第2讲 分布参数回路的过渡过程

)
u(x,t) Zi(x,t) 2uq (x vt)
设：
imk
(t)
1 Z
um (t)
I m (t
)
于
是
：
Im
(t
)
1 Z
uk
(t
)
ikm
(t
)
21
imk
(t)
1 Z
um (t)
I m (t
)
得到如图所示的线路末端
m 在时刻 t 的等值计算电路
Z：阻值等于线路波阻抗的电阻
Im (t ) ：等值电流源
12
注意事项
1. 利用特性线方程求出的解一般是针对空间上的一点或几个点。若 该点左右皆为分布参数电路，前行特性线从正方向逼近该点，反行特性 线从反方向逼近该点。
2. 若该点一端为分布参数，另一端为集中参数，则分布参数用特性线 逼近，集中参数用电路方法计算。
3.
特性线的位置需由边界条件或起始条件来决定。
imk
(t)
1 Z
um (t)
I m (t
)
Ik (t
imk (t
)
1 Z
um
(t
)
imk
(t
)
)
1 Z
um (t
)
Im (t
2
)
Ik
(t
)
2 Z
um (t
)
I m (t
2
)
I
m
(t
)
1 Z
uk
(t
ikm (t
)
1 Z
uk
(t
)
) ikm (t )
I
k
(t
2
)
Im
(t
)
2 Z
uk
(t
)
Ik
(t
(t
)
设： I k
(t
)
1 Z
um
(t
)
imk
(t
)
23
首端 k 在时刻 t 的等值计算电路
ikm (t)
1 Z
uk
(t)
Ik
(t
)
I
k
(t
)
1 Z
um
(t
)
imk
(t
)
末端 m 在时刻 t 的等值计算电路
imk (t)
1 Z
um (t)
I m (t
)
Im
(t
)
1 Z
uk
(t
)
ikm
(t
)
24
等值电流源递推公式
i iq i f
uq
Z iq
u f Z i f
其中u、i为导线上任意一点的电压和电流。
电压的正负取决该点的电荷的正负，与电荷的流向 无关。
8
3、波过程计算的基本方法
波的折射与反射（折射系数、反射系数） 等值集中参数定理（彼得逊规则） 波的多次折、反射（网格法的数值计算） 多导体系统的波过程 线路损耗对波过程的影响 波过程数值计算方法 网格法：用等值线段来代替储能的集中参数元件。 特征线法（Bergeron贝瑞龙）：求解线路上的波过程。
电路中共有三个独立节点，因此导纳矩阵 Y为33方阵。写出节 点方程如下：
1
R
1 RL
-1 RL
1 RL
1 1 RL Z
0
0
0
0 1 Z
u1 (t)
u
2
(t
)
u
3
(t
)
e(t )
R
I
L
(t
t)
I
L
(t
t
)
I
2
(t
I3 (t )
36
根据R、RL、Z的数值可以计算出节点导纳矩阵如下：
ikm (t t)、uk (t t)
、um (t t)
运用梯形积分公式得
求 t 时刻：
ikm (t)、uk (t)、um (t)
27
其中
uL (t) uk (t) um (t)
28
画出等值计算电路 新的等值电流源递推公式 ，无 ikm (t t)
1 I L (t t) ikm (t t) RL [uk (t t) um (t t)]
34
电源内阻R 和电压源作为一个整体转换成内阻为R 的电流源。取 计算时间步长t=100s，各参数、等值计算电路如下：
Z (L0 / C0 )1/ 2 267.59
l / v 1000 mS
v 1/(L0C0 )1/ 2 3.0 105 mS RL 2L / t 6000
35
性线和负载特性线曲线的交点2b，决定 t 时刻B点的电压和电流
值
17
t = 时由末端出发的反行特性线，必然是通过2b点且斜率为Z
的直线。它和 uA f (iA )
的交点2a决定t 2 时A点的电压。
依此类推，可以画出线路首端和末端的电压波形，如图所示。
18
2、 Begeron数值计算法
步骤 1. 采用Begeron特征线法处理分布参数线路及储能元件，
iq if
(x (x
vt) vt)
uq (x u f (x
vt) / Z vt) /
Z
Z L0 / C0
得到前行波的特性线方程: 和反行波的特性线方程：
u(x,t) Zi(x,t) 2uq (x vt) u(x,t) Zi(x,t) 2u f (x vt)
如果空间坐标和时间均静止，则等式右边为常数，这时公式对应的图中线段称 之特性线。由此将原方程称之为特性线方程。
0.100167 - 0.000167 0
Y - 0.000167 0.003903
0
0
0
0.003737
37
因为合闸以前电路处在零状态，节点方程中等值电流源IL(tt)、I2(t-)、I3(t-)的起始均为零
f
(iA )
其交点1a决定t = 0时刻A点的电压和电流
16
u uA1=a f (iA)
uA 2a
u(t)
uA(t)
2b
uB=g(iB)
1b
uB(t)
i 0 2τ 4τ 6τ 8τ t
前行波经过时间 l / v后，到达末端B点。有
uB ZiB 2uq uB g(iB )
t = 0时刻出发的前行波特性线必须通过1a点，斜率为-Z，由前行特
根据计算结果更新等值电流源的数值，准备进行下一 步的计算
反复循环求解离散网络就可以得到以网络的暂态解
33
例1 空载无损线路合闸于工频电压源 。试求出网络的等值计算电路， 列出求解暂态的节点电压方程，并进行求解。 电路参数：R=10，L=0.3H，l =300km；
L0=0.885mH/km，C0=0.00001236mF/km
20
1. 单根无损线的Bergeron等值计算电路
在时刻 t- 从节点 k 出发(传播时间 =l /v )，在 t 时刻到达m点。从前行特
征方程可以得到如下方程：
uk (t ) Zikm (t ) um (t) Z[imk (t)]
整理得
imk
(t)
1wenku.baidu.comZ
um (t)
1 Z
uk
(t
)
ikm (t
波阻抗
u A L0 Z
i
C0
电磁波的概念
说明电压波和电流波互相伴随着沿导线传播过 程就是电磁波沿导线传播的过程
6
2、波过程计算的基本方程
电压、电流在分布参数回路中的一般规律：
2u x 2
L0C0
2u
t
2
2i x 2
L0C0
2i
t 2
7
2、波过程计算的基本方程
四个基本方程：
u uq u f
11
u
u
u+iZ = 常数
u - iZ = 常数
i
前行特性线
i
反行特性线
u(x,t) Zi(x,t) 2uq (x vt)
u(x,t) Zi(x,t) 2u f (x vt)
如果空间坐标和时间均静止，则等式右边为常数，这时公式对应的图 中线段称之特性线。由此将原方程称之为特性线方程。
特性线方程的求解，实质上就是求上述两条特性线的交点。
9
二、用特性线法（Bergeron）进行波过程计算
1. 特性线法及其简单回路波过程计算 2. Begeron（贝瑞龙）数值计算法
10
1、特性线法及其简单回路波过程计算
行波的特性方程
将
﹢ u(x,t) uq (x vt) u f (x vt)
i(x,t) iq (x vt) i f (x vt)
3
主要内容
一．均匀无损线的波过程 （复习） 二．用Bergeron特性线方法进行波过程计算 三．用模量变换法计算平行多导线系统的波过程
4
一、均匀无损线的波过程（复习）
1. 波过程的物理概念 2. 波过程的基本方程 3. 波过程计算的基本方法
5
1、波过程的物理概念
流动波的概念（引入波速） v 1 L0C0
得到等值网络（直流电阻网络） 2. 暂态计算是在各个时间离散点上一系列的等值网络的分
析计算 3. 对每一个时间离散点，可以对离散网络进行求解（例如
用节点法求解网络节点电压 ） 4. 反复循环求解离散网络就可以得到以网络的暂态解
19
Begeron数值计算法
1. 单根无损线的Bergeron等值计算电路 2. 电感的等值计算电路和相应的计算公式 3. 电容的等值计算电路和相应的计算公式 4. 电阻的等值计算电路 5. 应用于电力系统实际工程计算中
第2 讲 分布参数回路的 过渡过程
1
各种传输线 —— 架空线和电缆
分布参数等值电路
集中参数等值电路
2
考虑分布特性的必要性
雷电冲击的频率很高，波头很短（一般为780m），在研究 雷电冲击波对导线的作用时导线应按分布参数考虑
高压远距离交流输电线路虽然工作频率较低，波长很长 （6000km），但在输电线路长度很大，例如数百公里以上， 不论稳态或暂态也都宜用分布参数来研究
29
3. 电容的等值计算电路和相应的计算公式
微分方程：
ikm (t)
C
duc (t) dt
C
d[uk
(t) um (t)] dt
积分方程：
uk
(t)
um
(t)
uk
(t
t)
um
(t
t)
1 C
t
tt ikm (t)dt
运用梯形积分公式得
30
暂态计算等值电阻
RC
t 2C
反映历史的等值电流源
IC
(t
(t
)]
32
Begeron数值计算法总结
采用Begeron特征线法处理分布参数线路及储能元件时， 电路中只包括集中参数和等值电流源
经过等值以后网络的暂态计算变为在各个时间离散点 上一系列的直流电阻网络的分析计算
对每一个时间离散点，已知外加电源和反映网络历史 记录的各等值电流源数值以后，可以对离散网络进行 求解（例如用节点法求解网络节点电压 ）
分布参数一端用前行特征线方程，集 中参数一端用非线性电阻的伏安特性曲线。
如果前向行波是时间的函数，则不宜 用图解法，因为此时的特性线将是一族， 而不是一根，会有无穷多解。用代数法可 得解函数。
15
例3 直流电源经非线性电阻合闸于末端接有非线性负载的线路，试求出 经多次折、反射后，始端A和末端B的电压波形
I
m
(t
)
1 Z
uk
(t
)
ikm
(t
)
22
u(x,t) Zi(x,t) 2u f (x vt)
随反行波从末端节点m运动到 始端节点k，根据反行特征方程计
算得到：
um (t ) Z[imk (t )] uk (t) Zikm (t)
ikm (t)
1 Z
uk
(t)
1 Z
um (t
)
imk
t)
ikm
(t
t)
1 RC
[uk
(t
t)
um
(t
t)]
根据等值计算公式画出电容的等值计算电路
31
4. 电阻的等值计算电路
k ikm(t)
R
uk(t)
IC (t )
因不是储能元件，其暂态
过程与历史纪录无关。电 m 压和电流的关系可以由代
um(t) 数方程式决定：
ikm (t)
1 R
[u
k
(t
)
um
2
)
新的公式不再需要中间计算ikm和imk的数值，运算简化加快，等值计算
电路图仍保持不变
25
集中储能元件的暂态等值计算电路
数值积分方法
f (t)
f (t t)
f (t) f (t t)
f (t) f (t t)
s
s
s
t t t
向前欧拉公式
t t t
向后欧拉公式
t t
t
梯形积分公式
t
x(t) x(t t) f (t)dt x(t t) tf (t t) t t
前行特性线中的前行波存在，其等式右边为 2E。
反行特性线中的反行波不存在，其等式右边 为0。
14
例2 传输线与非线性电阻相联的情况
解：这是节点一端为分布参数，另一端为集中参数的情况。 这时A点电压由前行波特性方程和负载特性共同决定：
u(x,t) Zi(x,t) 2u f (x vt) u f (i)
4.
特性线法的电路等效。
Z1
i
Z2
Uq
u
Uf
13
应用特性线法求解线路波过程
例1 求解线路上A点的电压和电流。
解：这是节点两端皆为分布参数的情况
将前行特性线和反行特性线画在同一图上。
求两条特性线的交点（uA和 iA）（图解法）。
或联立这两个方程求解。 求解的关键是得到两个特性线方程。前行特
性线从正方向逼近该点，所以是 Z1。反行 特性线从反方向逼近该点，所以是 Z2 。
x(t) x(t t) tf (t) x(t) x(t t) t [ f (t t) f (t)]
2 26
2. 电感的等值计算电路和相应的计算公式
微分方程：
uL
(t)
uk
(t)
um
(t)
L
dikm dt
积分方程：
1t
已知 t t
时刻： ikm (t) ikm (t t) L tt uL (t)dt
解：可分解成两个一端分布参数，另一端为集中参数的情况。 根据端部条件，有以下线路始端电源特性和末端负载特性：
Z, l A
B
RA E
RB
RA、RB均为非线性电阻
uA E RAiA f (iA ) uB RBiB g(iB )
显然t = 0 时，对于A点有
u u
A A
E RAiA ZiA 0