暑期培训：多边形及其内角和讲义

第六讲《三角形》（4）

11.3多边形及其内角和

知识点一、多边形的有关概念

1、多边形：在平面内，由一些线段组成的图形叫做多边形。

2、多边形的内角、外角、对角线

（1）内角：；

（2）外角：；

（3）对角线：；

3、凸多边形：

；

4、正多边形：。

例1、如图，其中是凸多边形的是（）

①②③④

A、②④

B、①②③ C 、①②④ D、③④

【针对训练1】

下列说法错误的是（）

A、正多边形的每个内角都相等否

B、正多边形的每条边都相等

C正多边形的每条对角线都相等 D正多边形一定是凸多边形知识点二、多边形的对角线条数

一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，故边形的对角线共有

条。

例2、填空：

（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形；（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形；（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形；（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形【针对训练2】如图所示，图中包含的四边形有个，五边形有个，六边形有

个

【针对训练3】从n（n≥3）边形内部一点分向各顶点引线段，可以将n边形分

成个三角形；从n边形一边上的点（不与顶点重合）向各顶点引

线段，可以把n边形分个三角形；从n边形的一个顶点向其余各顶

点引线段，可以将边n形分成个三角形。

【针对训练4】求十二边形的对角线的条数。

知识点三、多边形的内角和公式与外角和

多边形的内角和公式：n边形的内角和= ；

n边形的外角和等于。

尖子生笔记：（1）多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一边，内角和增加180°，但外角和始终不变。

（2）正n边形每一个外角= ，正n边形每一个内角= 。

例3、若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（）

A、六边形

B、七边形

C、八边形

D、九边形

【针对训练5】一个多边形的内角和等于外角和，这个多边形是（）

A、三角形

B、四边形

C、五边形

D、六边形

例4、一个正多边形的每个内角与相邻外角之比为4：1，则这个正多边形的边数是（）

A、八边形

B、九边形

C、十边形

D、十二边形

【针对训练6】一个正多边形的每个内角是外角的5倍，则这个正多边形的边数是。

***例5、一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，那么这个多边形的内角和是多少？【针对训练7】如图所示，在五边形ABCDE中，AE//CD，∠A=113°，∠B=119°，求∠C的度数。

***例6、一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，

则原多边形的边数是多少？

（思考：截去一个角后，边数可能怎样变化？如下图：）

【针对训练8】一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为1350°，求此多边形的边数。

例7、如图，求∠A +∠B + ∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数。

【针对训练9】如图所示，这是一个有趣的“星形”图案，请求出其中∠A +∠B + ∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠J 的度数。

例8、如图，求∠A +∠B + ∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数。

【易错题训练1】一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是（ ）

A 、正方形

B 正三角形

C 六边形

D 正六边形

【易错题训练2】如果一个多边形的内角和等于900°，求这个多边形的边数。

例9、正十边形的每个外角等于（ ） A 、18 ° B 、36° C 、45° D 、60° 例10、如图，∠1、∠2、∠3、 ∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=120°，

则∠1+∠2+∠3+∠4= 。

例11、正n 边形的一个外角的度数为60°，则n 的值为 。

例12、一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 。

【针对训练10】正六边形的第个内角都是（ ）

A 、60 °

B 、80°

C 、100°

D 、120°

【针对训练11】若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9

【针对训练12】若一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）

A 、180°

B 、720°

C 、1080°

D 、540

°

H A

F E D

G C B

【针对训练13】己知一个多边形的内角和是外角和的

2

3，则这个多边形边数是 。 家 庭 作 业

基础过关

1、一个正多边形的一个外角与相邻的内角的度数之比为1：3，则这个多边形是（ ）

A 、正五边形

B 、正六边形

C 、正八边形

D 、正十边形

2、若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形是（ ）

A 、三角形

B 、四边形

C 、六边形

D 、八边形

3、剪下凸多边形的一个角，则所形成的新多边形的内角和将（ ）

A 、减少180°

B 、增加180°

C 、减少180°或增加180°

D 、减少180°或增加180°或不变

4、己知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）

A 、八边形

B 、十二边形

C 、十边形

D 、九边形

5、一个多边形的每一个内角都等于160°，则这个多边形是 边形。

6、如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠1= 。

能力挑战

7、如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆则图中阴影部分的面积为 。

8、将一块正五边形纸片（图1）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒

（侧面均垂直于底面见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的

四边形ABCD ，则∠BAD 的大小是 。

9、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+G+∠H+∠I+∠J 的度数。

思维拓展

10、如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度，若最小角是100°，最大角是140°，那么这个多边形的边数为多少？

R Q P N M J

G H E F C D A B I C

A D

B