固体理论讲义三

22 4
那么 1
^^
1 ^2 ^2 ^2
2J1(1 2 4 s1s2) J1 2 2 (s s1 s2) J12
^ ^^
J1和 2 J1分 2 别对应于 ss总 1s2的 自本 旋s 征 算 0或 s值 符 1
略去 1 2J12 常数项，两交 格换 点作 离用 子哈 间密顿
^^
Hex2J12s1s2
其中 V(r12)为二格点系统作 的用 库势 仑。 互
上式等效地写为：
EexJJ1122
s0 (,单重态） s1 (,三重态）
s为两格点间组合自旋量子数
两个d电子间交换能所对应的算符表示为：
因为
Hex1 2J12(14s^1s^2)
^ ^^
ss1s2
^2
s s(s1),
^2
s1
^2
s2
1(11)3
2JS
1
2
2
0
x1/ ex
2d1x
V 2Na3
这里略去了算符的四次项
上式第一项是基态能；第二项代表格点l 上的自旋偏转能； 最后两项为不同格点间的耦合。
• 由于系统具有平移对称性；进一步将产生和消灭算符作
傅里叶展开
1
al N 2
e ik •l b k
k
a
l
N
1 2
e
ik
•
l
b
k
k
1
bk N 2
e ik •l a l
l
b
k
为了数学上（与声子）的相似性使H对角化方便， 我们引入量：
n S m (m 0,1,...,S) n称为自旋偏离量子数。 n 0,1,2,...2S (n 2S)
则有：
^
S|n2S(n1) n|n1消灭偏离
^
S|n2Sn n1|n1产生偏离
作霍斯坦因-普里马可夫变换(HP变换，不改变对易关系)
由此得到自旋角动量平方算符
^
S
2
的本征值为
S2
Sx2
Sy2
Sz2
32 4
s(s1)2 其中 s1为自旋量子数。 2
两个电子的自旋函数
(1) 两个电子自旋相互反平行的态是单一的，我们称这种 态为独态。
(2) 两个电子自旋相互平行的能级是三重简并的，对应于 这些能级的态称为三重态。
^
S
^
2
^
为泡利 ( Pauli )矩阵。
为两体库仑
对于绝缘体，无电子转移，每一个格点上只可能有一个 未配对的d电子，应有d电子的单占据条件：
Cl ClCl Cl1
这里 ClCl 10 00 ClCl 00 10
ClCl 00 1Hale Waihona Puke Baidu ClCl 10 00
ClCl 12(1^lz)
ClCl 12(1^ lz)
ClCl 12^l
ClCl 12^l
子排列成晶格，我们通过近似解来求铁磁体自旋波的低 激发态。
（1）铁磁体的基态
哈密顿H中所含矢量算符的三个分量有对易关系
^^
^
[Slx,Sly']iSlz ll' (x,y,z循环， 1） 且设
• 在讨论自旋互作用系统特性时，我们把
^
^
^
S
l
S
x l
i
S
y l
^
^
^
S
l
S
x l
i
S
y l
作为独立变量
的
，因此，求自旋波频率
k
与波矢
关系时应结合晶体对称 性作计算。
在低温下，可利用长波
条件
|
k
•
|
1展开
：
k
k 2ZJS (1 k )
2JS{Z [1 1 (k • )2 ]}
2
JS (k • )2
立方系的 3种晶格（ sc、bcc和fcc）有相同的长波色散关 系：
k 2JSa2k 2
' Jll' ^lz
^
z l'
1 2
^
(l
^
l'
^
l
^
l'
)
1
1 4
l ,l '
^
' Jll' (l
^
•l'
1)
^^
' Jll' Sl •Sl'
l ,l '
在狄拉克理论的基础上，安德逊（P.W. Anderson）进一 步证明了海森堡模型也适应于S>1/2的情况
3.铁磁自旋波理论
• 对于铁磁体，交换积分J>0；设有N个自旋为S的磁离
^^
H 'Jll' Sl•Sl'
l,l'
^
其中 Sl 代表l第 个格子磁性离子自的旋矢算量符。 Jll'是l与l'两格点离子上电交子换间积的分
Jll' J(ll') (这里 l Rl)
这就是海森堡模型
海森堡模型是建立在下列一套假定之上的
设两格点离子上各有一个自旋未配对的d电子，d电子间交换能
EexJ12 1*(r1)2*(r2)V(r12)1(r1)2(r2)d1rd2r
H ex 来源于库仑势的交互作用项，互作用实为静电性的，
不能理解为电子磁矩之间的直接磁作用。
• 将上式推广到自旋大于1/2的情况，即每个离子上的 自旋未配对d电子数大于1,两格点间交互作用能
^^
^
^
^^
H e x 2 J 12 s 1 is 2 j 2 J 12 s 1 i• s 1 j 2 J 1S 2 1 • S 2
n ^kTb k bkTe k/1 kBT1
对立方晶系，低温时所有自旋波模的总元激发个数：
kn ^ kT8 V3 *ex2S pd J 2 [k 3k 2 a /kB T]1
设温度足够低，2SJ2kam 2 a x kBT积分可近似在全k空间
进行
1
N
k
^
nk
T
V 2Na3
kBT
3/ 2
将上述关系代入交换作用项：
Hex
1 2
l ,l '
' Jll'
ClClCl'Cl'
ClClCl'Cl'
ClClCl'Cl'
ClClCl'Cl'
1 2
l ,l '
'
Jl
l'
1 4
^
(1lz
^
)(1lz'
)
1 4
^
(1lz
^
)(1lz'
)
1 4
^
l
^
l'
1 4
^
l
^
l'
1 4
l ,l '
H J '{(S alal )(S al al ) l,
1 2
2S alal alal
2S al al
1 2
al
2S alal
2S al al al }
（3）低激发态—自旋波
由于对低激发态，每个自旋的平均偏离很小，这时可 得将根号展开的近似哈密顿：
H 0 N2 Z 2 ZJ lJ a l S a lS Jl,S '( a la l a l a l )
• 设晶体中有N个格点，每个格点上的离子只有一个未配 对的局域态d电子。态矢量可用瓦尼尔函数作基函数表示：
(r) Cl a(r l) l ,
a(r l)为瓦尼尔函数。
根据二次量子化的标准手续，交互作用为
Hex12l,l'
' 'Jll'ClCl'Cl''Cl'
,'
Jll' e2
a*(rl)a(rl')a*(r'l')a*(r'l)d3rd3r' |rr'|
^
S
z l
•设z轴为量子化轴，则某一格点上的自旋态可用离子自
旋S与算符
S
^ z
l
的本征值m标记为|s,m>
^
Sl | S,m[(Sm)(Sm1)]1/2 | S,m1
^
Sl | S,m[(Sm)(Sm1)]1/2 | S,m1
^
Slz | S,mm| S,m
^
m0,1,2,...S,共2S1个值 Sl。 为自旋上升及。
Ms
e S m
e Msz 2mMB
MB为波尔磁子。
^^
^
•自旋角动量满足以下 S S i S 即
对易关系： ^ ^ ^ ^
^
S x S y S y S x i S z
^^ ^^
^
S y S z S z S y i S x
^^
^^
^
S z S x S x S z i S y
由于 Sx2Sy2Sz242
ibk t
kbk
• 如果考虑自旋波之间的相互作用，算符al的非线性方程， 一维情况下有孤子解，因此，孤子代表系统的非线性元激 发
考虑自旋波之间的相互作 用后对k的修正；温度升 高会发生自旋波频率的软 化现象。
4.铁磁体的低温磁化强度
• 由于自旋算符满足玻色对易关系，因此温度T时所激发的平 均量子数满足玻色分布：
那么（1）它将带动邻近格点自旋取向的改变；（2）邻近
自旋对
的^ 作用使它恢复原来的取向。 Sl
形成离子自旋相对取向的振荡：由于各格点上进动自 旋的方位角不同，类似波动的特性，这就是自旋波
^
Sl
• 自旋晶格系统的元激发-磁振子
•自旋波的量子称为磁振子 磁振子是描述晶格自旋相对取向振荡的量子，是互作用系 统的集体激发 （声子是描述晶格离子间相对位移振荡的量子）
ij
i
j
^
^^
^
其中 S1，s1i,S2 s2j分别为两格点 总上 自离 旋子 算
i
j
以上假设：1）同一格点离子上的电子间交互作用忽略不计； 2）两格点间所有电子具有相同的交换积分。
将 H ex 对所有格点求和即的海森堡哈密顿
• 由于交换作用是短程作用，可以只计算近邻格点间的作用
^^
HJ Sl•Sl l,
^
S ( 2S a a )a
^
S a( 2S aa
^
S z (S a a)
a | n n1| n1 这里 a | n n| n1
是n 的产生和消灭算符
量子数算符a： a| nn| n
满足玻色对易关系：[ a ,a ] 1 ,[ a ,a ] [ a ,a ] 0
得到海森堡哈密顿的二次量子化表达式
这里假 Jl,l定 为各向同性 J
代表近邻格点间位差置。矢
当J 0时，上式基态为铁。磁序 当J 0时，上式可用于描铁述磁反性。 当J 0时、且近邻格点为磁不离同子S（不同） 上式描述亚铁磁性铁。淦即氧磁性。
(2) 海森堡哈密顿量的推导
• 狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模型。 他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。 下面介绍s=1/2的推导：
^
Sl | 00
^^
H|0J( 'SlZ SlZ)|0JNZ2S|0； Z为晶格的配位数 l,
基态本征: 值E为 0 JNZ2S （2）霍斯坦因-普里马可夫变换
现在讨论自旋系统的低激发态：一个格点的自旋偏转 由于相互作用会传播形成自旋波
|( S 1 ) l |S 1 |S 2 .|.S . l 1 |S 1 l|S l 1 .|.S . N |(S 1 ) l 1 |S 1 |S 2 .|.S . l|S 1 l 1 |S l 2 .|.S . N
bk ,bk是自旋波量子的消产灭生和算符，
^
bkbk nk 代表自旋波量子的度数算密符。 与声子问题类| n似 1,n2， ,...,nN 是H0的本征向量， 因此， H0通常又称为自旋波的近哈似密顿量
若计入算符的高阶项，可得
H H0 H1 H2 ... H1代表自旋波之间的作相用互。
• 自旋波模式只是线性理论的结果，而磁振子被称为系统 的线性元激发
电子自旋的概念
1925年，Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋的概念
• 电子具有自旋及自旋角动量纯粹是量子特性；它是描述 电子状态的第四个变量。（其它变量为x,y,z)
(1)每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的 投影只能取两个数值：
sz 2
(2)每个电子具有自旋磁矩，它在空间任何方向上的投影 只能取两个数值：
l
H0 E0 2ZJS bkbk ZJS k(bkbk bkbk)
k
k
E0 kbkbk
k
k是自旋波频率 k代 ，表自旋波的量为 子磁 ，振 称子。
k 2ZJS(1k)
这里定义了结构因子：
k Z1 eik• k 由于晶体的时间称反性演对
有 k
k
0 k
1eik• 0 Z
不同的晶体结构有不同
• 那么，铁磁系统的哈密顿可写为：
H Jl,' S ^ lzSl^ z 1 2(S ^ lSl^ S ^ lSl^ )
则可严格证明铁磁体的基态为（各个格点自旋取向一致）： |0 |S 1 |S 2 .|S . l . .|S . N , .这 |S l |S ， 里 m S l 那么有以下关系和基态本征值：
N
1 2
e
ik
•
l
a
l
l
这里 bk , bk 已不再是作用于某一格点上的算符，而是作
用于所有格点的自旋波算符，代表自旋系统的集体坐标。
满足玻色对易关系： [ b k ,b k '] k ',[ k b k ,b k '] [ b k ,b k '] 0
利用，N1 ei(kk')•l k'k求的对角化的哈密顿为
1.自旋波图像
• 每一格点具有自旋角动量的晶格系统称为自旋晶格系统 由于交互作用，自旋晶格系统的基态是磁性离子自旋排列的 有序状态
依赖相邻磁离子自旋取向
最常见的简单磁有序状态：铁磁序、反铁磁序、铁淦氧磁序
系统受到微扰后的低激发态是什么形式？
^
• 设铁磁体中某一格点上的自旋 S l 因扰动偏离量子化轴，
^ 0 1 ^ 0 i
^ 1 0
x 1 0 , y i 0 , z 0 1
^
^ ^ ^
x i y j z k
^
^
^
x i y 使自旋朝下变为朝上
^
^
^
x i y 使自旋朝上变为朝下
2. 海森伯模型
（1）自旋-自旋相互作用系统的哈密顿量可表示为：