2014年重庆市三峡名校联盟联合高考适应考试数学(理)试题

2014年重庆市三峡名校联盟联合高考适应考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M
N =（ ）
A ．{21}
x x -≤< B ．{21}
x x -<< C ．{2}
x x <-
D ．{|2}x x ≤
2．在等差数列{}n a 中，134610,4a a a a +=+=，则公差d 等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．－2
3．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为（ ） A ．20 B ．25
C ．30
D ．35
4．“a ＞b ＞0”是“ab ＜2
2
2b a +”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图所示程序框图，则输出的s =（ ）
A ．2014-
B ．2014
C ．
-
D ．
6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图上半部分为半圆，则该几何体的体积为( )
a
（第3题图）
n ≤2014 正视图 俯视图 侧(左)视图 第5题图 第6题图
A ．3
2+
π
B ．3
4+
π
C ．2+π
D ． 12+π
7．圆2
2
20+-+=x y ax 与直线相切于点(3,1)A ，则直线的方程为（ ）
A ．250--=x y
B ．210--=x y
C ．40+-=x y
D ．20--=x y
8．已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=x
x f ,若函数)(x f 在区间
),1(k k -上有零点，则下列符合条件的k 值是( )
A ．-8
B ．-7
C ．-6
D ．-5
9．正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ）
A ．]2
3,23[-
B ．]2
1,23[-
C ．]2
3,21[-
D ．]2
1,21[-
10．若关于24
|
|kx x x x =+的方程
有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A ．)2,0(
B ．)1,41(
C ．),4
1
(+∞ D ．),1(+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．若为虚数单位，则复数
512i
i
+的虚部是___▲____． 12．直线1y =与函数π
3sin
(010)2
y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．
13．4名学生和2名老师手牵手围成一圈，要求老师必须相邻，不同排法数为____▲____．
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14．如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC
的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝ ▲ ．
15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立
极坐标系.已知直线0)3sin(=+πθρ与曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-
=+=t t y t
t a x 1)1(1（为参数）无交点，则a 的取值范围为____▲____.
16．若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m 的取值范围为____▲____．
三、解答题：本小题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分.） 已知函数2
()()4x
f x e ax b x x =+-+,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为23y x =-. （1）求,a b 的值；
（2）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极小值.
18．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分.） 由于“营养快线事件”，工商部门决定对重百超市销售的A 公司生产的4种饮料和B 公司生产的2种饮料进行突击检测，检验员从以上6种饮料中每次抽取一种逐一不放回地进行检测. （1）求前三次检测的饮料中至少有一种是B 公司生产的概率；
（2）记检测完A 公司的饮料时已经检测的B 公司生产的饮料总数为ξ，求ξ的分布列及期望.
19．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分.）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且
1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.
（1）求证：AEF F AB 平面平面⊥1； （2）求二面角1B AE F --的余弦值.
F
E C 1
B 1
A 1
C
B
A
20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分.）
已知数列{}n x 满足：)(21,352
11*+∈+==N n x x x x n n n .记)(11log 2*
∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=N n x x b n n n ． （1）求证：数列{}n b 成等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）记n n c nb =-*
()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．
21．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分.）
某人设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点()F 0,1，0AC BD ⋅=，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． （1）求抛物线Γ方程；
（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？
22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分.）
已知函数()f x 在R +上有定义，且满足以下条件：①()f x 在R +上严格单调递减，且()12>x f x . ②在R +上恒有()()()23
211f x f f x f x ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭
. (1) 求函数值()1f ；
(2) 给出一个满足题设条件的函数()f x 并证明.
三峡名校联盟高2014级联合高考适应考试
数学试题答案（理工农医类）
一、选择题: DBCAB BCDBC
二、填空题：11
12．
13． 48
14 15． ]3,0([ 16．]1,(-∞
三、解答题：
17、解：（1）因2
()()4x
f x e ax b x x =+-+，故()42)(+-++='x b a ax e x f x
.
令,0=x 得：()()b f b a f =++='0,40
由已知，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为23y x =-.切点为()3,0- 则有()()30,240-===++='b f b a f 解得：3,1-==b a .
（2）由（1）得：())2)(2(42)2(--=+--='x e x x e x f x
x
.(),22ln ,0==='x x x f 或得
当22ln ><x x 或时，()()()()上为增函数，，，，在故∞+∞>'22ln -,0x f x f
当22ln <<x 时，()()()上为减函数，在故2,2ln ,0x f x f <'
故()()2
422e f x x f -==处取得极小值在.
18、（1）设“前三次检测中至少有一种是B 公司产品”为事件A.则：5
4
1)(363
4=-=A A A P .
（2）记检测完A 公司的饮料时已经检测的B 公司生产的饮料总数为ξ，则ξ可能的取值为0、1、2、3
且32)2(,154
)1(,151)0(6
6
5514564
414124644=========A A C P A A C C P A A P ξξξ 故ξ的分布列为
5
32151=⨯+⨯
=ξE 19、（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥. 又
三棱柱
111ABC A B
C -为直三棱柱，
∴面ABC ⊥面11BB C C ，
∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. ………………………… 2分
设
11AB AA ==，则
1132B F EF B E =
==.
∴222
11B F EF B E +=，∴1
B F EF ⊥. 又AF
EF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF . …………………………
4分
而F B F B 1
1A 面⊆ 故:AEF F AB 平面平面⊥1………………………… 5分 （2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设
11AB AA ==
，
则1
1
(0,0,0),
(0,)
2F A B E ， 1()2
AE =-
，
1(AB =-
. …………………………7分
z
y
x
A
B
C
A 1
B 1
C 1
E F
由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF
的法向量
1(0,
m FB ==. …………… 9分
设平面
1B AE 的法向量为(,,)n x y z =
，
由
11
0,0,0,2020,
0x y z n AE z n AB z x y z ⎧-+=⎪⎧⋅=+-=⎪⎪⇒⇒⎨
⎨⋅=--=⎪⎪⎩++=⎪
⎩∴可取(3,1,n =-. …11分
设二面角
1B AE F --的大小为θ，
则
cos |cos ,|||||
m n
m n
m n θ⋅=<>=
==
.
由图可知θ为锐角∴所求二面角1
B AE F -- ……………… 13分
20、解：（1）22
2
122
11
112211
1121112n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x +++-⎛⎫--+-=== ⎪+++++⎝⎭
+ ………………………… 2分 于是122111log ()2log ()11n n n n x x x x ++--=++，即12n n b b +=，又由条件知153x =，故12251
13log (
)log 25413
b -===-+，所以数列{}n b 成等比数列．于是2n n b =-，
所以．数列{}n b 的通项公式为2n n b =-． ……………… 5分 （II ）由（I ）知，2n n b =-，故2n n c n =⋅，
1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，
234121222322n n T n +=
⨯+⨯+⨯+
+⨯，
于是2
3
1
12(12)22222
212
n n n n n T n n ++--=+++
+-⨯=-⨯-， ………………………… 10分
即 ()1
12
2n n T n +=-+，
所以，数列{}n c 的前n 项和公式()1
122n n T n +=-+. …………………………12分
21、解：（1）由抛物
线
焦
点
得,抛物
线
方程
为
………………………… 4分
（2）
设，则点
所以，
，既
解
得
………………………… 6分
同理：
、、……………………… 9分
“蝴蝶形图案”的面积……… 10分
令,
则
, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为8. ……… 12分
22、（1）()()()()()()()()2
311111,11111x f
f f f f f f f =-=>∴-=当时，由②得由①得…… 2分
()()()R 11=11=2f x f f *∴-∴在上严格递减， …… 4分
（2）()22
3242242
22
1.-281-a a a a a f x f a x x x x x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设由②得：，（）
3281680.a a a -+-=±化简得解得：a=2,3
()()22
1=22=
f a f x x
∴=故 ………………… 8分 证明如下：①()()()()
1221121222
1220x x x x x x f x f x x x +-<<-=
>当0时，
()()()12,f x f x f x >即严格递减()()22
21=
f x f x x x >∴又满足条件①…………
10分
②()()2
2
322
224242
2
1221414
2()8(1)1()f
x f f x f f f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=⋅-=⋅=⋅== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x 满足条件②
所以函数()2
2
=
f x x 满足题设的两个条件 ………… 12分。