三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

一、基础知识回顾

1. 以下说法错误的是

①零向量与任一非零向量平行 ②零向量与单位向量的模不相等

③平行向量的方向相同或相反 ④平行向量一定是共线向量

2.下列四式不能化简为AD 的是 ①BC CD AB ）＋＋（ ②）

＋）＋（＋（CM BC MB AD ③－ ④CD OA OC ＋－ 3. 设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()

2b a --r r 共线，则λ= 4. D 是△ABC 的边AB 上的中点，则用、表示向量=

5. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为

6. 与向量a ==⎪⎭

⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等，且模为1的向量是

7. 已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，

其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2

λ<⋅恒成立时实数λ的取值范围是

8. 已知向量OP X 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为

坐标原点），那么⋅的最小值是_________________．

二、例题精讲

例1. 向量),1,(),2,1(x b a == （1）当2+与-2平行时，求x ；

（2）当2+与-2垂直时，求x .

例2. 已知61)b a (2)b 3a (23,|b |4,a =+•==－｜｜, (1)求b a •的值； （2）求的夹角θ； （3）求+的值

例3. 设a 、b 是两个不共线的非零向量（R t ∈）

（1）记),(31,,b a OC b t OB a OA +=

==那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？

（2）若ο1201||||夹角为与且b a b a ==，

那么实数x 为何值时||b x a -的值最小？

例4. 已知向量)sin 1,sin 1(x

x -=，)2cos ,2(x b =. （1）若]2

,0(π∈x ，试判断与能否平行？ （2）若]3

,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.

例5.已知A 、B 、C 的坐标分别是A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.

（1）若AC BC =u u u r u u r ，求角α的值；

（2）若1,AC BC ⋅=-u u u r u u r 求2

2sin sin 21tan ααα

++的值．

三、巩固练习

1．设四边形ABCD 中，有=21，且||=||，则这个四边形是 2．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为

3．|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a －4

3b 的位置关系为 4．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 ．

5．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C

能构成三角形，则实数m 满足的条件是

6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ

的取值范围是

7. 已知向量a (cos ,sin )θθ=,向量b 1)=-，则|2a －b |的最大值、最小

值分别是

8. 以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使ο90=∠A ，则的坐标为

9.在ABC ∆中,已知()()k AC AB ,1,3,2==,且ABC ∆的一个内角为直角,

求实数k 的值。

10. 已知向量),1

1(),1,(2x mx mx -=-=（m 为常数），且,不共线，若向量a ,b 的夹角为锐角，求实数x 的取值范围.

11. 已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0，

（1）用k 表示a ·b ;

（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。

12. 已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，5

a b -=r r ． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13

β=-，求sin α的值

备用题：已知向量⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos ,23sin ,23cos θθθθb a ρρ,且,2,0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈πθ ()b a m b a f ρρρρ+-⋅=2θ的最小值是23-,求实数m 的值.