理论力学课件3 动力学-三大定理

7.7
0

4.0
10
质点系动力学
工 程 中 的 质 点 系 动 力 学
11
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动
量、动量矩和动能）的变化与作用力间的关系。
主 要 内 容
•质点系的动量定理
•质点系的动量矩定理 •质点系的动能定理
12
质点系的动量定理
d n mi vi Fj d t i 1 j
J z mi ri
y
2
1、积分法——适用于规则、简单形状
(1)匀质等截面杆对z轴的转动惯量(坐标系建立在质心处)
1 J z ml 2 J y 12
(2) 半径为R的匀质圆盘对圆心坐标系的转动惯量
y
x
1 J z mR 2 2
(3)细圆环对质心坐标系的转动惯量
y
x
J z mR
2
x
m Ft s m s2

Fn
8
0 Fb
例: 建立抛体的运动微分方程。（设空气阻力的 大小与速度的平方成正比，方向与速度相反。）
解：1、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 y
R
mg
ma mg R
v
x
ma mg (cvv )
2、建立直角坐标形式的运动微分方程
自由度： 1
广义坐标：
wt Q2
x
M
运动无未知量，各刚体质心的加速度 l aC 2 w 2 aC1 0 aC 3 lw 2 2 maC FR 代入质心运动定理 Q Q l " x" 2 w 2 coswt 3 lw 2 coswt Fx g 2 g
Fx
Fy
" y"
`
P2
Fy P P2 1
2 P P2 1 a 2g
20
例 电动机重Q1，外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长l， 重Q2，一端连一重Q3的小球。电机以匀角速度 w 转动，试求 螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
y
解： 1、[电动机] 受力分析如图
l
aC 2
Q1
aC 3
Q3
2、运动分析
d n mi vi Fj d t i 1 j
投影式
dp Fj dt j
dp x F jx j dt dp y F jy j dt dp z F jz dt j
15
动量定理的微分形式
动量定理的积分形式
dp Fj dt j
E
O
vr
wenku.baidu.com
h Lz ( B ) m B u 2

h
B
u
x
Lz ( E ) hmE (u vr )
28
质点对z轴的动量矩为：
（2）定轴转动刚体对转轴z的动量矩
记
J z mi ri 2
i 1
n
w
z
——刚体对z轴的转动惯量
ri
vi
Lz J zw
Lz方向与w相同
29
◎ 转动惯量
第一节内容
若有多个刚体( N个)，刚 体系质心不易确定时:
p m j v jC
j 1 N
m a
j 1 j
N
jC
Fj
j
•质心运动仅取决于质点系外力系主矢。
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动量定理
dp Fj dt j
动量定理和质心运动定理 所描述的是同一规律
d n mi vi Fj d t i 1 j
30
2、回转半径表示转动惯量
J z m z2
3、平行轴定理
z ——回转半径
工程中，标准形状构件的回转半径可以查表得到
z2
O O’
z1
刚体对平行的两根轴的转 动惯量之间有没有关系？ 设有两根平行的轴z1 和z2
若z1轴过质心：
x1
y2
y1
J z2 J Cz md
2
x2
d为z1和z2之间的距离
z
B
2r1 mv1
2 LC 2Lm(wL sin ) 2wmL sin
LC
L

r1 m1 g C r2
A
26
Lz LC sin Lz 2wmL sin
2 2
w
y
m2 g
x
质点系对O’的动量矩
LO ' rO 'C mvC LC
LC rCi mi vi
o
运动微分方程
v x2 y2
m cx x 2 x m mg cy y
y2 x2 y2
9
m 10kg, c 0.02Ns 2 /m 2 , v0 1000m/s,
炮 弹 运 动 轨 迹 图
0
B
定轴转动刚体对转轴z之动量矩
Lz J zw
32
质点系对O’的动量矩
LO ' rO 'C mvC L
r C
L rCi mi viC
r C i 1
n
(3)、平面运动刚体的动量矩
对任意O’点的动量矩：
O' rO'C

R
非纯滚动
y
A B
o
O


x
3
掌握:
1、自由度和广义坐标的概念 2、会判断质点系的自由度，并会选择广义坐标 明确: 对于完整、定常、双面约束的质系，自由度为k，则: 确定质系位形、速度、加速度均需k个独立运动量.
4
动力学
•动力学 dynamics 研究状态变量与作用量的关系
5
• 机械动力学研究思路
Q2 2Q3 l coswt At B 2(Q1 Q2 Q3 )
A0
23
Fy
积分，代入初始条件 x
B
t 0 : x 0, vC1 0
Q2 2Q3 l 2(Q1 Q2 Q3 )
第十四章
动量矩定理
建立力矩与运动的关系
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第二节 质点系的动量矩
一、质点的动量矩 动量— mi vi 动量矩－动量 mi vi 对某点或某轴的矩。
31
4、组合体的转动惯量
O
m1, l
A
组合法：组合体对某轴的转动惯量等于 所有组成物体对该轴的转动惯量的和。 1 7 2 J O J OA J AB m1l m2l 2
1 J OA m1l 2 3
3
3
m2, 2l
J AB
1 7 m2 (2l ) 2 m2 ( 2l )2 m2l 2 12 3
maC Fj
p mvC
j
& & mxc Fx 投影式 & & myc Fy & mzc Fz &
质心运动守恒
F
j
j
0
vc vc0
F
x
0 vcx vcx 0
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例： 如图，开始人和小车静止，求当人从小车的一端走到另 一端时，小车相对与地面移动的距离。
LO 'i
z
rO'i
O'
mi v i
y
x
注意：“某点”有可能是动点。 对任意点O’ 的动量矩: LO 'i M O ' (mi vi ) rO 'i mi vi Lx i Ly j Lz k
对某z 轴的动量矩：
二、质点系的动量矩
Lz M z ( mi v i ) ( mi vi ' ) d
i 1
n
刚体的动量矩
运动刚体的动量矩 区分不同运动形式
（1）平移刚体的动量对O’点之矩
LO' rO'C mv
z
mi
v
v
相当于质量集中于质心的单质点问题
O'
rOi rO'C
y
27
x
m 例：已知： B , mE , h, u, v r ，求滑块、质点对Z轴的动量矩。
y
z轴垂直于Oxy平面
A
解：滑块对z轴动量矩
广义坐标与自由度
•自由度数（degree of freedom)： 确定具有完整约束质点系位置所 需独立坐标的个数。 问题： 一个自由质点的自由度是多少？ 3 例：求图示受约束质点M的自由度数。 自由度： k
z
L
M
y
3 1 2
x
1
•自由度数（degree of freedom)： 确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。
y
l
aC1
Q1
aC 3C1
Q3
2、运动分析
aC1 a
自由度：2 广义坐标：
C1
aC 2C1
运动有一个未知量，各刚体质心的加速度
wt Q2
aC 2 aC1 aC 2C1
aC 3 aC1 aC 3C1
x
" x"
maC FR 代入质心运动定理 Q Q1 Q l a 2 (a w 2 coswt ) 3 (a lw 2 coswt ) 0 g g 2 g Q2 2Q3 a lw 2 coswt 2(Q1 Q2 Q3 )
质点－质点系 (刚体、刚体系)
• 机械动力学研究方法
◎ 牛顿经典动力学方法 ◎ 近代分析力学方法 达朗贝尔原理、虚位移原理、动 力学普遍方程、拉格朗日方程等
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三大定理
第十章
动力学基本定律 质点运动微分方程
• 研究质点的受力与运动之间的关系 牛顿第二定律：
ma FR
d r m 2 Fi dt i 1
质点系的动量
z
mi
vi
rC
y
ri
mj
•定义:
质点的质量与质点速度的乘积， 称为质点的动量。 pi mi vi 矢量， 质点动量的矢量和， 称为质点系的动量。
o
x
rj v j
与速度有关
p mvC
矢量，与质心速度有关
对任意质点系，称：
C点所在的位置为该 质点系的质量中心 (质心)。
13 质心与重心的位置是重合的
例: 求下例图所示物体的动量
p=0 m
v
p=mv
动量：
m
w
O
m1, l
p1
A
p mvC
w
◎单刚体动量
p mvC
N
m2, 2l
1 p1 m1wl 2
◎刚体系动量
p2
p mvC m j v jC
j 1
p2
2m2wl
B
14
p p1 p2
第三节 动量定理
动量定理的微分形式
LO '
z
对任意点O’的动量矩：
rO'i
O'
mi v i
y
LO ' rO 'i mi vi
i 1
n
x
vn
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例：求质点系对C点和对 z 轴的动量矩。两质点质量均为m。
解：根据动量矩的定义
LC (ri mi vi ) r1 m1v1 r2 m2v2
i 1
2
pt2 pt1 I j
j
I j Fj d t
t1
t2
动量守恒情况
当： Fj 0
j
n i 1
则： p p0
当： Fix 0 则：px
p0 x
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第一节 质心运动定理
d n mi vi Fj d t i 1 j
maC Fj
j
p mvC
解： 受力分析
运动分析 一个自由度 无运动未知
v
v/2
M
Fy Fx v,a P1
w
由质心运动定理
maC FR
" x" " y"
maCx Fx 0
P P2 1 a1 a2 P P2 Fy 1 g g P P2 a 1 a P P2 Fy 1 g g 2
z
L
M
•广义坐标(generalized coordinate)： 描述体系运动状态的独立参数
y
x
x2 y 2 z 2 L2
广义坐标：
x、y 或 x、z 或 y、z或…
2
问题: 确定系统的自由度和广义坐标

R
纯滚动
o
•简单的判断方法（定常约束）： 自由度数＝变成不动的结构所需限制的未知坐标数目
(Q2 2Q3 )lw 2 21 Fy max Q1 Q2 Q3 2g
思考：若螺栓不固定？
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例 电动机重Q1，外壳不固定，放在光滑平面上。匀质杆长l，重Q2， w 一端连一重Q3的小球。电机以匀角速度 转动，试求外壳质心的 运动规律。初始时刻电机静止，且以外壳中心为坐标原点。 解： 1、[电动机] 受力分析如图 x
• 已经运动求力
• 已知力求运动或运动轨迹
7
运动微分方程 矢量形式:
2
n
•问题: 在不同坐标系中运动微分方程都有什么形式? 一、矢量形式：
n d r m 2 Fi dt i 1 ma FR 2
z
FR
x
o
r
a
y
二、 直角坐标形式：
三、 自然坐标形式：
m Fx x m Fy y m Fz z
解： 水平方向不受力
maC FR
“x”
y M
m x l
maCx 0
vCx vCx 0 0
xC1 xC
因
2
ml Ml / 2 xC1 mM
xC 2 ms M ( s l / 2) mM
2
y x s l
22
19
由 得
xC1 xC
s
ml mM
例: 图示为起吊机构,已知吊装物体的重量及加速 度a，不计轮子的重量，试求支座处的约束力。

Q Q2 l 2 w sin wt 3 lw 2 sin wt Fy Q1 Q2 Q3 g 2 g
(Q2 2Q3 )lw 2 Fx coswt 2g
(Q2 2Q3 )lw 2 Fx max 2g
(Q2 2Q3 )lw 2 Fy Q1 Q2 Q3 sin wt 2g