保险精算 第5章1 生存年金
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生存年金的用途
＊人寿保险中，保险费通常以生存年金的方式分期 缴纳。 ＊某些场合保险理赔的保险金采用生存年金的方式， 如：
养老保险、伤残保险、失业保险 。
5.1 生存年金的概念
一、年金的特点
1、以生存为给付条件 2、给付具有不确定性
二、计算原理
趸缴纯保费=生存年金给付的精算现值
5.1.2 生存年金精算现Fra Baidu bibliotek的概念
求： a x
解：
t px t
fx (t)dt
0.015 e0.015sds
t
e0.015t
a x
e0.05t e0.015t dt 0
15.38
例：用上例已知，求
Var(Y )
解：
Ax
0ee0t .0f5xt(0t).d0t15 e0.015sds
0
0.2307
2 Ax
0
精算折现因子 n Ex
A1 x:n
vnn px
精算累积因子 1 n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。
该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。
＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
1、连续性 连续型年金 离散型年金 2、给付的时间 期初付年金 期末付年金 3、保险期限 定期生存年金 终身生存年金 延期生存年金 变额生存年金
注：
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末 获得生存给付的保险。
单位金额的n年期生存保险的趸缴纯保费为 A 1 x:n
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值。
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金
精算 现值
延期m年 n年定期生存年金
练习： 已知： fx (t) 0.01e0.01t
t 0
0.03
a 求：
x Var(Y )
答案：已知 0.05 fx (t) 0.015 e0.015t t 0
x
0t x
0
vt p dt
0
tx
例1
设死力是常值 0.04，利息力 0.06
在此假设条件下，求
（1）终身生存年金的精算现值 a ； x
（2）终身生存年金现值 a 的标准差； T|
（3）a 超过 a 的概率。
T|
x
解：
（1） a
vt p dt
x
0
tx
e t e t dt 0
1 10
e2 t
fx
(t)dt
e0.1t 0.015 e0.015s ds 0
0.1304
。
。
Var(Y )
1
2
[2Ax
( Ax )2 ]
30.87
px
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z ) Var(Z ) Cov(Z , Z )
1
2
1
2
Var(Z ) Var(Z ) E(Z Z ) E(Z ) E(Z )
1
2
1
2
1
2
其中Z 1
vT 0,
, T n ,
T n
0, T n
Z 2
vn,
T
n
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
例1答案
（2）
Var[a T
]
Var
1
v
T
1 VarvT
2
1
2
2A (A )2
x
x
A vt f (t)dt
x
0
T
回忆
f (t) p
T
tx
xt
t
e0 ds
例4.2答案
0.5429
2.n年定期连续生存年金
＊总额支付法
ax：n
vn t
0t
pxdt
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。
基本函v数t 关vv系tn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴纯保费， 是依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：总额支付法、现时支付法。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年 金给付额的现值，再求现值的数学期望。
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时 的精算现值，再将所有的现值相加或积分。
三、类型
vt , t n
v
n
,
tn
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
vT , vn,
T n T n
表示n年期两全保险的精算现值。
Z
Z 1
Z 2
其中Z 1
vT 0,
, T n T n ,Z2
0, vn,
T n T n
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
n 0
vt
t
px
xt dt
vn
n
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念 5.2 连续给付型生存年金 5.3 离散型生存年金 5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
生存年金的概念
生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周 期绵延不断地进行一系列的给付，且这些给付必须以原 指定的领取人的生存为前提条件，一旦原指定的领取人 死亡，或预先约定给付期届满时，给付宣告结束。
Y a T|
a f (t)dt 0 t| T
a dF (t)
0 t|
T
a d ( p )
0 t|
tx
a p p d (a )
t| t x 0
0t x
t|
p d (a )
0t x
t|
在总额支付法 a p d (a ) 中代入
x
0t x
t|
则有
t
a vsds
t
0
t
a p d vsds
＊人寿保险中，保险费通常以生存年金的方式分期 缴纳。 ＊某些场合保险理赔的保险金采用生存年金的方式， 如：
养老保险、伤残保险、失业保险 。
5.1 生存年金的概念
一、年金的特点
1、以生存为给付条件 2、给付具有不确定性
二、计算原理
趸缴纯保费=生存年金给付的精算现值
5.1.2 生存年金精算现Fra Baidu bibliotek的概念
求： a x
解：
t px t
fx (t)dt
0.015 e0.015sds
t
e0.015t
a x
e0.05t e0.015t dt 0
15.38
例：用上例已知，求
Var(Y )
解：
Ax
0ee0t .0f5xt(0t).d0t15 e0.015sds
0
0.2307
2 Ax
0
精算折现因子 n Ex
A1 x:n
vnn px
精算累积因子 1 n Ex
5.2 连续给付型生存年金
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。
该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。
＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
1、连续性 连续型年金 离散型年金 2、给付的时间 期初付年金 期末付年金 3、保险期限 定期生存年金 终身生存年金 延期生存年金 变额生存年金
注：
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末 获得生存给付的保险。
单位金额的n年期生存保险的趸缴纯保费为 A 1 x:n
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值。
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金
精算 现值
延期m年 n年定期生存年金
练习： 已知： fx (t) 0.01e0.01t
t 0
0.03
a 求：
x Var(Y )
答案：已知 0.05 fx (t) 0.015 e0.015t t 0
x
0t x
0
vt p dt
0
tx
例1
设死力是常值 0.04，利息力 0.06
在此假设条件下，求
（1）终身生存年金的精算现值 a ； x
（2）终身生存年金现值 a 的标准差； T|
（3）a 超过 a 的概率。
T|
x
解：
（1） a
vt p dt
x
0
tx
e t e t dt 0
1 10
e2 t
fx
(t)dt
e0.1t 0.015 e0.015s ds 0
0.1304
。
。
Var(Y )
1
2
[2Ax
( Ax )2 ]
30.87
px
方差？
方差
Var(Z ) Var(Z ) Var(Z ) Cov(Z , Z )
1
2
1
2
Var(Z ) Var(Z ) E(Z Z ) E(Z ) E(Z )
1
2
1
2
1
2
其中Z 1
vT 0,
, T n ,
T n
0, T n
Z 2
vn,
T
n
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
例1答案
（2）
Var[a T
]
Var
1
v
T
1 VarvT
2
1
2
2A (A )2
x
x
A vt f (t)dt
x
0
T
回忆
f (t) p
T
tx
xt
t
e0 ds
例4.2答案
0.5429
2.n年定期连续生存年金
＊总额支付法
ax：n
vn t
0t
pxdt
n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围 内
的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生
存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。
等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
假定(x)投保n年定期两全保险，保额1元。
基本函v数t 关vv系tn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴纯保费， 是依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：总额支付法、现时支付法。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年 金给付额的现值，再求现值的数学期望。
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时 的精算现值，再将所有的现值相加或积分。
三、类型
vt , t n
v
n
,
tn
签单时保险金给付现值随机变量为
Z
bv TT
vT , vn,
T n T n
表示n年期两全保险的精算现值。
Z
Z 1
Z 2
其中Z 1
vT 0,
, T n T n ,Z2
0, vn,
T n T n
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
n 0
vt
t
px
xt dt
vn
n
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念 5.2 连续给付型生存年金 5.3 离散型生存年金 5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
生存年金的概念
生存年金是指按预先约定的金额，以一定的时间为周 期绵延不断地进行一系列的给付，且这些给付必须以原 指定的领取人的生存为前提条件，一旦原指定的领取人 死亡，或预先约定给付期届满时，给付宣告结束。
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在总额支付法 a p d (a ) 中代入
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