士, 讲师, 研究方向为数值计算与模式识别, p riestcy@j nu ist. edu. cn.
# 14#
在点 P 0 的某邻域内有二阶的连续偏导数。 又设 P 0 是该函数的稳定点, 即
参考文献:
[ 1] 华东师范大学数学系. 数学分析 [ M ] . 第 2版. 北京: 高等教育出版社, 1991.
[ 2] 刘玉琏. 数学分析讲义 [ M ] . 下册. 北京: 高等教育出版社, 1984. [ 3] 王萼芳. 高等代数 [ M ] . 北京: 高等教育出版社, 2003.
# 18#
- A = - a21 - a22 ∀ - a2n , ∀ ∀∀∀
an1 an2 ∀ ann 则:
( 1)若矩阵 A = ( ai, j ) nn 的各阶顺序主子式
- an1 - an2 ∀ - ann
a11 a12 ∀ a1i
P i = a21 a22 ∀ a2i , ( i = 1, 2, ∀, n ) ∀ ∀∀∀
第 31卷 第 2期
气象教育与科技
2008年 总第 83期
多元函数无条件极值充分条件的推广形式
陈允杰
( 南京信息工程大学 数理学院, 江苏 南京 210044 )
摘要: 利用类比推理的方法, 将二元函数无条件极值充分条件推广到一般的多元函数 的情形中, 然后利用多元函数微分学及线性代数的矩阵理论将它证明, 并举例说明。 关键词: 多元函数; 无条件极值; 充分条件
a11 = 2, a22 = 2, a33 = 2, a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0, 则
200 A = 0 2 0,
002 显然其各阶顺序主子式全都大于零, 故 u在点 P0 取得极小值 - 14.
利用该结论不仅可以解决多元函数的无条件极值, 同时还可以解决许多条件极值, 只要将 条件中的某个变量显化, 将其代入目标函数中, 从而将原来的条件极值化为无条件极值, 再用 本文的结论求解即可。
出现二元以上函数的无条件极值问题。笔者利用类比推理的方法将此充分条件推广到一般的 多元函数的情形中, 然后利用多元函数中的微分学及线性代数中的矩阵理论将它证明。
1 多元函数无条件极值充分条件的推广形式
上述定理的关键在于给出了驻点是否为极值点的判别条件, 观察其判别式的结构, 将判别 式写成行列式
= AC - B2 = A B BC
ai1 ai2 ∀ aii
全大于零, 则函数 u = f ( p ) = f ( x1, x2, ∀, xn ) 在点 P0 处取得极小值; ( 2)若矩阵 - A = (- ai, j ) nn 的各阶顺序主子式 - a11 - a12 ∀ - a1i
Q i = - a21 - a22 ∀ - a2i , ( i = 1, 2, ∀, n ) ∀ ∀∀∀
g ∃x2 = - x2 ∀xn + ( a - x2 - ∀ - xn )x3 x4 ∀xn = 0, g ∃x3 = - x2 ∀xn + ( a - x2 - ∀ - xn )x2 x4 ∀xn = 0,
- - -- - - - - - -
g∃xn = - x2 ∀xn + ( a - x2 - ∀ - xn ) x2x 3 ∀xn- 1 = 0, x1 + x 2 + ∀ + xn = a。
函数的情形, 利用该结论可以解决三元及其以上多元函数的无条件极值, 举例如下。 例 1 求 u = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z 的极值。
ux = 2x + 2 = 0 解: 由 uy = 2y + 4 = 0, 得稳定点 P0 ( - 1, - 2, 3)。
uz = 2z - 6 = 0 可求得 P0 (- 1, - 2, 3) 处的二阶偏导数:
P0 没有极值。 证明: 设多元函数
u = f ( p ) = f ( x1, x2, ∀, xn ), 则:
由已知
du = df (p ) = fx 1 (p ) dx1 + ∀ + fxn (p ) dxn
du
=
p0
df ( p0 ) =
fx1 ( p0 ) dx1 + ∀ + fx n ( p0 ) dxn
解上面的方程组得
x1 = x2 = ∀ = xn = an。 易求得在该稳定点处由各二阶偏导数组成的极值判别矩阵为:
# 17#
2 1∀ 1
1 2∀ 1
-A = b
,
∀∀ ∀ ∀
1 1∀ 2
其中
b=
a
n- 2
。
n
容易验证矩阵 - A 的各阶顺序主子式全大于零。
由此可得函数
在该稳定点
f ( x1, x2, ∀, xn ) = x 1x2 ∀xn
设
X ∃ = ( dx1, dx2, ∀, dxn ), 则:
# 15#
d2 u = X ∃AX。
p0
由多元函数的泰勒公式 [ 1, 2] 可知:
n
u = f(p) - f (p0 ) = % i= 1
% x i
xi
f (p0 ) +
1 2!
n i= 1
x i xi
n
% +
∀+
1 n!
i= 1
n
x i xi f (p 0 ) + Rn。
d2 u < 0, p0
A = ( ai, j ) nn
有偶数阶主子式小于零时, X ∃AX 既非半正定也非半负定,
d2 u
p0
取值可正可负, 故 f ( p )在点 P0 没有极值, 定理得证。
# 16#
2 多元函数无条件极值充分条件推广形式的应用
该多元函数极值充分条件的推广形式将二元函数的无条件极值的充分条件推广到了多元