复合材料细观力学

EL E f f Emm E f f Em 1 f （8.6）
这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混
合律。EL与f具有线性关系，当f由0~1变化时，
EL从Em~Ef按线性变化，如图8.4所示。
图8.4 EL和f的关系
假设代表性体积单元长度为l，宽度为w，而且w=wf+wm(见图8.3)。当单
变形为w，如图8.6所示。根据沿2方向的平衡条件，
纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受
到的横向应力，有 f 2 m2 2
纤维和基体的横向应变为
f2
2
Ef
,
m2
2
Em
单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有
w wf wm f 2wf m2wm
（8.8）
图8.6 代表性体积单元体 2方向拉伸示意图
纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的重要因素，常用质量分数和
体积分数表示各相材料所占的比例。长为l，横截面为A的代表性体积单元，其
质量为m，密度为；该单元的纤维质量为mf，密度为f；基体质量为mm，密 度为m；纤维和基体的横截面分别为Af和Am。则有关系式
m m f mm （8.1）
Al Af l Aml
于是单元的
横向应变2为
2
w w
f
2
wf w
m2
wm w
f2
Ef
f
m2
Em
m
引入横向弹性模量ET，可建立单元的应变与应力关系为： 2 由以上各式可将复合材料的表观横向弹性模量
2
ET
ET表示为：
1 f m f 1 f
ET E f Em E f Em
（8.9）
式（8.9）表示沿2方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写
为了对复合材料进行细观力学研究，必须建立合理的分析模型，这种模
型是从复合材料中选取的一种体积单元。取出的典型单元必须小得足以表示 材料的细观结构特征，而且又要大到足以代表复合材料的全部物理性能。这 种简化的单元体称为代表性体积单元（RVE），如图8.1所示。RVE选定后， 边界条件也就确定了。边界条件必须与复合材料内的真实条件相同，于是可 以由代表性体积单元估算出复合材料的力学性能。
f
m
1
l l
（8.5）
由静力平衡关系，可得单元受到的合力为
F1 f Af m Am 于是单元的平均应力1为
1
F1 A
f
Af A
m
Am A
f
f
m m
E f f f Em m m
根据纵向弹性模量EL表示 的胡克定律，即
1 ELl
图8.3 代表性体积单元体1方向 拉伸示意图
可得复合材料沿纤维方向的表观弹性模量为
成无量纲形式，即
ET
1
1
Em f Em / E f m 1 f 1 Em / E f
（8.10）
（8.2）
由式（8.2）可得出组分材料的体积分数关系式为
f m 1
（8.3）
图8.1 代表性体积单元（RVE）
上式中，f 是纤维的体积分数：f =Af/A；m是基体的体积分数： m =Am/A。
按照密度定义，即有 由以上公式可得
m,
Al
f
mf , Af l
m
mm Aml
这是复合材料的 密度混合律。
w w f wm ,
f
Af A
wf w
,
m
主泊松比vLT
设代表性体积单元体在1方向受到单向拉伸，伸长量为l (见图8.3)。
根据等应变假设，假定纤维和基体沿纤维方向（1方向）的应变相同，
均与复合材料的纵向应变1相等，则有 根据胡克定律，纤维应力 f 和基体应力 m 可表示为: f E f 1, m Em1
2
w w
f
wf w
m
wm w
1
f
f
mm
1
由此可得复合材料的主泊松比
图8.3 代表性体积单元体 1方向拉伸示意图
LT
2 1
vff
mm
ff
m 1 f
主泊松比vLT也服从混合律。vLT与f具有线性
关系，如图8.5所示。
图8.5 vLT和f的关系
二、横向弹性模量ET 当代表性体积单元体在2方向受到单向拉伸时，横向
图8.2 复合材料单层中的代表性体积单元
从复合材料单层中切取一个典型的RVE，如图8.2所示，细观结构特征 为：一根纤维被部分基体所包围，长度为l、宽度为w、厚度为t；该单元的 纤维体积分数与复合材料相同。方便于分析，再将单元简化为图8.2（b）所 示，即把纤维的圆形截面改成矩形，并保持截面积相等。则有
8.1 细观力学的基本假设
单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体） 可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主 体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材 料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强 度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之间的界面结合完好性 对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程 度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的 力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的基本假设： （1）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初 应力； （2）增强材料（纤维）是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或 横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则； （3）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计； （4）界面黏结完好，无缺陷。
元体在1方向受到拉伸时，引起纤维和基体的横向应变（2方向）分别为
f 2 f f 1 f 1, m2 m m1 m1
式中，vf 和 vm分别是纤维和基体的泊松比。 单元的横向变形△w可以表示为
w wf wm f 2wf m2wm
f wf mwm 1
则单元的横向应变为
m mf mm mf Af mm Am
Al Al Al Af l A Am l A
f f mm
（8.4）
8.2 材料主方向工程弹性常数的细观预测
在复合材料细观力学分析中，首先以复合材料单层作为典型的研究对象， 选择合理的RVE，建立简化分析模型，用以预测复合材料材料主方向的工程 弹性常数。细观力学中采用的基本假设是：纤维和基体沿纤维方向的变形相 同，且为平面应力状态。下面讨论用材料力学方法确定复合材料的工程弹性 常数。