2017_18版高中数学1.1.1函数的平均变化率学案

1．1.1 函数的平均变化率

明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

1．函数的平均变化率

已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商

f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝Δy

Δx

叫做函数y

＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义 Δy Δx ＝f

x 2－f x 1

x 2－x 1

表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜

率．

[情境导学]

某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 函数的平均变化率

思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．

如用比值

y C －y B

x C －x B

近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．

思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子

f x 2－f x 1

x 2－x 1

表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变

化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢． 思考3 平均变化率有什么几何意义？

答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx

＝

f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1

Δx

为割线AB 的斜率．

x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应

Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.5

3－0

＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6＝2.4

6＝0.4(千克/月)． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx

＝

f x 2－f x 1

x 2－x 1

.

跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：

(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案 (1)12 (2)3

4

解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为

f 1－f －1

1－－1＝2－12＝1

2

.

(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋32

，－1≤x ≤1

x ＋1，1

.

所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f

2－f 02－0＝3－3

22＝34

.

探究点二 求函数的平均变化率

例2 已知函数f (x )＝x 2

，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为

f 3－f 1

3－1＝32－1

2

2

＝4；

(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为

f 2－f 1

2－1＝22－12

1

＝3；

(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为

f 1.1－f 1

1.1－1＝1.12－12

0.1

＝2.1；

(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为

f 1.001－f 1

1.001－1＝1.0012－12

0.001

＝2.001.

反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．

跟踪训练2 求函数y ＝x 2

在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？

解 在x ＝1附近的平均变化率为

k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝

1＋Δx 2

－1

Δx

＝2＋Δx ；

在x ＝2附近的平均变化率为

k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22

Δx

＝4＋Δx ；