高二数学《33均值不等式》

x
x
例 3 设 0 x 2 , 求 函 数 f( x ) 3 x ( 8 3 x ) 的 最 值 .
并 求 相 应 的 x的 值 .
解:因为 0 x 2 3 x 0 ,8 3 x 0
f(x) 3x(83x) 3x (83x) 4
2
故: 当 且 仅 当 3x83x即 x4时 ,
当 且 仅 当 x 9 x 即 x 3 时 , f( x ) x 2 8 x 1 2 有 最 小 值 1 8 .
变化1: 当 x 0 时 , 求 函 数 f(x ) x 8 1 的 最 小 值 ,
x
并 求 函 数 取 最 小 值 时 x 的 值 .
解:因 为 x0所 以 f(x)x8 12x8 11 8
ab2 ab
即 ab ab
2
显然,当且仅当 a
b
时,
a
b
ab
2
2.定理
如果a,b是正数,那么
ab 2
ab
(当且仅当 ab 时取 “=”).
3.几点说明: 1 我 们 称 a b为 a ,b 的 算 术 平 均 数 ;
2
ab为 a,b的 几 何 平 均 数 .因 此 定 理 又 可 叙 述 为 :
6.思考题: 若 x3 , 求 函 数 yx3的 最 小 值 .
x3
解: 因为 x3 x30
y x 1 (x3) 1 3
x3
x3
2
(x3) 1 3 x3
5
当 且 仅 当 x 3x1 3 即 x4 时 , ym in 5
• 作业布置：第107页 A组 3、4题
第三章 不等式
•
第三节 均值不等式
新课讲授: 1.一个重要不等式:
如果 a,bR,那么 a2b22ab
(当且仅当 ab 时取 “=”号）.
证明:因为:a2b22ab(ab)2显 然
当 a b 时 , ( a b ) 2 0 ; 当 a b 时 , ( a b ) 2 0
(ab)2 0
两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 数 .
(2)几何解释:
(3)几种变形: ab2 ab
ab
ab即 2
ab(ab)2 2
定理的几何解释
D
ab
A
a Cb B
D
4.定理的运用: 求函数的最值
例1 已知 x , y 都是正数,求证: (1)若积 x y 是定值p,
x
x
当 且 仅 当 x 8 1 即 x 9 时 , f( x ) x 8 1 有 最 小 值 1 8 .
x
x
变化2: 当 x0 时 , 求 函 数 f(x)x8 1 的 最 值 .
x
解: 因 为 x0所 以 x0,810 x
f(x)[(x)(81)] x
2 (x) (81) 18 x
当 且 仅 当 x 8 1 即 x 9 时 , f( x ) x 8 1 有 最 大 值 - 1 8 .
xy
因此当
x
S 即 xy1S2(当 xy时 取 "")
2 y 时积
4
x y 有最大值
1
S
2
4
例 2 当 x 0 时 , 求 函 数 f(x ) x 2 8 x 1 2 的 最 小 值 ,
并 求 函 数 取 最 小 值 时 x 的 值பைடு நூலகம்.
解: f (x) x2 (9)2 2 x 9 18
x
x
故 :a2b22ab
1.一个重要不等式:
如果 a,bR,那么 a2b22ab
(当且仅当 ab 时取 “=”号）.
练习:判断下列不等式是否正确?
(1) a2b22ab
(2) a2 b2 2ab
(3) ab2 ab
2.定理
如果a,b是正数,那么
ab 2
ab
(当且仅当 ab 时 取“=”
证明:号因）为,: ( a)2( b)22a.b
3
f(x)3x(83x)有 最 大 值 4.
5.课堂小结: (1)两 个 重 要 不 等 式
a 2 b 2 2 a b ( a ,b R ,当 a b 时 取 " " )
ab ab(a,bR,当ab时取"") 2
( 2 ) 利 用 均 值 不 等 式 求 函 数 最 值 时 注 意 :
一 正 二 定 三 相 等
则当x=y时,和 x y 有最小值2 P ;(2)若和 x y
是定值s,则当x=y时积 x y 有最大值 1 .S 2
证明: 因为: x,yR xy xy 4
(1) 积 x y 是定值p,有: 2
x y P x y 2P (当 xy 时 取 " ")
2
因此当
x
y
时和 x
y 有最小值2
P
(2)和x y 为定值s,有: