参数曲线的恒速通用插补原理与实例分析

ds 2 2 2 1/ 2 ) = ( x′ + y′ + z′ du dx dy dz x′ = , y′ = , z′ = du du du d x d y d z = 2 , z″ = 2 2 , y″ du du du V 2 2 2 1/ 2 ( x′ ) + y′ + z′
2 2 1/ 2 2 2 2
Mechanical & Electrical Engineering Magazine Vol . 18 No. 4 2001 机电工程 2001 年 第 18 卷 第 4 期
以摆线 ( 包括普通摆线和复杂内 、 外摆线 ) 为例介绍 该通用原理应用的具体过程 。 3. 1 摆线插补算法 3. 1. 1 普通摆线插补算法 θ- c sinθ x= a 已知普通摆线的参数方程式 : θ y = a - ccos
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效控制加工轮廓轨迹等几何信息 , 而且要同时保证 进给速度等工艺信息得到有效控制 。欲实现加工几 何信息的有效控制 , 对参数曲线最简便的方法就是 参数进行均匀分割或均匀规划 。由于工艺信息能否 得到有效控制却是真正衡量插补算法是否实时 、 可 靠的重要依据 。因此仅从有效控制几何轮廓信息的 角度去研究插补算法是不够充分和不切合实际的 。 只有基于有效控制几何轮廓信息的前提下 , 研究如 何实现恒速进给才是恒速插补参数曲线的关键 。因 此本文作者认为参数曲线的恒速插补原理应遵循基 于时间分割的插补思想 。具体是在有效控制几何轮 廓信息的前提下 , 通过对参数不均匀分割 ( 或不均匀 规划) 使得参数曲线以恒定的进给速度完成轮廓插 补全过程 。实质要求几何信息和工艺信息同时得到 有效控制 。基于篇幅所限 , 以下着重阐述恒速进给 原理部分 。 其实 , 基于时间分割的理想插补原理应该是沿 弧进给速率恒定 , 即在每个插补周期 T 内 , 刀具沿 弧线进给的微弧长度始终保持不变 。由于微弧长度 为微米级大小 , 微弧段与所对应微弦长可近似相等 , 因此实际运用时则可理解为等弦长进给 。即 沿参数曲线的进给速度 V ( t ) 可按式 ( 2) 定义 : ( 2) V ( t ) = S = s′ u 或 这里
(1. 湖南省工业职业技术学院 ,湖南 长沙 410007 ; 2. 湘潭大学 机械工程学院 ,湖南 湘潭 411105)
摘 要 : 阐述了参数曲线恒速插补的通用原理 ,同时讨论了轮廓误差近似计算方法 。以摆线为例推 导了相应的插补公式和轮廓误差近似计算公式 . 最后通过 VISUAL LISP 编程进行插补模拟 ,表明该 插补原理具有无累计误差 、 恒速进给以及轮廓误差易于控制的特点 ,而且该算法插补功能的开发和 应用前景十分广阔 。 关 键 词 : 参数曲线 ; 摆线 ; 插补 ; 恒速进给 中图分类号 : TP161 + . 5 ; TP273 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 4551 (2001) 04 - 0052 - 04
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数控数显技术
参数曲线的恒速通用插补原理与实例分析
陈 超1 ,胡自化2 ,李应明2 ,李玉声2 ,张高峰2
x″ =
将式 ( 3) 代入式 ( 4) 得
u= ( 5)
再由式 ( 5) 得 ü = V ( x′+ y′+ z′ )
Δuk + 1
2
2 2
×
x′ x″ + y′ y″ + z′ z″ ( 6) 2 2 2 ( x′ ) + y′ + z′
2
图1 弦线径向误差的简化
由式 ( 1) 得矢量模 :
y ( u k) + y ( u k + 1) 2
运用上述参数曲线恒速插补通用原理 , 只要给 出参数曲线方程式便能建立该曲线恒速插补算法 。
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s′ = u= du V = dt s′ ( 3百度文库 ( 4)
( 6 ) 的解是实时插补 花少量的计算时间寻找式 ( 5) 、 算法的关键 ,然而 V 为常值条件下的解 u ( t ) 一般情 况难以求得 ,因此不妨在 t = kT 处使用 Taylor 级数展 开进行迭代求解 。 2 ( 7) u k + 1 = uk + Tu k + ( T / 2) ü + 高次项
2
| cd| =
x
uk +
-
x ( u k) + x ( uk + 1) 2
+
y
uk +
Δuk + 1
2
-
+
z
uk +
Δu k + 1
2
-
z ( uk) + z ( uk + 1) 2
2
( 10)
显然 ε ≈ | cd 。这里称之为轮廓误差的精确计 算公式 。
3 摆线的恒速插补算法建立和插补模拟分析
作者简介 : 陈 超 (1968 - ) ,男 ,湖南宁乡人 ,湖南省工业职业技术学院讲师 ,主要从事 CAD/ CAM 的教学 、 科研工作 。
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General Interpolation Principal for Parametric Curves with Constant Feedrate and Examples Analysis CHEN Chao , Hu Zi2hua , LI Ying2ming2 , LI Yu2sheng2 , ZHANG Giao2feng2
如果 T 很小 , 且曲线曲率半径不太小 , 一阶近似迭 代求解便足够 : Δuk + 1 = uk + 1 - uk =
VT 2 2 2 1/ 2 ( x′ k + y′ k + z′ k) ( 8)
如果 T 较大 , 且曲线曲率半径很小 , 便要使用二阶 近似迭代公式 : Δuk + 1 = uk + 1 - uk =
VT x′ k + y′ k + z′ k)
2 2 2 1/ 2
VT 2 2 2 1/ 2 ( x′ ) k + y′ k + z′ k)
2
x′ x″ + y′ y″ + z′ z″ × 2 2 2 2 ( x′ + y ′ + z ′ k k k) ( 9)
式 ( 8) 和 ( 9 ) 就是参数 u 不均匀分割公式 。表明在 当前 uk 的参数 u 增量步长与位置点 ( x k , y k , z k ) 对 u 的一 、 二阶导数密切相关 , 将所得 uk + 1 , 代入 ( 1 ) 式 即得曲线插补点坐标 ( x k + 1 , y k + 1 , z k + 1 ) 。
收稿日期 :2000 - 11 - 20 修订日期 :2001 - 04 - 06 基金项目 : 湖南省教育厅资助项目 (00C082)
档数控系统的一项非常重要指标 , 而且也是当前制 造业实现精密 、 复杂零件高效数控加工的急切期待 。 因此探索和研究复杂轮廓的高级插补算法已刻不容 缓 。为此本文作者在研究参数曲线实现恒速插补的 机理后 ,得出参数曲线恒速插补的通用原理 。同时 以摆线为例介绍了这一原理的具体运用及其恒速插 补算法的具体推导 。该原理的建立将为参数曲线恒 速插补功能最终实现提供了可靠理论依据 。 2 参数曲线恒速插补的通用原理 2. 1 参数曲线恒速插补算法 x = x ( u) 由参数曲线方程的一般表达式 : y = y ( u) ( 1) z = z ( u) 可知 : 每个坐标分量均为参数 u 的函数 , 根据 现代数控插补原理的基本思想 : 数控插补不仅要有
1 引 言
仅装配直线和圆弧等简单插补功能的传统计算 机数控 ,在加工复杂轮廓时不仅数控编程耗费大量 时间 ,影响加工效率 。而且对复杂轮廓编程需进行 大量复杂数值处理 。其中通过若干微小直线和圆弧 段拟合 、 逼近 , 将造成大量数据传输和超限编程误 差 ,使产品加工质量受到严重影响 。因此传统计算 机数控不能很好满足高精密 、 复杂零件加工的需要 。 而随着高档通用微机性能价格比的迅速提高 , 计算 机数控业已步入以通用微机为硬件平台的工业个体 微机数控的崭新时代 。它不仅是数控厂家后起之秀 从事数控产品开发的有效简捷途径 , 而且对数控系 统控制软件核心 — 插补程序的功能拓展直接提供了 可靠硬件保障 。装配如摆线 、 螺线 、 渐开线 、 样条曲 线等复杂轮廓的高级插补功能必将成为衡量现代高
1
( 1 . Hunan polytechnical professional College , Changsha 410007 , China ;
2 . Mechanical Engineering School , Xiangtan University , Xiangtan 411105 , China) Abstract : The paper develops general interpolation principals for parametric curves with constant feedrate , and contour error ’ s ap2 proximate evaluations are discussed also. As examples , the interpolation algorithms and the contour error approximate formulations for the cycloid curves are deduced from the above principals. By simulation of the proposed cycloid interpolation algorithms which programmed in graphics developing language AutoLISP , it shows some very important features such as non accumulative error , constant feedrate and contour error being controlled easily. Moreover , there is a vast prospect for the development and application of the proposed interpolation algorithms. Key words : parametric curves , cycloid , interpolation , constant feedrate
2. 2 参数曲线恒速插补轮廓误差分析
根据以上建立的参数曲线恒速插补算法 , 可知 插补点始终位于曲线上 , 无累计误差 , 影响插补精度 的误差主要是弦线径向误差 ( 以下简称轮廓误差 ) 。 轮廓误差的计算本文采用类似文献 [ 3 ] 的简化计算 方法 : m 级) , 如图 1 所示 , 由于 | M kM k + 1 | 很小 ( 为 μ 在相邻两插补点 M k 和 M k + 1间的弦线径向误差 ε可 用该曲线弧段 M kM k + 1和弦线段 M kM k + 1 的两中点连 线 cd的长度 h 近似 , 即 ε ≈ h。