高中数学-数列的基本概念

高中数学-数列的基本概念
1．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 应取( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22
答案 C
解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，∴x ＝8＋13＝21，故选C. 2．数列13，18，115，1
24，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝1
2n ＋1
B ．a n ＝1n ＋2
C ．a n ＝1
n （n ＋2）
D ．a n ＝1
2n －1
答案 C
解析 观察知a n ＝1（n ＋1）2
－1＝1
n （n ＋2）. 3．(·济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1
a 5
等于( ) A.56 B.65 C.130
D ．30
答案 D
解析 ∵当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），∴1a 5
＝5×(5＋1)＝30. 4．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2 017的值为( ) A ．－1 B.1
2 C ．2 D ．3
答案 C
解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，所以a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1
2，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，
可知数列的周期为3.而2 017 ＝3×672＋1，所以a 2 017＝a 1＝2.故选C.
5．(·辽宁省实验中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n
D ．2n
－1
答案 C
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为a n ＝2n
.故选C.
6．(·辽宁)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d<0
B ．d>0
C ．a 1d<0
D ．a 1d>0
答案 C
解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1a n ＋1，n ∈N *
，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C.
7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－10n(n∈N *
)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项
答案 B
解析 ∵S n ＝n 2
－10n ，∴当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n∈N *)．记f(n)＝na n ＝n(2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图像的对称轴为直线n ＝114，但n∈N *
，∴当n ＝3
时，f(n)取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项． 8．数列
53，108，17a ＋b ，a －b 24
，…中，有序实数对(a ，b)可以是( ) A ．(21，－5) B ．(16，－1) C ．(－412，11
2)
D ．(412，－11
2
)
答案 D
解析 由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b)＝(a －b)－24＝2，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝41
2，b ＝
－11
2
.故选D. 9．(·山东荷泽重点高中联考)观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数f(n)为( )
A.（n ＋1）（n ＋2）2
B.
（n ＋2）（n ＋3）
2
C.n 2
D.n 2
＋n 2
答案 A
解析 由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋1＝（n ＋1）（n ＋2）
2
.
10．(·郑州第二次质量预测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( ) A ．2 017n －m
B ．n －2 017m
C ．m
D ．n
答案 C
解析 根据题意计算可得a 3＝n －m ，a 4＝－m ，a 5＝－n ，a 6＝m －n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…，因此数列{a n }是以6为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以S 2 017＝S 336×6＋1＝a 1＝m.故选C.
11．(·湖南长沙模拟)已知S n 是各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，S n >1且S n ＝（a n ＋3）（a n ＋1）8(n ∈N *
)，
则a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －3 C ．4n －3或4n －1 D ．n ＋2
答案 A
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝
（a 1＋3）（a 1＋1）
8
，解得a 1＝1或a 1＝3，∵S n >1，∴a 1＝3，当n≥2时，a n ＝S n
－S n －1＝（a n ＋3）（a n ＋1）8－（a n －1＋3）（a n －1＋1）
8，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0，∵a n >0，故a n －a n －1＝4，
∴{a n }是首项为3，公差为4的等差数列，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1.
12．(·湖北宜昌一中月考)定义a n ＝5n
＋(15)n ，其中n∈{110，15，12，1}，则a n 取最小值时，n 的值为( )
A.1
10
B.15
C.12 D ．1
答案 A
解析 令5n
＝t>0，考虑函数y ＝t ＋1t (t>0)，易知其中(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且当t
＝1时，y 的值最小．再考虑函数t ＝5n
，当0<n≤1时，t ∈(1，5]，可知当n ＝1
10
时，a n 取得最小值．故选A. 13．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________． 答案 a n ＝2n ＋1
14．(·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式a n ＝________．
答案 (－2)
n －1
解析 由S n ＝23a n ＋1
3
，得当n≥2时，
S n －1＝23a n －1＋13，∴当n≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1
.
15．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *
，则a 2 013＝________；a 2 014＝________． 答案 1，0
解析 a 2 013＝a 504×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.
16．(·广东梅州质量检测)已知数列2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 017项之和S 2 017等于________． 答案 2 016
解析 根据题意可将该数列多写几项出来，以便观察：2 016，2 017，1，－2 016，－2 017，－1，2 016，2 017，1，….观察发现该数列是周期为6的周期数列，且前6项的和为0.而要求的2 017＝6×336＋1，则S 2 017＝0×336＋a 2 017＝0＋a 1＝2 016.
17．(·广州一模)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n∈N *
，都有4S n ＝a n 2
＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________． 答案 2n
解析 当n ＝1时，由4S 1＝a 12
＋2a 1，a 1>0，得a 1＝2； 当n≥2时，
由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a n 2
＋2a n )－(a n －12
＋2a n －1)， 得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n ＋a n －1>0， 所以a n －a n －1＝2，
则数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.
18．(·北京海淀区一模)数列{a n }的通项为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2n
－1，n ≤4，－n 2＋（a －1）n ，n ≥5，(n∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，
则a 的取值范围是________． 答案 [9，12]
解析 当n≤4时，a n ＝2n
－1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24
－1＝15. 当n≥5时，a n ＝－n 2
＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋（a －1）
2
4
.∵a 5是{a n }中的最大值，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，
－52＋5（a －1）≥15，
解得9≤a≤12.∴a 的取值范围是[9，12]．
19．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
答案 (1)a 2＝3，a 3＝6 (2)a n ＝n （n ＋1）
2
解析 (1)由S 2＝4
3a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；
由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝3
2
(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1.
当n>1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋1
3a n －1，
整理，得a n ＝n ＋1
n －1
a n －1.
于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝4
2a 2，…，
a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1
n －1
a n －1.
将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n （n ＋1）2.
综上，{a n }的通项公式a n ＝
n （n ＋1）
2
.
1．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案 C
2．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．
3．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项
答案 C
解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3（n －1）＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.
4．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n≥1)，则当n≥1时，a n 等于( ) A ．2n
B.1
2n(n ＋1) C ．2
n －1
D ．2n
－1
答案 C
解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2.
代入四个选项检验可知a n ＝2
n －1
.故选C.
5．(2017·上海松江一模)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1，2.第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”，后得到1，4，3，5，2.那么第10次“H 扩展”后得到的数列的项数为( ) A ．1 023 B ．1 025 C ．513 D ．511
答案 B
解析 设第n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ，则第n ＋1次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)．∴a n ＋1－1a n －1＝2.又∵a 1－1＝3－1＝2，∴{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数
列，∴a n －1＝2·2
n －1
，∴a n ＝2n ＋1，∴a 10＝210
＋1＝1 025.故选B.
6．(·辽宁沈阳二中月考)数列{a n }中，a n ＝n － 2 016
n － 2 017，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )
A ．a 1，a 50
B ．a 1，a 44
C ．a 45，a 44
D ．a 45，a 50
答案 C 解析 a n ＝1＋
2 017－ 2 016n － 2 017
，∴a 44<0，a 45>0，且从a 1到a 44递减，从a 45到a 100递减．
7．(·河北省衡水中学模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2
(a n >0，n ∈N *
)，则a n ＝( ) A ．10
n －2
B ．10n －1
C ．102
n －1
D ．22
n －1
答案 D
解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n 2
(a n >0，n ∈N *
)， 所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ，即log 2a n ＋1
log 2a n ＝2.
又a 1＝2，所以log 2a 1＝log 22＝1.
故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 所以log 2a n ＝2
n －1
，即a n ＝22
n －1
.故选D.
8．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 7＋a 8的值为________． 答案 28
解析 a 7＋a 8＝S 8－S 6＝82
－62
＝28.
9．(·广东广州5月月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2
＋a n ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则[1a 1＋1＋
1a 2＋1＋…＋1a 2 017＋1]＝________． 答案 0
解析 因为a n ＋1＝a n 2
＋a n ，所以
1a n ＋1
＝
1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，即1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，于是1a 1＋1＋1
a 2＋1
＋…＋
1a 2017＋1＝(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a 2 017－1a 2 018)＝1a 1－1a 2 018.因为a 1＝1，a 2＝2>1，a 3＝6>1，…，可知1
a 2 018∈(0，
1)，则1a 1－1a 2 018∈(0，1)，所以[1a 1－1a 2 018
]＝0.
10．(·安徽屯溪一中月考)已知函数f(x)＝2x
－2－x
，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n(n∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)讨论数列{a n }的单调性，并证明你的结论． 答案 (1)a n ＝n 2
＋1－n (2)略
解析 (1)因为f(x)＝2x
－2－x
，f(log 2a n )＝－2n ， 所以2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1
a n ＝－2n ，
所以a n 2
＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n±n 2
＋1. 因为a n >0，所以a n ＝n 2
＋1－n. (2)数列{a n }是递减数列．证明如下： 因为a n ＋1a n ＝（n ＋1）2
＋1－（n ＋1）n 2
＋1－n ＝
n 2
＋1＋n
（n ＋1）2
＋1＋（n ＋1）
<1， 又a n >0，所以a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列．
11．(·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝3n
－λa n 2
，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 答案 (1)a n ＝n(n∈N *
) (2)(－∞，2)
解析 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1， ∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n
n ，
∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n(n∈N *
)． (2)b n ＝3n
－λn 2. b n ＋1－b n ＝3
n ＋1－λ(n＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n
－λ(2n＋1)．
∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n
－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n
2n ＋1.
令c n ＝2·3n
2n ＋1，则c n ＋1c n ＝2·3n ＋1
2n ＋3·2n ＋12·3n ＝
6n ＋3
2n ＋3
>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．。