湍流基本理论、特征与分析
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u x 2 l u x 2 u x 2 l 假设微团从x2 l或 x2 l运动至 x 2，对于 x 2 来讲，
脉动速度 u2 0 或 u2 0 ，
8
湍流基本理论、特征和分析
u1x2lu1x2ldud1x(2 x2)xx2......
u1 u1x2lu1x2ld du2 1x
由于u1 ~ u1, 所以微团从 x2 l 运动到 x 2
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 t 不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认 为 t 是个标量。在一般情况下，当i=j时
uiui
2k2t
ui xi
(6－37）
5
湍流基本理论、特征和分析
湍流基本理论、特 征和分析
湍流基本理论、特征和分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
2
湍流基本理论、特征和分析
第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代数 的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设，建 立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。迄今 为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础上，因 此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适用于任何 流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体流动，已成 功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发挥着越来越大 的作用。
式中k为湍动能(k
1 2
uiui )
ui 0 xi
那么 uiui 0
，如果 t 是一个标量，
，而实际上
uiui
2k 3
。
为此Boussinesq修正（6－35），提出对于三维湍流
uiuj23kij tDij
(6－38）
Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
t 0.0164U 0d,(U 是0 来流速度，d是圆柱直径）。
式中o表示外层，10.07~05.0，92 0.0~60.07，5
为间隙因子。
Van Driest（1959）年提出在内层：
lmi
k x2 1exp x2
25.3v
(6－43）
12
湍流基本理论、特征和分析
式中k0.435 ，在外层：
lmo 0.09
(6－44）
c、根据上述公式在管流中
u1
u1
目前的湍流统计模式主要有两类:湍流涡粘模式和雷诺应 力模式。
3
湍流基本理论、特征和分析
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流 的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
时
u
1
0,
u2
0，也就是说
u
1
和
u 2 是异号的。
还可以认为 u2 ~ u1，这是因为当 x2 l处的微团
到达点 x 2 时，恰巧在 x2 l微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动
u 1
，这样
u 2
Hale Waihona Puke ~u1。同样,
当向两中个间微 补团 充到 也达 会产x 2生点u 2时。向相反运动时，周围的微团会
Hinze J.O.在空气的圆截面射流中测得 t 0.0116Upd
（UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP＝40m/s ，
d=25mm，则 t 0.0116m2/s大约是空气 的1000倍。
6
湍流基本理论、特征和分析
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假
9
湍流基本理论、特征和分析
图6－7
的产生
u
2
认为
u2
常 数l du1 dx2
12u1u2
lm2
du1 du1 dx2 dx2
湍流基本理论、特征和分析
(6－39）
10
t
lm 2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点： a、尺由寸试，验而得是到与的流l m 动的，平不均象尺假度设一的样那的样量为级流。体微团的
对三维流动 u1u2t xu21t xu21
(6－34）
uiujtD ij t xuij u xij 2tSij
(6－35）
4
湍流基本理论、特征和分析
应力张量表示
ijp ijtD ij
(6－36）
其中： t 湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，t t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
13
湍流基本理论、特征和分析
Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流 局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍 流脉动具有几何相似性，也就是说，各点的湍流脉动对 同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此 只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二
设出发，对于二维湍流，令：
t
t
u1 x2
式中 t 为湍流雷诺切应力，并 t
速度与混合长度lm的乘积成正比
t u1lm
认为与湍流的脉动
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
7
湍流基本理论、特征和分析
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
max
时，
u1 x2
0
，那么，
t12 0，而事实上 t12 0 ，为此Prandtl提出修正：
1
t12 lm2ddxu112l12ddx22u212 2
(6－45）
d、l 1 是混附合加长混度合理长论度没，有不考过虑由压试力验脉确动定对l 1动很量复传杂递。的影响，
而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影 响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。
b 、l Km le不ba是nof空f试间验常，数在。内在层边（界壁面层区中）根 据 尼 古 拉 兹 和
lmi kx2
t
i
kx2v*
式中i表示内层，k=0.40~0.41，v *
阻力。
(6－41）
w
,
w
是壁面摩擦
11
湍流基本理论、特征和分析
在边界层的外层（核心区）：
lmo 1 to2v*
(6－42）
脉动速度 u2 0 或 u2 0 ，
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湍流基本理论、特征和分析
u1x2lu1x2ldud1x(2 x2)xx2......
u1 u1x2lu1x2ld du2 1x
由于u1 ~ u1, 所以微团从 x2 l 运动到 x 2
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 一般在定温下可认为是常数，但 t 不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认 为 t 是个标量。在一般情况下，当i=j时
uiui
2k2t
ui xi
(6－37）
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湍流基本理论、特征和分析
湍流基本理论、特 征和分析
湍流基本理论、特征和分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
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湍流基本理论、特征和分析
第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代数 的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设，建 立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。迄今 为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础上，因 此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适用于任何 流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体流动，已成 功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发挥着越来越大 的作用。
式中k为湍动能(k
1 2
uiui )
ui 0 xi
那么 uiui 0
，如果 t 是一个标量，
，而实际上
uiui
2k 3
。
为此Boussinesq修正（6－35），提出对于三维湍流
uiuj23kij tDij
(6－38）
Townsend.A.A测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
t 0.0164U 0d,(U 是0 来流速度，d是圆柱直径）。
式中o表示外层，10.07~05.0，92 0.0~60.07，5
为间隙因子。
Van Driest（1959）年提出在内层：
lmi
k x2 1exp x2
25.3v
(6－43）
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湍流基本理论、特征和分析
式中k0.435 ，在外层：
lmo 0.09
(6－44）
c、根据上述公式在管流中
u1
u1
目前的湍流统计模式主要有两类:湍流涡粘模式和雷诺应 力模式。
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湍流基本理论、特征和分析
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（Boussinesq J.,1877）提出二维湍流 的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
时
u
1
0,
u2
0，也就是说
u
1
和
u 2 是异号的。
还可以认为 u2 ~ u1，这是因为当 x2 l处的微团
到达点 x 2 时，恰巧在 x2 l微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动
u 1
，这样
u 2
Hale Waihona Puke ~u1。同样,
当向两中个间微 补团 充到 也达 会产x 2生点u 2时。向相反运动时，周围的微团会
Hinze J.O.在空气的圆截面射流中测得 t 0.0116Upd
（UP是射流入射速度，d是射流孔径）。当UP＝40m/s ，
d=25mm，则 t 0.0116m2/s大约是空气 的1000倍。
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湍流基本理论、特征和分析
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从Boussinesq的假
9
湍流基本理论、特征和分析
图6－7
的产生
u
2
认为
u2
常 数l du1 dx2
12u1u2
lm2
du1 du1 dx2 dx2
湍流基本理论、特征和分析
(6－39）
10
t
lm 2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点： a、尺由寸试，验而得是到与的流l m 动的，平不均象尺假度设一的样那的样量为级流。体微团的
对三维流动 u1u2t xu21t xu21
(6－34）
uiujtD ij t xuij u xij 2tSij
(6－35）
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湍流基本理论、特征和分析
应力张量表示
ijp ijtD ij
(6－36）
其中： t 湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，t t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
13
湍流基本理论、特征和分析
Karman相似理论：Karman（1930）提出了一种湍流 局部相似性假设。他认为在自由湍流场中各空间点的湍 流脉动具有几何相似性，也就是说，各点的湍流脉动对 同一个时间尺度和长度尺度只有比例系数的差别，因此 只要用一个时间和速度比尺就能确定湍动结构。对于二
设出发，对于二维湍流，令：
t
t
u1 x2
式中 t 为湍流雷诺切应力，并 t
速度与混合长度lm的乘积成正比
t u1lm
认为与湍流的脉动
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
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湍流基本理论、特征和分析
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
max
时，
u1 x2
0
，那么，
t12 0，而事实上 t12 0 ，为此Prandtl提出修正：
1
t12 lm2ddxu112l12ddx22u212 2
(6－45）
d、l 1 是混附合加长混度合理长论度没，有不考过虑由压试力验脉确动定对l 1动很量复传杂递。的影响，
而压力脉动可以跨越lm而传递的，考虑到压力脉动的影 响，流体微团的动量不可能在lm范围内保持不变。
b 、l Km le不ba是nof空f试间验常，数在。内在层边（界壁面层区中）根 据 尼 古 拉 兹 和
lmi kx2
t
i
kx2v*
式中i表示内层，k=0.40~0.41，v *
阻力。
(6－41）
w
,
w
是壁面摩擦
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湍流基本理论、特征和分析
在边界层的外层（核心区）：
lmo 1 to2v*
(6－42）