一种凸轮_连杆组合机构中凸轮最小基圆半径的确定方法
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２７ 卷第 ９ 期 摇第 ２０１０ 年９ 月
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＡＣＨＩＮＥ ＤＥＳＩＧＮ
机摇械摇设摇计
Ｖｏｌ． ２７ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１０
一种凸轮 － 连杆组合机构中凸轮 最小基圆半径的确定方法
（ 集美大学 机械工程学院， 福建 厦门摇３６１０２１ ）
常勇， 杨富富， 皮钧
、 “ 摘要： 通过给出机构综合问题的准确描述， 围绕滚子中心在连杆上的允许取用位置， 提出了 “ 浮动数轴 ” 瞬时区间 Байду номын сангаас —作平面运动滚子从动件盘形凸轮机构的 套” 和“ 公共区间套” 等若干新概念， 讨论解决了一种凸轮 － 连杆组合机构— 第 ２ 类机构综合问题。 关键词： 虚拟摆杆； 浮动数轴； 瞬时闭区间套； 公共区间套； 基圆半径 ＴＨ１１２． ２ 摇摇文献标识码： Ａ摇摇文章编号： １００１ － ２３５４ （ ２０１０ ） ０９ － ００５２ － ０４ 中图分类号：
摇２０１０ 年 ９ 月
常勇， 等： 一种凸轮 － 连杆组合机构中凸轮最小基圆半径的确定方法
２ １／２ ｓ２ ＝ ｓ２ （ ｌ２ ＝ θ１ ） ＝ （ ０ ＋ ｌ５ ＋ ２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ θ５ ） ２ １／２ （ ｌ２ ） θ５０ － β） ０ ＋ ｌ５ ＋ ２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ （
５３
、 位移规律 β ＝ β（ θ１ ） 推程运动角 φ０ 、 推程许用压力角 ［ 、 α］ 凸轮 １ 、 摇块 ３ 和机架 ０ 在 Ｏ１ 点处复合铰接， 从动 滚子 ４ 中心 Ｃ 位于连杆 ２ 方位线 Ｏ１ Ｏ２ 上， 试综合 （ 设 计）取得凸轮最小基圆半径的凸轮 － 连杆组合机构。
（ ９） （ １０ ）
若以 ｚ 表示“ 浮动数轴”上点的坐标， 则有如下重 要结论： 在该推程位置， 满足 α ≤ ［ α］条件的滚子中心点 Ｃ 的解集 — — — 位于连杆 ２ 上 Ｃ１ 和 Ｃ２ 两点之间的“ 瞬时 ［ ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］ 。 区间套”
５４
机摇械摇设摇计
第 ２７ 卷第 ９ 期摇
２００９ － ０９ － １６ ； ２０１０ － ０３ － ０９ 修订日期： 收稿日期： ２００９ ） ； ２００６Ｊ０１６９ ， ２００７Ｈ０３６７ ） ； 基金项目： 福建省高校服务海西建设重点资助项目（ 福建省自然基金资助项目（ 福建省教育厅科技计划资助项 ＪＡ０８１５０ ） ； ２００８Ｈ００３０ ） 目（ 福建省科技计划重点资助项目（ １９６４ —） ， ， 作者简介： 常勇（ 男（ 满族） 辽宁岫岩人， 教授， 硕士生导师， 研究方向： 机构学， 机构的起源与进化理论等。
Ｏ１ ） 在推程中， 相对瞬心 Ｐ２１ 始终位于 Ｐ２０ 和 Ｐ１０ （ 连线的延长线上。
Ｏ１ ＣＯ２ Ａ 为机构推程任意一瞬时位 如图 １ａ 所示， 。 ２ 置 现在连杆 上自 Ｏ１ 沿“ 浮动数轴” 的负方向捕捉 Ｃ１ 和 Ｃ２ 两点， 使满足：
∠Ｐ２０ Ｃ１ Ｐ２１ ＝ ９０ ° － ［ α］ ∠Ｐ２０ Ｃ２ Ｐ２１ ＝ ９０ ° ＋ ［ α］
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍｉｎ ＞ （ ｍａｘ ２ １
（ ２０ ）
则整个推程满足 α ≤ ［ α］条件的机构解不存在， ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ ＝ — — — 空集。 即无解。 此时前述的［ （ ２ ）若 ｚ Ｃ１ｍａｘ ≤ ｚ Ｃ２ｍｉｎ ， 即：
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍａｘ ≤ （ ｍｉｎ １ ２
相对瞬心 Ｐ２１ 的坐标：
２ １ ２ １ Ｐ２１ ｛ ｌ０ ｔａｎ（ ／［ ｔａｎ（ ｝ （ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ５） ｙ ＝ ±｛ ｜ ｄ θ２ ／ ｄ θ１ ｜ ／ ［ ±｜ ｄθ２ ／ ｄθ１ ｜ － １ ］ ｝ ｛ － ｌ０ · Ｐ２１ ｔａｎ（ ｃｏｔ θ２ ／ ［ ｔａｎ（ ｝ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ （ ６）
［ １ － ２］ 。 １９８２ 年， 华大 КОСТИЦЫН 的 ２ 篇 重 要 论 文 ［ ３］ 年 基于著名的 В Т КОСТИЦЫН 类速度图原理， 通
过对限制凸轮轴心位置的包络曲界线的重要发现和揭 提出摆动从动件盘形凸轮机构最小尺寸综合的解 示， 析法。１９８６ 年， 王知行、 李瑰贤 和冯振成等 同样 不谋而合地研究解决了直动从动 基于类速度图原理， 件盘形凸轮机构最小尺寸综合的理论课题。１９８９ 和 ［ ６ － ７］ １９９０ 年， 常勇、 吴从忻和李延平 通过对包络曲界 ３］ 线存在性、 存在性态的研究， 指出了文献 ［ 方法的适 用范围及产生该适用范围的深刻内在根源 ， 并回归类 速度图原理给出了完善的求解方法。１９９１ 年， 常勇、 ［ ８］ “ ” 李延平和刘国祥 通过引入 虚拟摆杆 的概念， 并构 造起相应的类速度图， 研究解决了最复杂最具一般性 的作平面运动从动件盘形凸轮机构的最小尺寸综合 课题。 与摆动 ／ 直动从动件的情形不同， 关于作平面运动 从动件的盘形凸轮机构， 其直接从动件是作平面复杂 运动或者说作平面一般运动的连杆， 机构实质上已归 属于高级、 复杂的凸轮 － 连杆组合机构， 因而明显增加 了机构综合问题的复杂和困难程度 。 深入一步的研究考察发现， 关于作平面运动从动 件盘形凸 轮 机 构， 其机构综合可概括为如下两大类 情形：
（ ｂ）异摆式机构 图 １ 摇 从动件作平面运动的凸轮 － 连杆组合机构
３ 摇 连杆上滚子中心可取位置的“ 瞬时区 间套”和“ 公共区间套”
３ ． １ 摇 同摆式机构
２ 摇 坐标系的建立和“ 浮动数轴”的引入
ｂ 所示。 建立直角坐标系 Ｏ１ ｘｙ 如图 １ａ， 选取凸轮轴 ｘ 轴正向与 Ｏ１ Ａ 连线一致， 心与坐标系原点 Ｏ１ 重合， 机 架长度 ｌ０ 、 摇杆长度 ｌ５ 、 摇杆初位角 θ５０ 、 摇杆行程角 β ｍ 如图中所示， θ２ 和 θ５ 分别为连杆 Ｏ１ Ｏ２ 、 摇杆 ＡＯ２ 与 ｘ 轴 θ１ 是原动凸轮 １ 的转角。 正向的夹角， ｂ 所示， 如图 １ａ， 分别为同摆式机构和异摆式机 ８］ Ｐ２０ Ｃ 与凸轮转向 ω１ 相同 构， 即文献［ 中“ 虚拟摆杆” 和相反的两类情况。 如图 １ 所示建立直角坐标系， 经推演得到： １ ）连杆 ２ 的时变长度： （
ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ ｚＣ — — — 凸轮转角 θ１ 的一元函数。 式中： ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ １ １ ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ ２ ２
１６ ） 、 １９ ）和式 （ １ ）的关系代入式 （ １２ ） ， 将式（ 式（ 通过对凸轮转角 θ１ 进行一维搜索， 求解出整个推程 ｚ Ｃ１ ｓ ２ － τ Ｃ１ ） 的最大值 ｚ Ｃ１ｍａｘ ＝ （ ｍａｘ 和 ｚ Ｃ２ 的最小值 ｚ Ｃ２ ｍｉｎ ＝ （ ｓ ２ － τ Ｃ２ ） ｍｉｎ 。 于是， 归理得到如下重要结论： １ ）若 ｚ Ｃ２ｍｉｎ ＞ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， （ 即：
２０
＝ ｌ０ ｔａｎ（ ／［ ｔａｎ（ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ＝ － ｌ０ ｔａｎ（ ｃｏｔ θ２ ／ ［ ｔａｎ（ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ＝ ±［ ｜ ｄθ ／ ｄθ ｜ ／ （ ±｜ ｄθ ／ ｄθ ｜ － １ ） ］ ·
２０
（ ４）
ｘ
（ ａ）同摆式机构
５ ）和式（ ６ ）中， “ ± ”号中的 “ ＋ ”号对应同摆 式（ “ － ”号对应异摆式机构。 式机构、
ｌＯ ｌＯ
Ｐ １ ２０ Ｐ １ ２１
＝ （ ｘ２ Ｐ
２０
１／２ ＋ ｙ２ Ｐ ） ２０ １／２ ＋ ｙ２ Ｐ ） ２１
（ ７） （ ８）
＝ （ ｘ２ Ｐ
２１
将 ｌ Ｏ１Ｐ２０ 和 ｌ Ｏ１Ｐ２１ 简 单 表 示 为 ｌ２０ 和 ｌ２１ ， 则 ｌ２０ ＝ ｌ２０ （ ， θ１ ）和 ｌ２１ ＝ ｌ２１ （ θ１ ） 皆是关于 θ１ 的一元函数。 为使表述和求解清楚起见， 特引入 “ 浮动数轴 ”的 概念。 ， 所谓“ 浮动数轴” 系指固连于连杆 ２ 上、 以 Ｏ２ 为 Ｏ２ → Ｏ１ 为其正向的数轴 Ｏ２ ｚ。 在机构运动过程 原点、 。 中， 其随连杆 ２ 运动而运动， 故称“ 浮动数轴”
摇摇长期以来， 按许用压力角设计最小尺寸的摆动 、 直 动从动件盘形凸轮机构一直是人们感兴趣和热衷于研 ［ １ － １４ ］ ， 究的 重 要 理 论 课 题 较早的研究可追溯到 В Т
（ １ ）已知各构件的运动学尺寸、 输出件的推程起 始 ／ 终止位置及运动规律、 滚子中心在作平面运动从动 求解盘形凸轮的轴心位置。 件上的位置， （ ２ ）已知各构件的运动学尺寸、 输出件的推程起 始 ／ 终止位置及运动规律、 盘形凸轮的轴心位置， 求解 滚子中心在作平面运动从动件上的位置 。 ８］ 关于第 １ 类情形， 文献 ［ 通过引入 “ 虚拟摆杆 ” 的概念， 给出了理论上较为圆满、 理想的解决方法， 但 迄今为止尚未找到该类情形的具体工程实例 。 关于第 ２ 类情形， 虽尚未见到相关的研究文献报道， 但其工程 已不断见到其在高速自动印刷机、 包装 应用非常普遍， 机和锻压机中的大量工程应用实例 。 文中拟对第 ２ 类情形开展研究讨论， 探索建立求 解、 确定该类凸轮 － 连杆组合机构中凸轮最小基圆半 径的通用理论和方法， 发展、 深化对该类凸轮 － 连杆组 合机构的理解和认识， 以期进一步推动、 促进该类凸 轮 － 连杆组合机构更为广泛的工程应用 。
［ ４］ ［ ５］
１ 摇设计问题的描述和刻划
ｂ 所示， 如图 １ａ， 由凸轮 １ 、 连杆 ２ 、 摇块 ３ 、 滚子 ４ 、 摇杆 ５ 和机架 ０ 组成的一种含有作平面运动滚子从动 凸轮 件盘形凸轮机构的凸轮 － 连杆组合机构。 其中， １、 摇杆 ５ 分别为输入件和输出件。 已知： 机架长度 ｌ０ 、 摇杆长度 ｌ５ 、 摇杆初位角 （ 对应 推程起始位置） θ５０ 、 摇杆行程角（ 幅值 ） βｍ 、 摇杆推程角
（ ２１ ）
则整个推程满足 α ≤ ［ α］条件的机构解存在。 且 当取用“＝ ”时， 存在唯一解； 当取用 “＜ ”时， 存在无 穷多解。 此时， 满足推程 α ≤ ［ α］条件滚子中心点 Ｃ 的 解集：
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍａｘ ≤ ｚ Ｃ ≤ （ ｍｉｎ １ ２
（ １１ ）
（ １）
２ ）连杆 ２ 的类角速度： （
２ ｄ θ２ ／ ｄ θ１ ＝ － ｌ ５ （ ｄ β ／ ｄ θ１ ） ［ ｌ５ ＋ ｌ０ ｃｏｓ（ ］ ／［ ｌ２ θ５０ － β） ０ ＋ ｌ５ ＋
２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ（ ］ θ５０ － β）
（ ２） （ ３）
{
（ ３ ）绝对瞬心 Ｐ２０ 的坐标：
ｘＰ ｙＰ
ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］的左、 具体说来， 对于滚子中心 Ｃ ： 取在 ［ ； ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ）（ 右两端点时， α ＝ ［ α］ 取在 （ 即 ｚ Ｃ１ ＜ ｚ Ｃ ＜ ｚ Ｃ２ ）时， ； 、 Ｃ２ 点以 α ＜［ α］ 取在 Ｃ１ 点以左（ 即 ｚ Ｃ ＜ ｚ Ｃ１ ） 。 右（ 即 ｚ Ｃ ＞ ｚ Ｃ２ ）时， α ＞ ［ α］ 关于整个推程， 有如下重要结论： 满足 α ≤ ［ α］ 条件的滚子中心点 Ｃ 的解集为位于 ［ ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］的交集， 连杆 ２ 上的无数个 “ 瞬时区间套 ” 即 ［ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ ； 推程“ 公共区间套 ” 不难推知， 推程 “ 公 ［ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ 共区间套” 左右两端点 ｚ Ｃ１ｍａｘ 和 ｚ Ｃ２ｍｉｎ 分别 是无数个“ 瞬时区间套” 左右端点坐标值 ｚ Ｃ１ 和 ｚ Ｃ２ 的最 大和最小者。 以上两点结论， 是文中的重要理论创新点、 关键技 术点所在。 Ｏ１ 和 Ｃ 两点间距离） ， 设 τ Ｃ ＝ ｌ Ｏ１Ｃ （＞ ０ ， 则点 Ｃ 在 “ 浮动数轴”上的坐标：
（ ２２ ）
（ １２ ）
２１ ）时， 当满足式 （ 推程凸轮的理论最小、 最大基 圆半径为：
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＡＣＨＩＮＥ ＤＥＳＩＧＮ
机摇械摇设摇计
Ｖｏｌ． ２７ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１０
一种凸轮 － 连杆组合机构中凸轮 最小基圆半径的确定方法
（ 集美大学 机械工程学院， 福建 厦门摇３６１０２１ ）
常勇， 杨富富， 皮钧
、 “ 摘要： 通过给出机构综合问题的准确描述， 围绕滚子中心在连杆上的允许取用位置， 提出了 “ 浮动数轴 ” 瞬时区间 Байду номын сангаас —作平面运动滚子从动件盘形凸轮机构的 套” 和“ 公共区间套” 等若干新概念， 讨论解决了一种凸轮 － 连杆组合机构— 第 ２ 类机构综合问题。 关键词： 虚拟摆杆； 浮动数轴； 瞬时闭区间套； 公共区间套； 基圆半径 ＴＨ１１２． ２ 摇摇文献标识码： Ａ摇摇文章编号： １００１ － ２３５４ （ ２０１０ ） ０９ － ００５２ － ０４ 中图分类号：
摇２０１０ 年 ９ 月
常勇， 等： 一种凸轮 － 连杆组合机构中凸轮最小基圆半径的确定方法
２ １／２ ｓ２ ＝ ｓ２ （ ｌ２ ＝ θ１ ） ＝ （ ０ ＋ ｌ５ ＋ ２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ θ５ ） ２ １／２ （ ｌ２ ） θ５０ － β） ０ ＋ ｌ５ ＋ ２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ （
５３
、 位移规律 β ＝ β（ θ１ ） 推程运动角 φ０ 、 推程许用压力角 ［ 、 α］ 凸轮 １ 、 摇块 ３ 和机架 ０ 在 Ｏ１ 点处复合铰接， 从动 滚子 ４ 中心 Ｃ 位于连杆 ２ 方位线 Ｏ１ Ｏ２ 上， 试综合 （ 设 计）取得凸轮最小基圆半径的凸轮 － 连杆组合机构。
（ ９） （ １０ ）
若以 ｚ 表示“ 浮动数轴”上点的坐标， 则有如下重 要结论： 在该推程位置， 满足 α ≤ ［ α］条件的滚子中心点 Ｃ 的解集 — — — 位于连杆 ２ 上 Ｃ１ 和 Ｃ２ 两点之间的“ 瞬时 ［ ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］ 。 区间套”
５４
机摇械摇设摇计
第 ２７ 卷第 ９ 期摇
２００９ － ０９ － １６ ； ２０１０ － ０３ － ０９ 修订日期： 收稿日期： ２００９ ） ； ２００６Ｊ０１６９ ， ２００７Ｈ０３６７ ） ； 基金项目： 福建省高校服务海西建设重点资助项目（ 福建省自然基金资助项目（ 福建省教育厅科技计划资助项 ＪＡ０８１５０ ） ； ２００８Ｈ００３０ ） 目（ 福建省科技计划重点资助项目（ １９６４ —） ， ， 作者简介： 常勇（ 男（ 满族） 辽宁岫岩人， 教授， 硕士生导师， 研究方向： 机构学， 机构的起源与进化理论等。
Ｏ１ ） 在推程中， 相对瞬心 Ｐ２１ 始终位于 Ｐ２０ 和 Ｐ１０ （ 连线的延长线上。
Ｏ１ ＣＯ２ Ａ 为机构推程任意一瞬时位 如图 １ａ 所示， 。 ２ 置 现在连杆 上自 Ｏ１ 沿“ 浮动数轴” 的负方向捕捉 Ｃ１ 和 Ｃ２ 两点， 使满足：
∠Ｐ２０ Ｃ１ Ｐ２１ ＝ ９０ ° － ［ α］ ∠Ｐ２０ Ｃ２ Ｐ２１ ＝ ９０ ° ＋ ［ α］
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍｉｎ ＞ （ ｍａｘ ２ １
（ ２０ ）
则整个推程满足 α ≤ ［ α］条件的机构解不存在， ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ ＝ — — — 空集。 即无解。 此时前述的［ （ ２ ）若 ｚ Ｃ１ｍａｘ ≤ ｚ Ｃ２ｍｉｎ ， 即：
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍａｘ ≤ （ ｍｉｎ １ ２
相对瞬心 Ｐ２１ 的坐标：
２ １ ２ １ Ｐ２１ ｛ ｌ０ ｔａｎ（ ／［ ｔａｎ（ ｝ （ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ５） ｙ ＝ ±｛ ｜ ｄ θ２ ／ ｄ θ１ ｜ ／ ［ ±｜ ｄθ２ ／ ｄθ１ ｜ － １ ］ ｝ ｛ － ｌ０ · Ｐ２１ ｔａｎ（ ｃｏｔ θ２ ／ ［ ｔａｎ（ ｝ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ （ ６）
［ １ － ２］ 。 １９８２ 年， 华大 КОСТИЦЫН 的 ２ 篇 重 要 论 文 ［ ３］ 年 基于著名的 В Т КОСТИЦЫН 类速度图原理， 通
过对限制凸轮轴心位置的包络曲界线的重要发现和揭 提出摆动从动件盘形凸轮机构最小尺寸综合的解 示， 析法。１９８６ 年， 王知行、 李瑰贤 和冯振成等 同样 不谋而合地研究解决了直动从动 基于类速度图原理， 件盘形凸轮机构最小尺寸综合的理论课题。１９８９ 和 ［ ６ － ７］ １９９０ 年， 常勇、 吴从忻和李延平 通过对包络曲界 ３］ 线存在性、 存在性态的研究， 指出了文献 ［ 方法的适 用范围及产生该适用范围的深刻内在根源 ， 并回归类 速度图原理给出了完善的求解方法。１９９１ 年， 常勇、 ［ ８］ “ ” 李延平和刘国祥 通过引入 虚拟摆杆 的概念， 并构 造起相应的类速度图， 研究解决了最复杂最具一般性 的作平面运动从动件盘形凸轮机构的最小尺寸综合 课题。 与摆动 ／ 直动从动件的情形不同， 关于作平面运动 从动件的盘形凸轮机构， 其直接从动件是作平面复杂 运动或者说作平面一般运动的连杆， 机构实质上已归 属于高级、 复杂的凸轮 － 连杆组合机构， 因而明显增加 了机构综合问题的复杂和困难程度 。 深入一步的研究考察发现， 关于作平面运动从动 件盘形凸 轮 机 构， 其机构综合可概括为如下两大类 情形：
（ ｂ）异摆式机构 图 １ 摇 从动件作平面运动的凸轮 － 连杆组合机构
３ 摇 连杆上滚子中心可取位置的“ 瞬时区 间套”和“ 公共区间套”
３ ． １ 摇 同摆式机构
２ 摇 坐标系的建立和“ 浮动数轴”的引入
ｂ 所示。 建立直角坐标系 Ｏ１ ｘｙ 如图 １ａ， 选取凸轮轴 ｘ 轴正向与 Ｏ１ Ａ 连线一致， 心与坐标系原点 Ｏ１ 重合， 机 架长度 ｌ０ 、 摇杆长度 ｌ５ 、 摇杆初位角 θ５０ 、 摇杆行程角 β ｍ 如图中所示， θ２ 和 θ５ 分别为连杆 Ｏ１ Ｏ２ 、 摇杆 ＡＯ２ 与 ｘ 轴 θ１ 是原动凸轮 １ 的转角。 正向的夹角， ｂ 所示， 如图 １ａ， 分别为同摆式机构和异摆式机 ８］ Ｐ２０ Ｃ 与凸轮转向 ω１ 相同 构， 即文献［ 中“ 虚拟摆杆” 和相反的两类情况。 如图 １ 所示建立直角坐标系， 经推演得到： １ ）连杆 ２ 的时变长度： （
ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ ｚＣ — — — 凸轮转角 θ１ 的一元函数。 式中： ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ １ １ ｚ Ｃ ＝ ｓ２ － τ Ｃ ２ ２
１６ ） 、 １９ ）和式 （ １ ）的关系代入式 （ １２ ） ， 将式（ 式（ 通过对凸轮转角 θ１ 进行一维搜索， 求解出整个推程 ｚ Ｃ１ ｓ ２ － τ Ｃ１ ） 的最大值 ｚ Ｃ１ｍａｘ ＝ （ ｍａｘ 和 ｚ Ｃ２ 的最小值 ｚ Ｃ２ ｍｉｎ ＝ （ ｓ ２ － τ Ｃ２ ） ｍｉｎ 。 于是， 归理得到如下重要结论： １ ）若 ｚ Ｃ２ｍｉｎ ＞ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， （ 即：
２０
＝ ｌ０ ｔａｎ（ ／［ ｔａｎ（ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ＝ － ｌ０ ｔａｎ（ ｃｏｔ θ２ ／ ［ ｔａｎ（ θ５０ － β） θ５０ － β）＋ ｃｏｔ θ２ ］ ＝ ±［ ｜ ｄθ ／ ｄθ ｜ ／ （ ±｜ ｄθ ／ ｄθ ｜ － １ ） ］ ·
２０
（ ４）
ｘ
（ ａ）同摆式机构
５ ）和式（ ６ ）中， “ ± ”号中的 “ ＋ ”号对应同摆 式（ “ － ”号对应异摆式机构。 式机构、
ｌＯ ｌＯ
Ｐ １ ２０ Ｐ １ ２１
＝ （ ｘ２ Ｐ
２０
１／２ ＋ ｙ２ Ｐ ） ２０ １／２ ＋ ｙ２ Ｐ ） ２１
（ ７） （ ８）
＝ （ ｘ２ Ｐ
２１
将 ｌ Ｏ１Ｐ２０ 和 ｌ Ｏ１Ｐ２１ 简 单 表 示 为 ｌ２０ 和 ｌ２１ ， 则 ｌ２０ ＝ ｌ２０ （ ， θ１ ）和 ｌ２１ ＝ ｌ２１ （ θ１ ） 皆是关于 θ１ 的一元函数。 为使表述和求解清楚起见， 特引入 “ 浮动数轴 ”的 概念。 ， 所谓“ 浮动数轴” 系指固连于连杆 ２ 上、 以 Ｏ２ 为 Ｏ２ → Ｏ１ 为其正向的数轴 Ｏ２ ｚ。 在机构运动过程 原点、 。 中， 其随连杆 ２ 运动而运动， 故称“ 浮动数轴”
摇摇长期以来， 按许用压力角设计最小尺寸的摆动 、 直 动从动件盘形凸轮机构一直是人们感兴趣和热衷于研 ［ １ － １４ ］ ， 究的 重 要 理 论 课 题 较早的研究可追溯到 В Т
（ １ ）已知各构件的运动学尺寸、 输出件的推程起 始 ／ 终止位置及运动规律、 滚子中心在作平面运动从动 求解盘形凸轮的轴心位置。 件上的位置， （ ２ ）已知各构件的运动学尺寸、 输出件的推程起 始 ／ 终止位置及运动规律、 盘形凸轮的轴心位置， 求解 滚子中心在作平面运动从动件上的位置 。 ８］ 关于第 １ 类情形， 文献 ［ 通过引入 “ 虚拟摆杆 ” 的概念， 给出了理论上较为圆满、 理想的解决方法， 但 迄今为止尚未找到该类情形的具体工程实例 。 关于第 ２ 类情形， 虽尚未见到相关的研究文献报道， 但其工程 已不断见到其在高速自动印刷机、 包装 应用非常普遍， 机和锻压机中的大量工程应用实例 。 文中拟对第 ２ 类情形开展研究讨论， 探索建立求 解、 确定该类凸轮 － 连杆组合机构中凸轮最小基圆半 径的通用理论和方法， 发展、 深化对该类凸轮 － 连杆组 合机构的理解和认识， 以期进一步推动、 促进该类凸 轮 － 连杆组合机构更为广泛的工程应用 。
［ ４］ ［ ５］
１ 摇设计问题的描述和刻划
ｂ 所示， 如图 １ａ， 由凸轮 １ 、 连杆 ２ 、 摇块 ３ 、 滚子 ４ 、 摇杆 ５ 和机架 ０ 组成的一种含有作平面运动滚子从动 凸轮 件盘形凸轮机构的凸轮 － 连杆组合机构。 其中， １、 摇杆 ５ 分别为输入件和输出件。 已知： 机架长度 ｌ０ 、 摇杆长度 ｌ５ 、 摇杆初位角 （ 对应 推程起始位置） θ５０ 、 摇杆行程角（ 幅值 ） βｍ 、 摇杆推程角
（ ２１ ）
则整个推程满足 α ≤ ［ α］条件的机构解存在。 且 当取用“＝ ”时， 存在唯一解； 当取用 “＜ ”时， 存在无 穷多解。 此时， 满足推程 α ≤ ［ α］条件滚子中心点 Ｃ 的 解集：
（ ｓ２ － τ Ｃ ） ｓ２ － τ Ｃ ） ｍａｘ ≤ ｚ Ｃ ≤ （ ｍｉｎ １ ２
（ １１ ）
（ １）
２ ）连杆 ２ 的类角速度： （
２ ｄ θ２ ／ ｄ θ１ ＝ － ｌ ５ （ ｄ β ／ ｄ θ１ ） ［ ｌ５ ＋ ｌ０ ｃｏｓ（ ］ ／［ ｌ２ θ５０ － β） ０ ＋ ｌ５ ＋
２ ｌ０ ｌ５ ｃｏｓ（ ］ θ５０ － β）
（ ２） （ ３）
{
（ ３ ）绝对瞬心 Ｐ２０ 的坐标：
ｘＰ ｙＰ
ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］的左、 具体说来， 对于滚子中心 Ｃ ： 取在 ［ ； ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ）（ 右两端点时， α ＝ ［ α］ 取在 （ 即 ｚ Ｃ１ ＜ ｚ Ｃ ＜ ｚ Ｃ２ ）时， ； 、 Ｃ２ 点以 α ＜［ α］ 取在 Ｃ１ 点以左（ 即 ｚ Ｃ ＜ ｚ Ｃ１ ） 。 右（ 即 ｚ Ｃ ＞ ｚ Ｃ２ ）时， α ＞ ［ α］ 关于整个推程， 有如下重要结论： 满足 α ≤ ［ α］ 条件的滚子中心点 Ｃ 的解集为位于 ［ ｚ Ｃ１ ， ｚ Ｃ２ ］的交集， 连杆 ２ 上的无数个 “ 瞬时区间套 ” 即 ［ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ ； 推程“ 公共区间套 ” 不难推知， 推程 “ 公 ［ ｚ Ｃ１ｍａｘ ， ｚ Ｃ２ｍｉｎ ］ 共区间套” 左右两端点 ｚ Ｃ１ｍａｘ 和 ｚ Ｃ２ｍｉｎ 分别 是无数个“ 瞬时区间套” 左右端点坐标值 ｚ Ｃ１ 和 ｚ Ｃ２ 的最 大和最小者。 以上两点结论， 是文中的重要理论创新点、 关键技 术点所在。 Ｏ１ 和 Ｃ 两点间距离） ， 设 τ Ｃ ＝ ｌ Ｏ１Ｃ （＞ ０ ， 则点 Ｃ 在 “ 浮动数轴”上的坐标：
（ ２２ ）
（ １２ ）
２１ ）时， 当满足式 （ 推程凸轮的理论最小、 最大基 圆半径为：