灵敏度分析

100
100
a 1 210 10 a 1 420 0 .5 0
15
2.4.5 新增决策变量的分析
• 例2.4.2中，若新增产品 x8，问是否生产？ – 已知 c8=9, a18=5, a28=4, a38=3 – 计算 x8 的检验数可知生产是否有利
3
c8z8c8qiai89(5040.2 531)
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
4
关于影子价的一些说明
• 影子价是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价与 资源的紧缺度有关
• 松弛变量增加一个单位等于资源减少一个单位 • 剩余变量增加一个单位等于资源增加一个单位 • 资源有剩余，在最优解中就有对应松弛变量存在，且其影子
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
9
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0
• b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
a1,n1
设
B 1
ak ,n1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
x1, x3为非基变量， q1= 0, q2= 0.25, q3= 1, 故有 a11 a13
1303.2.255a21 1102.2.755a23 3.2531.25a31 2.7521.75a33
x2, x4为基变量，x5=100, b1有剩余， 故有
1275 3.67 5 6.33 4
cj-zj -2.67 0 -3.33 0
x5 x6
x7
x8
00 0 0
1 1/4 -1 0
0 1 -1 0
0 -3/4 1 0
0 (-1.5) 1 1
0 0.25 1 0
0 -0.25 -1 0
1 0 -0.83 0.17
0 0 -0.33 0.67
0 0 0.5 -0.5
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 • 哪些参数容易发生变化
– C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
2
2.4.1 边际值(影子价) qi
• 以(max,)为例
17
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 CB XB b 1 5 3 4 0 0 0 0 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 (1) 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 650 1 2 3 3 0 0 0 1 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 (1) 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 450 5/2 0 -5/2 3 0 1.5 -2 1 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 -150 -7/2 0 7/2 0 0 -1.5 1 1
bk a k ,n i
a k ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函
数会发生变化
X N X 0 bi Pni
OBJ N OBJ 0 biC B Pn i
11
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
13
设 x j为非基变量 , 则有
z
0 j
m
a kj q k
k 1
设 a ij变动 a ij , 则有
z
N j
z
0 j
a ij q i
cj
z
N j
cj
z
0 j
a ij q i
0
即
a ij q i
c
j
z
0 j
对于第 i 行约束为 型 , q i 0 , 所以
cj zj qi
a ij
18
x1 x2 x3 x4
CB XB b
153
4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
0 x8 -150 -7/2 0 7/2 0
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
0 x5 75 -0.33 0 -2.67 0 4 x4 100 -0.33 0 0.33 1 5 x2 175 1 1 1 0 0 x6 100 2.33 0 -2.33 0
bk a k ,ni bi 0 当 a k ,n i 0 , 则有
k 1,2, , m 当 a k ,n i 0 , 则有
bi
bk a k ,n i
bi
bk a k ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
b
,n
k
i
a k ,n i
0
bi
min k
• 边际值(影子价)qi 是指在最优解的基础上，当第 i 个约
束行的右端项 bi 减少一个单位时，目标函数的变化量
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) C B B 1b (C B B 1 )k bk
k 1
qi
f (x)
b
i
(C B B 1)i,
左导数
机会成本 z n i C B B 1 P n i ( C B B 1 ) i
14
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
4x2 4x2
3x3 5x3
4x4 3x4
1200 1000
x1, x2, x3, x4 0
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
– 上述两个公式不充分，为什么？ – B–1发生变化，从而引起非基变量检验数 cj– zj 的变化
3、对应非基变量的 aij
– 只影响对应非基变量xj的检验数 cj– zj – 若 aij > 0，不会破坏最优解 – 若 aij < 0，必须保证 cj– zj 0
例2.4.2 第2步
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 CB XB b 1 5 3 4 0 0 0 0 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 0 4 x4 200 2 0 -2 1 0 1 -1 0 5 x2 100 -3/4 (1) 11/4 0 0 -3/4 1 0 0 x8 650 1 2 3 3 0 0 0 1
价为 0 • 影子价为 0，资源并不一定有剩余 • 应用，邮电产品的影子价格
max CΔY
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01.205,02100b2min01.7050
200b213.33, 1000b2133.33
• 由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所 有非基变量的检验数
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，变化量为 cj • 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变量xj 机会成本的变化
m
m
zj zj (ci ci)aij ciaij ckakj
i1
i1
要满足cj (zj zj ) 0, 则有cj zj akjck
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
设x4的价值系数增加c4，对应k=2，
max32.25 ,01.25c4mi n 2.2 75 , 1 1 0.25 c41, 3.75 c45
a
m
,n
1
a1,ni
ak ,ni
am,ni
a1,nm
ak ,nm
a m ,n m
b b1, b2 , , (bi bi ), bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
X B B1b 0
10
2.4.3 右端项 bi 的灵敏度分析
即 a k ,n 1b1 a k ,n 2 b2 a k ,n i ( bi bi ) a k ,n m bm
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保(c持 j cj)zj 0 故有cj (cj zj)
6
例2.4.2
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
0 1 -0.67 -0.67
0 0 1.17 0.17
i1
50 结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入变量进行迭代
16
2.4.6 新增约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条
件加入最优单纯型表，并变换为标准型 3、利用对偶单纯型法继续迭代
– 为什么可以利用对偶单纯型法
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
zj
akj
akj 0
ck
c
j
zj
akj
akj 0
为保证所有非基变 验量 数检 仍满足最优 ,有 条件
mjaxcjakjzj
akj 0cj'
mj incjakjzj
akj 0
8
x1 x2 x3 x4 CB XB b 1 5 3 4 0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1 5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
因此
qi
z
n
z
n
i
i
松弛变量 , 人工变量 剩余变量
机会成本的另外表达形
式
zj
C B B 1Pj
m
( C B B 1 ) i a ij
m
q i a ij
i1
i1
3
例2.4.2
max f (x) x1 5x2 3x3 4x4
2x1 3x2 x3 2x4 800
s.t.
53xx11
令b2 100,则有
100
0.25 125
XN
200 100
1.00
300
100
0.75 25
OBJN 1250 3004 255 1325
12
2.4.4 技术系数 aij 的灵敏度分析
• 技术系数aij变化的影响比较复杂
– 对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 – 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 – 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1300 4.25 5 5.75 4 cj-zj -3.25 0 -2.75 0
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1,x3为非基变量
所以c13.2,5 c14.25 c32.7,5 c35.75
7
2、基变量对应的价值系数的灵敏度分析