第二章节 环路跟踪性能例题

表 2-2
第 二章 环路跟踪性能
也可用ζ和ωn来表示锁相环路的传递函数，如表2-3 所示。
表 2-3
第 二章 环路跟踪性能
典型的欠阻尼状态暂态的响应曲线如图2-5所示。
最大过冲量 稳态误差 延迟时间
上升时间 峰值时间 暂态时间 图2-5 暂态响应的性能指标
第 二章 环路跟踪性能
图2-7 二阶系统的频率响应特性
第 二章 环路跟踪性能
一、误差的时间响应 θ1(s)的三种特殊输入信号形式
名称 相位阶跃 频率阶跃 频率斜升 时域θ1(t) 频域θ1(s) 说明
∆θ ⋅1(t )
∆ωt ⋅1(t )
1 2 Rt ⋅1(t ) 2
∆θ s ∆ω s2 R s3
相当于相位斜升 相当于相位加速度
分别讨论三种信号输入的情况。
则稳态相位误差
R θ1 ( s ) = 3 s
R (s + 1 / τ1 ) s =∞ θ e (∞) = lin 2 s →0 s + s (1 / τ + Kτ / τ ) + K / τ 1 2 1 1
说明该二阶环对频率斜升信号跟踪失灵。 各种锁相环对不同输入信号的稳态相位误差列于表2-4。
第 二章 环路跟踪性能
取标称值R=820 Ω.
τ1
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稳定条件
⎧ H o ( jΩ T ) = 1 ⎨ ⎩ ArgH o ( jΩT ) −180
⎧ ArgH o ( jΩ K ) = −180 ⎨ ⎩ H o ( jΩ K ) ≺ 1
(增益临界频率)
(相位临界频率) 稳定环路必有
ΩT<ΩK
环路是闭环稳定的
第 二章 环路跟踪性能
图2-8 理想二阶锁相环路对相位阶跃输入的误差响应曲线
第 二章 环路跟踪性能
0.22
P30 2-6(a)
图2-9 理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线
第 二章 环路跟踪性能
图2-9 理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线
第 二章 环路跟踪性能
【计算举例】 P30(2)\P33 假如环路的输入信号频率阶跃为100Hz，阻尼系数 ζ=2，测得最大相位误差为0.44rad。问40ms之后的相位误 差为多大？ 已知条件：Δω/2π= 100Hz， Δω= 2π×100 rad/s ζ=2 θe(t)|max= 0.44rad t≧ 40ms
当ωnt >16，即t >0.16s时，环路的暂态过程结束，相位误 差可近似为
所以当 Rt>K 时，环路失锁。可以导出达到环路锁定最大范 围，即θe(t)达到π/2的时间，由 π 2π × 10 3 2π × 10 3 t = + 4 4 2 10 2π × 10 得出 t = 94.2s
∆ωo Rt θ e (t ) = arcsin = arcsin 斜升信号Δωo =Rt， K K
H o ( jΩ ) = K (1 + jΩτ 2 ) K ( jΩτ 2 ) ≈ = 2 2 jΩ τ 1 ( jΩ ) τ 1 ( jΩ ) K
τ2 τ1
θ e ( ∞) = lim θ e (t )
t →∞
2. 利用终值定理，即
θ e (∞) = lim sθ e ( s )
s →0
第 二章 环路跟踪性能
【计算举例】 求无源比例积分滤波器二阶环在输入分别为相位阶 跃、频率阶跃、频率斜升时的稳态相位误差。 无源比例积分滤波器二阶环的误差传递函数为
第 二章 环路跟踪性能
稳定条件 ⎧ ArgH o ( jΩ K ) = −180 ⎨ ⎩ H o ( jΩ K ) ≺ 1
⎧ H o ( jΩ T ) = 1 ⎨ ⎩ ArgH o ( jΩT ) −180
(增益临界频率)
(相位临界频率)
不稳定环路必有
ΩT >ΩK
环路是闭环不稳定的
第 二章 环路跟踪性能
ωn θ e (t ) = 0.01 rad ∆ω
∆ω
2π ×100 = 0.01× θ e (t ) = 0.01× = 0.02 rad ωn 314
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P33 2-8
图2-11 理想二阶环对输入频率斜升的相位误差响应曲线
第 二章 环路跟踪性能
【计算举例】 P34(2)/P38 采用无源比例积分滤波器的二阶环，已知参数如下： K=2π×105 rad /s，ωn=102 rad /s，ζ=1/2，fo=10MHz。 当 t<0 时，环路锁定在频率为 10MHz 的调频振荡器的输 出 信 号 上 。 从 t=0 的 瞬 时 起 ， 调 频 振 荡 器 的 频 率 以 斜 率 R=2π×103 rad /s2随时间线性变化。问环路可跟踪的时间。 因为ωn/K=102/(2π×105)比1小得多，所以(2-54)式近似 为(2-50)式再加上一线性增长项(R/K)t。 当ωnt≤10 ，即 t≤10/ωn=0.1s 时，可以忽略线性增长项 [ 此 时 (R/K)t≤0.1×(2π×103)/(2π×105)≤10-3rad] 。 因 此 ， 可以用图2-8( 书上P33)查出ζ=1/2时曲线的相位误差。
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第 2章
环路跟踪性能例题
第 二章 环路跟踪性能
常用三种滤波器特性
类型 RC积分滤波器 无源比例积分滤波器 有源比例积分滤波器
电路
1 ( ) F s = 传递 1 + sτ 1
函数 τ1=RC
1 + sτ 2 F ( s) = 1 + sτ 1
τ1=(R1+R2)C τ2=R2C
2
1 H ( jx) = P41(2) (2-70) 1 − x 2 + j 2ζx 1 1 2 H ( jx) = = 2 2 2 2 (1 − x ) + 4ζ x 2
(2-85)
x = (1 − 2ζ 2 ) + (1 − 2ζ 2 ) 2 + 1
，可求出x =1。
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因为
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图2-7 二阶系统的频率响应特性
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第三节 环路对输入暂态信号的响应
第 二章 环路跟踪性能
对已锁定环路，设t=0 时， θ1(t)发生幅度为1的阶 跃变化。若为理想跟踪， θ2(t)与θ1(t)一样变化；但实 际将出现暂态过程后，再逐 渐进入稳态。理想输出与实 际输出之差为跟踪相位误 差。
x=
Ωc
ωn
可求出 ωn = Ω c ⋅ x = Ω c = Ω m = 2π × 3 × 103 rad/s 由 ωn = 得
K
τ1
K
2π × 10 4 −4 ≈ 1 . 77 × 10 s τ1 = 2 = 3 2 ωn (2π × 3 × 10 )
1.77 × 10 −4 选C=0.22µF，R = = ≈ 800 Ω −6 C 0.22 × 10
第 二章 环路跟踪性能
分析环路对输入暂态信号响应的步骤： 1. 写出输入信号相位的拉氏变换θ1(s)； 2. 写出环路传递函数H(s)或He(s)； 3. 求出输出信号相位的拉氏变换θ2(s)或θe(s)（前两者 相乘） ； 如：θ2(s)= θ1(s)•H(s) θe(s)= θ1(s)•He(s) 4. 输出信号拉氏反变换。 如：θ2(t)=L-1[θ2(s)] θe(t)=L-1[θe(s)]
第 二章 环路跟踪性能
1.16
3.7
图2-11 理想二阶环对输入频率斜升的相位误差响应曲线
第 二章 环路跟踪性能
最大暂态相位误差出现在ωnt=3.7 ，即 t=3.7/ωn ＝ 37ms ， 此时(ωn2 /R)θe(t)为1.16，因此，最大暂态相位误差
2 θ e (t ) = 1.16 × R / ω n = 1.16 × 2π × 10 3 / 10 4 = 0.729 rad
θ e (s) s 2 + s /τ1 = 2 H e (s) = θ1 ( s ) s + s(1 / τ 1 + Kτ 2 / τ 1 ) + K / τ 1
所以稳态相位误差
θ e (∞) = lin sθ e ( s ) = lin sθ1 ( s ) H e ( s)
s →0 s →0
s 2 + s /τ1 = lin sθ1 ( s ) 2 s →0 s + s (1 / τ 1 + Kτ 2 / τ 1 ) + K / τ 1
【计算举例】P48(2)/P52 理想二阶环，鉴相器灵敏度Kd=10V/rad ，寄生时间常数 τ=15.9μs( 即 -3dB 截止频率 Fc=1/2πτ=10kHz) ，压控振荡器 灵敏度Ko=10kHz/V，其寄生时间常数τ´=31.8μs(即-3dB截止 频率 F´c=1/2πτ´=5kHz) ，环路滤波器时间常数τ1=62.8s ， τ2=0.02s。问环路是否稳定？ 在未考虑寄生相移时，近似计算增益临界频率ΩT 。 开环频率响应
1 + sτ 2 F (s) = sτ 1
τ1=R1C τ2=R2C
第 二章 环路跟踪性能
Байду номын сангаас
当环路滤波器采用无源比例积分滤波器和有源比例积分 滤波器时，可分别求出各自的传递函数，其结果见表2-1。
表 2-1
第 二章 环路跟踪性能
以后将会看到，用系统参数ζ、ωn表示传递函数， 在系统设计中会带来不少方便。表2-1所列各种锁相环路 的传递函数是用电路参数τ1、τ2和K表示的，它们同样 也可以用系统参数ζ和ωn表达。要注意的是，各种环路 的系统参数ζ、ωn与电路参数τ1、τ2、K之间的关系是 不同的。它们之间的关系如表2-2所示。
第 二章 环路跟踪性能
当输入相位阶跃时，θ1(t)=Δθ•1(t)， θ1(s)=Δθ/s， 则稳态相位误差 s 2 + s /τ1 θ e (∞) = lin sθ1 ( s ) 2 s →0 s + s (1 / τ 1 + Kτ 2 / τ 1 ) + K / τ 1 ∆θ ( s 2 + s / τ 1 ) = lin 2 =0 s →0 s + s (1 / τ + Kτ / τ ) + K / τ 1 2 1 1 说明该二阶环对输入相位变化能跟踪，不会产生稳态相差。 当输入频率阶跃时，θ1(t)=Δωt•1(t)， θ1(s)=Δω/s2， 则稳态相位误差
第 二章 环路跟踪性能
由图2-6(a)可见，ζ=2的曲线最大相差时
ωn θ e (t ) max = 0.22 rad ∆ω
所以
∆ω ωn = 0.22 × θ e (t ) max 0.22 = × 2π × 100 = 314 rad / s 0.44
在t=40ms时，ωnt =314×40×10-3=12.56 rad， 由图2-6(b)查得，ωnt =12.56 rad时 因此，40ms后
第 二章 环路跟踪性能
【计算举例】P45(2)/P49 一个二阶调制跟踪环，信号载频fo=90～100MHz，最大调 制角频率Ωm=2π×3×103rad/s，K=2π×104rad/s ，ζ=1/ 2。 试计算环路滤波器参数。 选用采用RC滤波器的二阶环，其闭环频率响应
令 可解得 因为ζ=1/
∆ω ∆ω ( s + 1 / τ 1 ) θ e (∞) = lin 2 = s → 0 s + s (1 / τ + Kτ / τ ) + K / τ K 1 2 1 1
说明该二阶环有稳态相差，但只要K足够大，频率阶跃引 起的稳态相差很小。
第 二章 环路跟踪性能
当输入频率斜升时，
1 2 θ1 (t ) = Rt ⋅1(t ) 2
R θ e (t ) ≈ 2 + t ωn K
R
第 二章 环路跟踪性能
这意味着环路可以维持 94.2s 的跟踪状态，其间存在 频率误差为
−2 R 2π × 10 3 10 −2 = 10 (rad / s ) = = ( Hz ) 5 K 2π × 10 2π
第 二章 环路跟踪性能
二、稳态相位误差 前面讨论了三种锁相环路分别在三种不同的输入暂 态信号下相位误差的时间响应。这个时间响应既包括了 暂态响应，也包括了稳态响应。稳态响应的计算方法： 1. 时间趋于无限大时的稳态响应，即
图2-12 θ2(t)与θ1(t)的关系
误差相位θe(t)与θ1(t)的关系图与图2-12 类似
第 二章 环路跟踪性能
所有曲线在x= 处相交于0dB。 x<1时，幅频响应 超过0dB，且ζ越小， 峰值越高
2
x> 2 , 幅频响应急 剧下降，且 ζ越小，下 降越快。
2
图2-13 理想二阶环的闭环对数振幅频率响应