关于等比数列前项和第二课时课件

当 q 1 时，S 5 5 a 1 1 0 5 a 1 a 1 2 此时，S1010a12050
故 q1 ∴
S5
a1
1q5 1q
10
S10
a1
1q10 1q
50
两式相除得：1 q 1 0
1 q5
5
1q5 5
q5 4
∴ a1 10
1 q 3
∴
S15a11 1 q q15
10143 3
当
q
1
时，Sna1a2
an
a1
1 qn 1 q
S 2 n S n a n 1 a n 2 a 2 n an11
1 q
q
n
S 3 n S 2 n a 2 n 1 a 2 n 2 a 3 n a2n111q qn
∵
a2 n1
a1a2n1
∴ Sn,S2nSn,S3nS2n是等比数列
复习回顾
• 等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列.
• 等比数列的通项公式 ana1qn1amqnm
•
等比数列的前n项和公式
Sn
naa1(111qqn)
,(q1) a1 anq,(q
1q
1)
如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连 得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形.求： （1）第5个正方形的边长； （2）第10个正方形的面积； （3）这10个正方形的面积之和.
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用整体思 想求解
问题6：在等差数列 a n 中， S n 为其前n项和，则
S n,S 2nS n,S 3 nS 2n, 具有怎样的性质？
S n,S 2nS n,S 3 nS 2n, 也成等差数列
问题7：你能类比在等比数列中，也有类似的性质吗？
并用该性质重新解答例题4
当 q 1 时，S n S 2 n S n S 3 n S 2 n n a 1显然是等比数列；
设这10个正方形的边长构成数列 a n ，则数列 a n 是等比数列
问题2：第一个正方形的面积和第二个正方形的面积有 什么关系？你能发现规律吗？
设这10个正方形的面积构成数列 b n ，则数列 b n 是等比数列
问题3：怎样求这10个正方形的面积之和？
这10个正方形的面积之和就是数列 b n 的前10项的和.
∴ S 1 5 S 5 S 1 0 S 5 S 1 5 S 1 0 1 0 4 0 1 6 0 2 1 0
练：已知一个等比数列前6项的和与前3项的和的比等
于3，求前6项的和与前12项的和的比. 1 : 5
错位相减法求和
例 5.求和：1＋232＋243＋…＋2nn－1＋n＋2n 1.
关于等比数列前项 和第二课时
一、实例探究
例1. 如图，画一个边长为2cm的正方形，再 将这个正方形各边的中点相连得到第二个正 方形，依此类推，这样一共画了10个正方形. 求： （1）第5个正方形的边长； （2）第10个正方形的面积； （3）这10个正方形的面积之和.
问题1：第一个正方形的边长和第二个正方形的边长有 什么关系？你能发现规律吗？
1 128
（3）这10个正方形的面积之和即数列 b n 的前10项之和
S10
b1
1q10 1q
4
1
1 2
10
1 1
2
8
1
1 2
10
1023 128
Baidu Nhomakorabea式再应用
例2.求和：a 1 a 2 2 a n n
问题4：能看成等比数列的前n项和吗？ 等比数列中不能有“0”这样的项； 等比数列的前n项和公式需要对公比q是否等于1进行
分类讨论.
例2.求和：a 1 a 2 2 a n n
解： a 1 a 2 2 a n n a a 2 a n 1 2 n
（1）当a 0 时，原式 12 n n n 1 分组求和
2
（2）当 a 1 时，原式 n12 n nn 1
2
（3）当 a1且a0时，原式
所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列 a n
其中 a 1 5 0 0 0 ,q 1 1 0 ％ 1 .1 ,S n 3 0 0 0 0
于是得到 500011.1n 30000 整理得：1.1n 1.6
11.1
两边取对数，得
nlg1.1lg1.6 即
n
lg 1 .6 lg 1 .1
a 1an
nn1
1a
2
综上，当 a 1 时，原式 n12 n nn 1
当 a
1 时，原式
a 1an
nn1
2
1a
2
公式的实际应用
例3.某商场今年销售计算机5000台.如果平 均每年的销售量比上一年的销售量增加10 ％，那么从今年起，大约几年可使总销售 量达到30000台（结果保留到个位）？
解：（1）设这10个正方形的边长构成数列 a n ，
则数列 a n 是等比数列， 且a1
∴第五个正方形的边长
2
2, q
a5
2 a1q4
2
4
2 1
2
2
（2）设这10个正方形的面积构成数列 b n ，且 bn an2
则数列
∴b n 第 是1等0个比正数方列形，的且面b积1a12b104,qb1q9q2412129
∴ S n,S 2nS n,S 3 nS 2n, 是等比数列
例4.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和 等于50，求它的前15项的和.
另解：∵ S5,S10S5,S15S10也成等比数列
而 S 5 1 0 ,S 1 0 S 5 5 0 1 0 4 0
∴
S15
S10
402 10
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a1,q,an,n,Sn
由计算器算得 n 0 .2 0 2 5（年）
0 .0 4 1
答：大约5年可使总销售量达到30000台
知三求二
类比推理，归纳性质
例4.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和 等于50，求它的前15项的和.
解：设该等比数列的首项为 a 1 ，公比为 q ，前n项和为 S n
问题5：怎样理解“平均每年的销售量比上一年的销售量 增加10％”？
如果把每年的销售量看成一个数列，则这个数列
是一个等比数列.
例3.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上 一年的销售量增加10％，那么从今年起，大约几年可使总销售
量达到30000台（结果保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同.