《测量误差基本》PPT课件
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…………,
Δn＝Ｘ－l n， 将等式两边取和并除以观测次数n,得：
X l X xˆ
n
n
根据偶然误差的第四特性，当观测次数n无限增大时，
式中［Δ］/n趋于零。于是有： xˆ X 。
二、观测值的改正数 观测值的改正数：算数平均值与观测值之差。
各观测值的改正数：
v1 xˆ l1
v2
xˆ
二、误差的种类
测量误差根据性质不同,分为系统误差、偶然误差、粗差。
1.系统误差：
在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观 测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律 性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。
例如：
1）钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的实际 长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际长度小 0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度成正比, 而且正负 号始终一致.
中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量 的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反 映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。
例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m， 另一段为200m，但中误差皆为±0.02m。显然不能认为这 两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误 差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。
2.偶然误差：
在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各 观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言， 该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言， 具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。
例如： 1) 距离测量
Δ
D
9.5
0
12
3
4
10
56
o
7
•
• •
• •
• •
N
9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6
由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较 大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。
例如：往返高差相差悬殊。
总结：在测量工作中，一般需要进行多余 观测，发现粗差，将其剔除或重测。
通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值 中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可 以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计 方法求得观测值的最可靠值。
数字测图原理及方法
Principle and Methods of Digital Mapping
第五章误差理论与数 据处理
3-1 观测误差及分类 3-2 衡量精度的指标 3-3 算数平均值及观测值的中误差 3-4 误差传播定律 3-5 加权平均值及其精度评定 3-6 间接平差
3-1 观测误差及分类
△
f
1
e
2
2 2
2
3-2 衡量精度的指标
精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度
➢误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误 差分布离散，误差就大，精度就低。
➢测量上经常采用中误差、相对误差和极限误差作 为衡量精度的标准。
1.标准差和中误差
1）标准差
2
f 1 e 2 2
2
2 lim 2 n n
参数σ的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散 程度。
2 称为方差
称为标准差（方根差或均方根差）
2）中误差: 标准差的一个估值。
m ˆ 12 22 n2 []
n
n
在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测 值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真误差不同，但 中误 差是相同的。
三、偶然误差的特性
【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
三角形内角和真误差:△ｉ＝ ∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180
i=1,2,3 …..217
误 差 正误差
区间
vi vi /n
0-3 30 0.138 3-6 21 0.097 6-9 15 0.069 9-12 14 0.065 12-15 12 0.055
合计
vi vI /n
59 0.272 41 0.189 33 0.152 30 0.138 22 0.101 16 0.074 11 0.051
4 0.018 1 0.005 00 217 1.000
Ｂｉ
Ａｉ Ｃｉ
通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当
观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：
3-3 算术平均值及其中误差
一、算术平均值
在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，
其观测值分别为l１、l２、…、ln，将这些观测值取算术
平均值 xˆ，作为该量的最可靠的数值，称为“最或是
值”；
xˆ l1 l2 ln l
n
n
验证：
观测值的真值为X，则观测值的真误差为：
Δ１＝Ｘ－l1, Δ２＝Ｘ－l2,
观测误差=观测值-真值 一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L✓真值：X代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。
✓真误差: 观测值L 与 真值X 之间的差值，用 △ 表示。 △=L–X
测量上真误差如何得到:
△ =(D往- D返) –0 △ =(A+B+C) –180 △ =(L1+L2+L3+L4) –360 △ =(hAB+hBA) –0 △ =(h1+h2 + h1+h2) –0
2、 产生的原因-----观测条件
（1）测量仪器： 仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,
水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等. （2）观 测 者：
人的感官上的局限性、操作技能、工作态度； 仪器的安置\瞄准\读数 （3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、 日照、湿度、气压、大气折光等。 上述仪器、人和环境，总称为观测条件。
1 6600
K2<K1，所以距离S2精度较高。
3.容许误差（极限误差）
✓ 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d
内的概率为：
P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
✓ 误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
✓ 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出 现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行 四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得 闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观 测精度高？
精度相同
中误差
m
n
f ()
m1小，精度高 m2大，精度低
m2 m2
m1 m2
观测条件
误差分布
观测值精度
2. 相对误差
1 v1 (X xˆ) 2 v2 (X xˆ)
n vn (X xˆ)
[] [vv] n(X xˆ)2 2(X xˆ)[v]
[] [vv] n(X xˆ)2
[] [vv] ( X xˆ)2 nn
[] [vv] ( X xˆ)2 nn
2
(X
xˆ)2
X
[l] 2
lim
0
n n
其中
n
1 2 n i i 1
直 方 图
27
误 差 分 布 曲 线
(vi/n) 每一误差区间上方的长方 形面积，代表误差出现在 该区间的相对个数
△
- 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24
1
2
(vi/n)/3
✓ K=1、2、3分别代入上式，可得：
P(|| 1m)=0.683=68.3 ；
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
✓ 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称 为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m
✓ 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。 如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不 合格，应舍去不用。
n
1 n2
(nX
[l ]) 2
1 n2
(12
22
2n
212
213
2n1n
[]
n2
2 n2
(12
13
n1n
)
[] [vv] []
n
n n2
m2 [vv] m2 nn
m [vv] n 1
观
观测值
改正 vv
测
数
次 /（°） /（′） /（″）
序
/（″）
(i 1,2,, n)
上式求得的为一次观测值的中误差。
推导过程如下：
v1 xˆ l1
v2
xˆ
l2
vn xˆ ln
[v] nx [l] [v] x [l] [v] 0
n
n
1 X l1
2
X
l2
n X ln
v1 xˆ l1
v2
xˆ
l2
vn xˆ ln
l2
vn xˆ ln
将上式两边求和，有: v nxˆ l 因 xˆ l ，所以［v］=0。此式可作为改正数计算正
n 确性的检查。
三、按观测值的改正数计算中误差
改正数为
vi xˆ li ; (i 1,2,...n)
根据误差理论的推导，可得白塞尔公式：
m ˆ vivi
n 1
理论上： hAB+hBA = 0 实测中： hAB+hBA ≠ 0
A B
P1 h4
P4
h1 P2
h3
h2
P3
一、观测误差产生的原因 观测条件
二、观测误差的种类 ①系统误差 ②偶然误差
三、偶然误差的特性 四、衡量精度的指标
③粗差
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一、观测误差及其产生的原因
1、观测误差： 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值 (或函数的理论值)间的差值。
2）定线误差: 传统的距离测量中,距离较长,需要进行分 段丈量.
•即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.
LAB-SAB>0
A
B
LAB
3）水准仪i角对测量高差的影响---系统误差
a1
视准轴
a
i
水准管轴
b1
i
b
B
A
SA
SB
hAB
(a1
b1)
i
S A
SB
SA=SB时，△hAB=0
总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性 对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或 消弱.
前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器 (经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作， 要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数 据不准确，即数据中有误差。
例如：1）距离测量误差
2）角度测量误差
3）高差测量误差
1）距离测量误差
D往
A
D返
理论上： D往= D返
B 实测中： D往≠ D返
测量上一般要求: D往- D返/D≤1/K (K=2000,4000,…..), 测量成果才合格.
A
L4 D
2）角度测量误差
L1
B 理论上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 =360
L2
实测中： ∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 ≠360
L3
C
A
理论上：∠A+∠B+∠C=180
实测中：A+∠B+∠C≠180
B
C
3）高差测量误差
理论上： h1+h2+h3+h4 =0 实测中：h1+h2+h3+h4 ≠ 0
➢观测成果的精确度称为“精度”。
➢ 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相 同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风 力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。
➢ 在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的 因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的， 故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。
15-18 8 0.037 18-21 5 0.023 21-24 2 0.009 24-27 1 0.005
>27 0 0 和 108 0.498
负误差
vi vi /n
29 0.134 20 0.092 18 0.083 16 0.073 10 0.046
8 0.037 6 0.028 2 0.009 00 00 109 0.502
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值----- 超限数为零；有限性
2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大
-----小误差大概率：集中性
3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等
-----正负相等；对称性
4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零
----平均理论。抵偿性
相对误差—中误差绝对值与观测量之比。
✓ 用分子为1的分数表示。
✓ 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；
S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。
解：
K1
0.02m 100m
1 5000
K2
0.03m 200m
0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
例如: 2） 读数误差(水准测量)
1.5 1.6
1.7
中丝读数： 1592
1591 1593
例如: 3） 照准误差 例如: 4） 整平误差
总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用 数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.
3.粗差（错误）：
Δn＝Ｘ－l n， 将等式两边取和并除以观测次数n,得：
X l X xˆ
n
n
根据偶然误差的第四特性，当观测次数n无限增大时，
式中［Δ］/n趋于零。于是有： xˆ X 。
二、观测值的改正数 观测值的改正数：算数平均值与观测值之差。
各观测值的改正数：
v1 xˆ l1
v2
xˆ
二、误差的种类
测量误差根据性质不同,分为系统误差、偶然误差、粗差。
1.系统误差：
在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观 测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律 性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。
例如：
1）钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的实际 长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际长度小 0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度成正比, 而且正负 号始终一致.
中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量 的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反 映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。
例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m， 另一段为200m，但中误差皆为±0.02m。显然不能认为这 两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误 差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。
2.偶然误差：
在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各 观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言， 该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言， 具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。
例如： 1) 距离测量
Δ
D
9.5
0
12
3
4
10
56
o
7
•
• •
• •
• •
N
9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6
由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较 大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。
例如：往返高差相差悬殊。
总结：在测量工作中，一般需要进行多余 观测，发现粗差，将其剔除或重测。
通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值 中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可 以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计 方法求得观测值的最可靠值。
数字测图原理及方法
Principle and Methods of Digital Mapping
第五章误差理论与数 据处理
3-1 观测误差及分类 3-2 衡量精度的指标 3-3 算数平均值及观测值的中误差 3-4 误差传播定律 3-5 加权平均值及其精度评定 3-6 间接平差
3-1 观测误差及分类
△
f
1
e
2
2 2
2
3-2 衡量精度的指标
精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度
➢误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误 差分布离散，误差就大，精度就低。
➢测量上经常采用中误差、相对误差和极限误差作 为衡量精度的标准。
1.标准差和中误差
1）标准差
2
f 1 e 2 2
2
2 lim 2 n n
参数σ的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散 程度。
2 称为方差
称为标准差（方根差或均方根差）
2）中误差: 标准差的一个估值。
m ˆ 12 22 n2 []
n
n
在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测 值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真误差不同，但 中误 差是相同的。
三、偶然误差的特性
【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
三角形内角和真误差:△ｉ＝ ∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180
i=1,2,3 …..217
误 差 正误差
区间
vi vi /n
0-3 30 0.138 3-6 21 0.097 6-9 15 0.069 9-12 14 0.065 12-15 12 0.055
合计
vi vI /n
59 0.272 41 0.189 33 0.152 30 0.138 22 0.101 16 0.074 11 0.051
4 0.018 1 0.005 00 217 1.000
Ｂｉ
Ａｉ Ｃｉ
通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当
观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：
3-3 算术平均值及其中误差
一、算术平均值
在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，
其观测值分别为l１、l２、…、ln，将这些观测值取算术
平均值 xˆ，作为该量的最可靠的数值，称为“最或是
值”；
xˆ l1 l2 ln l
n
n
验证：
观测值的真值为X，则观测值的真误差为：
Δ１＝Ｘ－l1, Δ２＝Ｘ－l2,
观测误差=观测值-真值 一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L✓真值：X代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。
✓真误差: 观测值L 与 真值X 之间的差值，用 △ 表示。 △=L–X
测量上真误差如何得到:
△ =(D往- D返) –0 △ =(A+B+C) –180 △ =(L1+L2+L3+L4) –360 △ =(hAB+hBA) –0 △ =(h1+h2 + h1+h2) –0
2、 产生的原因-----观测条件
（1）测量仪器： 仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,
水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等. （2）观 测 者：
人的感官上的局限性、操作技能、工作态度； 仪器的安置\瞄准\读数 （3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、 日照、湿度、气压、大气折光等。 上述仪器、人和环境，总称为观测条件。
1 6600
K2<K1，所以距离S2精度较高。
3.容许误差（极限误差）
✓ 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d
内的概率为：
P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
✓ 误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
✓ 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出 现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行 四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得 闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观 测精度高？
精度相同
中误差
m
n
f ()
m1小，精度高 m2大，精度低
m2 m2
m1 m2
观测条件
误差分布
观测值精度
2. 相对误差
1 v1 (X xˆ) 2 v2 (X xˆ)
n vn (X xˆ)
[] [vv] n(X xˆ)2 2(X xˆ)[v]
[] [vv] n(X xˆ)2
[] [vv] ( X xˆ)2 nn
[] [vv] ( X xˆ)2 nn
2
(X
xˆ)2
X
[l] 2
lim
0
n n
其中
n
1 2 n i i 1
直 方 图
27
误 差 分 布 曲 线
(vi/n) 每一误差区间上方的长方 形面积，代表误差出现在 该区间的相对个数
△
- 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24
1
2
(vi/n)/3
✓ K=1、2、3分别代入上式，可得：
P(|| 1m)=0.683=68.3 ；
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
✓ 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称 为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m
✓ 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。 如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不 合格，应舍去不用。
n
1 n2
(nX
[l ]) 2
1 n2
(12
22
2n
212
213
2n1n
[]
n2
2 n2
(12
13
n1n
)
[] [vv] []
n
n n2
m2 [vv] m2 nn
m [vv] n 1
观
观测值
改正 vv
测
数
次 /（°） /（′） /（″）
序
/（″）
(i 1,2,, n)
上式求得的为一次观测值的中误差。
推导过程如下：
v1 xˆ l1
v2
xˆ
l2
vn xˆ ln
[v] nx [l] [v] x [l] [v] 0
n
n
1 X l1
2
X
l2
n X ln
v1 xˆ l1
v2
xˆ
l2
vn xˆ ln
l2
vn xˆ ln
将上式两边求和，有: v nxˆ l 因 xˆ l ，所以［v］=0。此式可作为改正数计算正
n 确性的检查。
三、按观测值的改正数计算中误差
改正数为
vi xˆ li ; (i 1,2,...n)
根据误差理论的推导，可得白塞尔公式：
m ˆ vivi
n 1
理论上： hAB+hBA = 0 实测中： hAB+hBA ≠ 0
A B
P1 h4
P4
h1 P2
h3
h2
P3
一、观测误差产生的原因 观测条件
二、观测误差的种类 ①系统误差 ②偶然误差
三、偶然误差的特性 四、衡量精度的指标
③粗差
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一、观测误差及其产生的原因
1、观测误差： 指被观测值(或其函数)与未知量的真实值 (或函数的理论值)间的差值。
2）定线误差: 传统的距离测量中,距离较长,需要进行分 段丈量.
•即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.
LAB-SAB>0
A
B
LAB
3）水准仪i角对测量高差的影响---系统误差
a1
视准轴
a
i
水准管轴
b1
i
b
B
A
SA
SB
hAB
(a1
b1)
i
S A
SB
SA=SB时，△hAB=0
总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性 对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或 消弱.
前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器 (经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作， 要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数 据不准确，即数据中有误差。
例如：1）距离测量误差
2）角度测量误差
3）高差测量误差
1）距离测量误差
D往
A
D返
理论上： D往= D返
B 实测中： D往≠ D返
测量上一般要求: D往- D返/D≤1/K (K=2000,4000,…..), 测量成果才合格.
A
L4 D
2）角度测量误差
L1
B 理论上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 =360
L2
实测中： ∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 ≠360
L3
C
A
理论上：∠A+∠B+∠C=180
实测中：A+∠B+∠C≠180
B
C
3）高差测量误差
理论上： h1+h2+h3+h4 =0 实测中：h1+h2+h3+h4 ≠ 0
➢观测成果的精确度称为“精度”。
➢ 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相 同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风 力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。
➢ 在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的 因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的， 故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。
15-18 8 0.037 18-21 5 0.023 21-24 2 0.009 24-27 1 0.005
>27 0 0 和 108 0.498
负误差
vi vi /n
29 0.134 20 0.092 18 0.083 16 0.073 10 0.046
8 0.037 6 0.028 2 0.009 00 00 109 0.502
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值----- 超限数为零；有限性
2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大
-----小误差大概率：集中性
3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等
-----正负相等；对称性
4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零
----平均理论。抵偿性
相对误差—中误差绝对值与观测量之比。
✓ 用分子为1的分数表示。
✓ 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；
S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。
解：
K1
0.02m 100m
1 5000
K2
0.03m 200m
0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
例如: 2） 读数误差(水准测量)
1.5 1.6
1.7
中丝读数： 1592
1591 1593
例如: 3） 照准误差 例如: 4） 整平误差
总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用 数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.
3.粗差（错误）：