振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案
1. 圆筒质量m 。

质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其
固有频率。

（10分）
解：令t A x
t A x ωωωcos ,sin == t A x
r
J m x
r J m r
x
J x m J x m T o o o o ωωθ22
2222
2222
2cos )(21)(21)(21212
121 +=+=+=+=
t kA kx U ω2
22sin 2121==
2
2
2222max max /2
1)(21r J m k
kA A x
r J m U T o o +=
=+∴=ωω
2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。

（10分）
)(t
2
x x m
11x k
(t P 22x k
解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形
对m 列运动微分方程： 022=+x k x m
(2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3)
由(3)式可以得出：
12
21)(k x k t P x +=
将上式代入(1)式可得出：
2
112)(k k x
k t P x ++-=
将上式代入(2)式可得出：0)(2
12
2121=+-++t P k k k x k k k k x m
令m
k k k k k k e
e e =+=
ω,2
12
1，有 t k k k P t P k k k x k x
m e ωsin )(2
120212
+=+=+
t
k P t
k k k k P x e
e
e ωωωωωωsin )(11
sin )(11
12
102
2120-⋅=-⋅⋅+=
∴
3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。

（10分）
解：对物体m 列运动微分方程，有：
0)(1=--+x x k x c x
m 即：
t kA kx x c x
m ωsin =++ t A
ωsin 1=
x
m )x -
其稳态响应为：
)sin()
2()1(1222θωξ-+-⋅=
t s s k kA x
其中，2
0012arctan ,2,,s s
km
c m k s -====
ξθξωωω
4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。

在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。

已知梁的初始条件为零。

求解梁的响应。

（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）（20分）
解：悬臂梁的运动微分方程为：
),(2244t x f t
y
S x y EI =∂∂+∂∂ρ （1） 其中：
)()(),(a x t F t x f -=δ (2)
令：
∑∞
==1)()(),(i i i t q x t x y φ
(3)
代入运动微分方程，有：
),()(1
1
t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞
=∞
= φρφ (4)
上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：
⎰∑⎰∑⎰
=+''"∞=∞
=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q dx EI q 0
1
1
),()(φφφρφφ
(5)
利用正交性条件，可得：
)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω
(6) 其中广义力为：
)()()()()()(00
a t F dx a x t F dx t f t Q j L
j L
j j φφδφ=-==⎰⎰
(7)
由式（6），可得： ⎰⎰
-=
-=
L
j j j
L j j j
j d t F a d t Q t q 0
)(sin )()(1
)(sin )(1
)(ττωτφωττωτω （8）
利用式（3），梁的响应为：
∑⎰∑∞
=∞
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-==10
1)(sin )()(1)()()(),(i L
j j j i i i i d t F a x t q x t x y ττωτφωφφ (9)
5. 两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。

（20分）
解：杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：
3211l m J =，222222248
7)4(12l m l m l m J =+=
使用影响系数法计算系统刚度阵
（1）如图（1）所示，令11=θ，02=θ，
对杆1和杆2分别需要施加弯矩11M ，
21M 分别为：
21111169
4343l k l l k M =⋅⋅=
2112116
9
4343l k l l k M -=⋅⋅-=
（2）如图（2）所示，令01=θ，12=θ，
对杆1和杆2分别需要施加弯矩12M ，
22M 分别为：
21112169
4343l k l l k M -=⋅⋅-=
222111224
1
16921214343l k l k l l k l l k M +=⋅⋅+⋅⋅=
因此，系统刚度阵和质量阵分别为
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡+--=222121212141
16916916916
9l k l k l k l k l k K ，⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2221487
00
3l m l m M
因此，系统运动方程为
041
16916916
9169
487
0032121111221
222
1=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--
+⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθk k k k k l l m l m
6. 如图所示量自由度系统。

（1）求系统固有频率和模态矩阵，并画出各阶主振型图形；（2）
当系统存在初始条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0210)0()0(x x x 和⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00)0()0(21x x 时，试采用模态叠加法求解系统响应。

（20分）
解答：
运动微分方程为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0022002121x x k k k k x x m m
令主振动为)sin(2121ϕωφφ+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡t x x ，或直接采用0)(2
=-φωM K ，有： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡----00222122φφωωm k k
k m k
设2
ωαk
m =
，有： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡----00211221φφαα 由
021
12=----α
α，得出：
3,121==αα
因此，有：
m k
=
1ω，m
k 32=ω 先将11=α代入，有：
⎩⎨
⎧=+-=-0
2121φφφφ 令12=φ，则有11=φ，因此第一阶模态为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1
1)1(φ
同样将32=α代入，令12=φ，有11-=φ，因此第二阶模态为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=11)2(φ
所以，模态矩阵为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=Φ1111
令p X X Φ=，原微分方程变为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00600220022121p p p p x x k k x x m m
模态空间的初始条件为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ=-2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001x x x X X p ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡===-00)0()0(1X X p Φ 因此可解得：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧====t m k x t x x t m k
x t x x p p p p 3cos 2cos )0(cos 2cos )0(02220
111ωω
所以，有：
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧+-=Φ=)3cos (cos 2
)3cos (cos 2
00t m
k t m k x t m k t m k
x X X p
7. 如图所示等截面梁，长度为l ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。

集中质量m ，卷簧刚度1k ，直线弹簧刚度2k 。

写出系统的动能和势能表达式，系统质量阵和刚度阵表达式。

(10分)
解答： 动能：
质量阵：
势能：
202),(21),(21⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰
t t x y m dx t t x y S T a l ρq M M q )(2110+=T n n l T R
dx S ⨯∈=⎰
00ΦΦM ρn n a T a R x x m ⨯∈=)]([)]([1ΦΦM ),(21),(21),(212
22
10222t x y k x t x y k dx x t x y EI V c b l +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰
q K K K q )(2
1210++=
T
1
0M M M +=
刚度阵：
n
n l
T R dx EI ⨯∈''''=⎰
0ΦΦK n
n b b T R x x k ⨯∈''=)()(11ΦΦK n
n c c T R x x k ⨯∈=)()(22ΦΦK 210K K K K ++=。