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注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
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8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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1.1.1 实际利率
1、定义：某一个度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之
比。通常，实际利率用字i 母 表示。
➢注意：这里的度量期为标准的时间单位，如：年、 季、月等，本书中若无特别说明，实际利率一般指的 年实际利率
2、实际利率的公式推导
i 指第一个度量期上的实际利率，实际上它是单位
利息理论
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第一章 利息的基本概念 §1.1 利息度量
一、利息的概念
1、从债权债务的角度，利息是债务人为了取 得资金的使用权而支付给债权人的报酬。 例如: 某住房贷款，贷17万，20年还清，月还款额 1600元，则利息为21.4万。
2、从投资的角度看，利息是一定量的资本经 过一段时间的价值增值。
在常数的单利i下，每一个度量期上产生的利息量都
相同，均为常数i。
在常数的复利i下，每一个度量期上产生的利息量n
1)
i(1 i)n1随着n而增大。
（2）从积累形式来看 在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
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在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
0时刻投资一单位的本金，在t时刻的积累值称为
该时刻的积累函数，记为a(t)
(2) 积累函数的性质
a(t)是t的函数，且a(0) 1
5
a(t)一般为t的单增函数； a(t)一般为t的连续函数。
5、总量函数A(t)
0时刻投资的 k单位本金在时刻t的积累值，称为总
量函数。符号为 A(t)
则有 A(t) k a(t)
3
二、利息度量的基本概念： ➢ 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本
金。 ➢ 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金
额称为该时刻的积累值（或终值）。 ➢ 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一
时期的利息金额。 注意：假定 ➢ 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
在此假定下，决定积累值的两个最主要的因 素就是本金金额和投资期的长度。 投资期的长度可以用不同的时间单位来度量。 例如：日、周、月、季、半年、一年等。用 来度量投资期的长度时间的单位称为“度量 期”或“期”，最常用的是年。（以后除非 另外说明，均可认为一个度量期为一年。） 4、积累函数 （1）定义
18
▪ 假设每期以复利 i 计息，则在投资期间，不同度
量期将产生不同的利息；实际上
In a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1 i (1 i)n1 i a(n 1)
令in (n 1)表示第n个度量期内的实际利率，则
a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1
本金在第一个度量期内产生的利息金额。
则： 10
a(1) a(0) i 1 i i 1i 1 a(1) a(0) a(1) a(0)
a(0) A(1) A(0)
A(0) I1
A(0)
11
▪第n个度量期的实际利率表达式：
假设I
为从投资日算起第n个度度量期的实际利率，则
n
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a* (t ); 当t 1时，a(t)>a*(t)； 当t 1时，a(t)<a*(t)；
17
（4）常数的单复利与实际利率的关系
14
1.1.2 单利和复利
1、单利
考虑投资一单位本金，如果其在t时的积累值为：
a(t) 1 it
则说这笔投资以每期单利 i 计息，并称这样的利息称
为单利。
2、复利 如果其在t时的积累值为：a(t) (1 i)t
则说这笔投资以每期复利 i 计息，并将这样产生的利
息称为复利。
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3、单利和复利的比较 （1）从利息的角度
A(n) A(n 1) A(n 1)
In A(n 1)
对整数n 1
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例题
例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的余额为1050元，第二年末他存折 上的余额为1100元，问：第一年、第二 年的实际利率为少？
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例2 某人投资1000元于一年期证券上，该证
券年实际利率为10%，问：一年后，此 人将得到的金额为多少？其中的利息为 多少？
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
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8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
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例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
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6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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1.1.1 实际利率
1、定义：某一个度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之
比。通常，实际利率用字i 母 表示。
➢注意：这里的度量期为标准的时间单位，如：年、 季、月等，本书中若无特别说明，实际利率一般指的 年实际利率
2、实际利率的公式推导
i 指第一个度量期上的实际利率，实际上它是单位
利息理论
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第一章 利息的基本概念 §1.1 利息度量
一、利息的概念
1、从债权债务的角度，利息是债务人为了取 得资金的使用权而支付给债权人的报酬。 例如: 某住房贷款，贷17万，20年还清，月还款额 1600元，则利息为21.4万。
2、从投资的角度看，利息是一定量的资本经 过一段时间的价值增值。
在常数的单利i下，每一个度量期上产生的利息量都
相同，均为常数i。
在常数的复利i下，每一个度量期上产生的利息量n
1)
i(1 i)n1随着n而增大。
（2）从积累形式来看 在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
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在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
0时刻投资一单位的本金，在t时刻的积累值称为
该时刻的积累函数，记为a(t)
(2) 积累函数的性质
a(t)是t的函数，且a(0) 1
5
a(t)一般为t的单增函数； a(t)一般为t的连续函数。
5、总量函数A(t)
0时刻投资的 k单位本金在时刻t的积累值，称为总
量函数。符号为 A(t)
则有 A(t) k a(t)
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二、利息度量的基本概念： ➢ 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本
金。 ➢ 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金
额称为该时刻的积累值（或终值）。 ➢ 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一
时期的利息金额。 注意：假定 ➢ 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
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在此假定下，决定积累值的两个最主要的因 素就是本金金额和投资期的长度。 投资期的长度可以用不同的时间单位来度量。 例如：日、周、月、季、半年、一年等。用 来度量投资期的长度时间的单位称为“度量 期”或“期”，最常用的是年。（以后除非 另外说明，均可认为一个度量期为一年。） 4、积累函数 （1）定义
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▪ 假设每期以复利 i 计息，则在投资期间，不同度
量期将产生不同的利息；实际上
In a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1 i (1 i)n1 i a(n 1)
令in (n 1)表示第n个度量期内的实际利率，则
a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1
本金在第一个度量期内产生的利息金额。
则： 10
a(1) a(0) i 1 i i 1i 1 a(1) a(0) a(1) a(0)
a(0) A(1) A(0)
A(0) I1
A(0)
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▪第n个度量期的实际利率表达式：
假设I
为从投资日算起第n个度度量期的实际利率，则
n
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a* (t ); 当t 1时，a(t)>a*(t)； 当t 1时，a(t)<a*(t)；
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（4）常数的单复利与实际利率的关系
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1.1.2 单利和复利
1、单利
考虑投资一单位本金，如果其在t时的积累值为：
a(t) 1 it
则说这笔投资以每期单利 i 计息，并称这样的利息称
为单利。
2、复利 如果其在t时的积累值为：a(t) (1 i)t
则说这笔投资以每期复利 i 计息，并将这样产生的利
息称为复利。
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3、单利和复利的比较 （1）从利息的角度
A(n) A(n 1) A(n 1)
In A(n 1)
对整数n 1
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例题
例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的余额为1050元，第二年末他存折 上的余额为1100元，问：第一年、第二 年的实际利率为少？
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例2 某人投资1000元于一年期证券上，该证
券年实际利率为10%，问：一年后，此 人将得到的金额为多少？其中的利息为 多少？