全国大学生数学建模竞赛讲座

则在地球坐标系下的方程为
x
cos1t sin1t 0 cos2t
y
(
R
H
)
sin
1t
cos1t
0
cos
sin
2t
z
0
0 1 sin2t sin
在地球上的投影（星下线参数方程）
x cos1t
y
R
sin
1t
z 0
sin 1t cos 1t
0
0 cos2t
0
cos
sin
2t
cos i cos cos( / 2) sin i sin cos *
则其数学模型为：
nin n m
s.t. f (i2,i, i ) 0,i 1, 2,L , m i i1,2 *，i 2,L , m i2 i ,i 1, 2,L , m m2 2 *，11 1*,1* 1 1 **, m (2 * 1*) / *
OP1 (Rcosi cos i, Rcosi sin i, Rsin i), OP12 (Rcos(i / 2)cos i2, Rcos(i / 2)sin i2, Rsin i2) OP11 (Rcos(i / 2)cos i1, Rcos(i / 2)sin i1, Rsin i1)
1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道 共面的情况下至少应该建立多少个测控站才 能对其进行全程跟踪测控？
2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤 道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星 或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一 些差异，问至少应该建立多少个测控站才 能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆 盖以达到全程跟踪测控的目的？
360o / n
* 87o arcsin( R sin 93o)
RH
n 360o / 2 *
离散优化问题。
如果m=3,n=18 因为测控范围是对称区间，可以考虑测控站
对称分布，即第一层的测控站分布在赤道上。
12 12.0378o,
2 27.6419o,
22 41.0123o
模型二
假设： 地球是半径为R球体 ，卫星在椭球面上运行。 近地点高度为h,远地点高度为H。 球心位于椭球的焦点上。 卫星轨道是椭圆，测控站与卫星轨道共面。 卫星轨道长半轴为a,短半轴为b,焦距为c。
卫星轨道椭圆方程：
x
y
a cos b sin
(0
2
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
地球球面圆方程：
x
y
共需14个测控站！
关于第二问（假设卫星在球面上）
1.星下线方程及其轨迹
坐标变换公式为：
x cos1t
y
sin
1t
z 0
sin 1t cos 1t
0
0 X
0 Y
1 Z
设卫星轨道参数方程为
Y
X (R H ) cos2t (R H ) cos sin 2t
Z (R H ) sin 2t sin
令：
F(, ) a cos cos bsin sin R c cos sin 3o (a cos c R cos )2 (bsin R sin )2
给出了测控站位置与测控临界位置点关系； 给出了两者中的一个就可以求出第二个。
利用迭代法计算测控站个数n
流程如下：
(0.1994,0.6473,1.1091,1.5879,2.0832,2.5907,3.1030) (,2.5986,2.0737,1.5784,1.1168,0.6835,0.2734,0)
不能全范围测控，全程测控需要的 测控站数超过54个!
2.m=4,n=13 1,2 8o, 3,4 31.3604o
测控范围 [-46.644,46.644]
m 5, n 12
综上，52个测控站即能实现全程测控。
c R cos R sin
(0
2
)
a R (H h) / 2,b a2 c2
向量：
PiQij (a cosij c R cosi,basinij Rsini ), OP (Rcos, Rsin)
由夹角余弦公式得
a cos cos bsin sin R c cos sin 3o (a cos c R cos )2 (bsin Rsin )2
OP1, OP1 j夹角为
cos* cos i cosi cos ij cos(i / 2) cos i sini cos ij sin(i / 2) sin i sin ij
j 1, 2
i1 i2 *
记
f (,i, i ) cos i cosi cos cos(i / 2) cos i sini cos sin(i / 2) sin i sin cos *
1 sin2t sin
否则
先考虑相邻两层的测控范围，记
P1(R,i , i ), P2 (R,i , i )， P3(R,i / 2, i1)
20
15
10
5
0
-5
-10
-10
-5
P3
P12
P1
P2
P11
0
5
10
15
20
P11(R, / 2, i1), P12 (R, / 2, i2 ), (i2 i1)
第4讲 综合讲座1
东南大学数学系 陈恩水
讲座内容
C题 卫星和飞船的跟踪测控
题目背景
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空 域；
实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平 面夹角3度以上的空域 ；
一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往 有多个测控站联合完成测控任务。
利用模型分析卫星或飞船的测控情况， 具体问题如下：
相关信息
关于第一问
假设 地球是球体，球半径R。 卫星或飞船轨道是圆心为地球球心的圆。 卫星或飞船在地面上高度为H 的圆上运行。 n表示测控站个数。
H
*
R
R
RH
sin(180o93o*) sin 93o
*87oarcsin( R sin 93o)
RH
n
360
2 *
一般结果：
或者给出不同n的H的范围。