节点电压法经典例题85299

-----（2）
G5Va G3Vb (G3 G4 G5 )Vc G5U S -----（3）
自自电电
自互电
节点电压法方程式
一般情况，对于具有m 个节点的电路，有
G11V1 G12V2 G1mVm is1 Us1G1
其中
G21V1 G22V2 G2mVm is2 Us2G2
解：电路中含有与is（或受控 电流源）串联的电阻R2，
R2所在支路电流唯一由 电流源is确定，对外电路
R3
而言，与电流源串联的
电阻R2无关，不起作用，
应该去掉。
所以其电导1/R2不应出 现在节点方程中，则节 点电压方程如下所示：
u3
R4 R2
u1
R1 +
us -
R5
u2 is
R6
中国计量学院 吴霞
电路分析
5、列方程后，求出节点电压，依照支路电路与节点关系，求出 各支路电流。
网孔分析法与节点分析法的比较
常用网孔分析法与节点分析法来分析复杂 电路，这些方法的优点是联立求解的方程 数目少。
当电路只含有独立电压源而没有独立电流 源时，用网孔分析法容易。
当电路只含有独立电流源时而没有电压源 时，用节点分析法更容易些。
i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3
R4
i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-US
(G1 G5 ) Va G1Vb G5Vc iS G5U S
-----（1）
G1Va (G1 G2 G3 ) Vb G3Vc 0
点外）有公共电导，则互电导恒取负。
方电程流右源端代数 i和S1，、流 入iS2取和正 ，iS3流分出别取为负流。入节点R15、i52和+ 3U的S -
(G1 G5 ) Va G1Vb G5Vc iS G5U S
Va
R1 Vb R3 Vc
G1Va (G1 G2 G3 ) Vb G3Vc 0
-G4U2+(G4+G5)U3 =I 补充方程： U1-U3 = US
3
节点电压法
方法2： 选择合适的参考点
1
U1= US
应用举例（3）
+
G1 G3 G2 -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
U_ 2
3 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
s
G4
G5
节点电压法小结
1、任意选定一个参考节点，确定电路中其余（n-1）个独立节点。 2、对各独立节点列写节点电压方程
I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA
I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA
I5= VB /20=-1.09mA
节点电压法的习题
（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
例2. 用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω， R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V，is=1A。 解：
（5）将各支路电流代入，得结点方程 （6）解方程组
R5 i5 + US -
i1=(Va-Vb)/R1 =(Va-Vb)G1
Va
R1 Vb R3 Vc
i2=(Vb-0)/R2 =VbG2
iS
i1
i3
R2
i2
i4 R4
i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
i1
i3
i4
iS
G5Va G3Vb (G3 G4 G5 )Vc G5U S
R2 i2
R4
节点分析法的步骤：
(1) 首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电 源。（不转换也可以，注意电流源的方向）
(2) 在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节 点电压为待求量（有的可能已知，如支路只有纯 理想电压源的情况）。
弥尔曼定理 ----适用于只含有两个结点的电路
例
R1
+
R2
IS3
R4
US1 US4
I R1
R4
S3
V a
111
R1 R2 R4
US1
· Va
R3
US4
+
Va


US R
IS

1 R
节点电压法 应用举例（2）
电路中含电流源的情况 Is
设：U B 0
则：
E1 IS
? UA R1 111 R1 R2 RS
如图选择参考结点，
.Vc
R6
则Vb=US4成为已知值, 需对 节点1、3列写方程。
(1 R2

1 R3
)Va

1 R2
Vb

IX
US2 R2
US3 R3

1 R5
Vb

(1 R5

1 R6
)Vc

IX
再补充约束方程：
Vc-Va=Us1
节点电压法的习题（类型5：支路电流源与电阻串联）
列出如下节点方程（如图）
从上式可以看出节点方程有以下的规律性：
（1）G11 = G1＋G5，是连于节点1的所有电导之和。 （2）G22 = G1＋G2＋G3，是连于节点2的所有电导之和。 （3）G33 = G3 ＋ G4＋G5，是连于节点3的所有电导之和。 （4）G11、G22和G33称为自电导，恒取正。其余元素是独立
节点间的公共电导，称互电导。只要两节点间（除参考
缺点：这种方法比较解方程比较繁琐。
知识回顾 （引入以网孔电流为独立变量，列写KVL方程） 网孔分析法：
(1) 选定一组网孔，标明网孔电流及其参考方向；（孔b方-n程+1）个网 (2) 以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写实质是KVL方
程；（自电阻，互电阻，电压源）
(3) 求解上述方程，得各网孔电流；
续上题
u3
R4
u1

1 R1
+
1 R4
u1
1 R4
u3 =
us R1

is
R3
1 1 1

R5
+
R6
u2
R5
u3 =is

1 R4
u1

1 R5
u5


1 R3

1 R4

1 R5
u3

0
R2
R1 +
us -
R5
u2 is
R6
中国计量学院 吴霞
电路分析
例2 应用节点电压法求U和I。 I
解： V1 100V
V2 100 110 210V
(1 2

1 2 )V3

1 2 V2

1 2 V1

20
解得： V3 175 V3 U 20 1
U V3 20 195
V2 90 I 1
1
－
90V ＋ 2
1 － U 20A ＋ 2 3 2
A I2
RS R1
I1
R2 E1 +
_
B
E1 IS
UA
R1 1
1

R1 R2
例3. 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
方法1: 增设一个理想电压源支路电流变量I ，再增加一个补充方程：
I
1
+
G1 G3 G2
Us_ 2
G4
G5
(G1+G2)U1-G1U2 = - I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
知识的回顾
支路电流法（以支路电流为变量求解方程） n个节点，b条支路的电路图.
（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的 巡回方向。
（2）对（n-1）个节点列KCL方程。 对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为
变量表示 的 KVL方程，并加入元件VCR约束 条件。 （3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。
R5
US
+-
a R1 b R3 c
Va
Vb
Vc
iS
R2
R4
Va U ad Vb U bd Vc Ucd
d
节点电压的参考极性：是以参考节点为 负，其余独立节点为正。
节点电压法的推导
（1）标出所有支路电流的参考方向
推导节点电压 方程步骤：
（2）选择参考点，标出节点电压
（3）用节点电压表示各支路电流 （4）列出n-1个KCL方程
以独立的节点电压为未知量的节点方程。 当从方程求得节点电压后，再回到原图利 用欧姆定律就可以求出各支路电流。这种 分析方法就是所谓的节点分析法，或节点 电压法。
注意：节点电压法是以基尔霍夫电流定律为基 础的。
节点电压法
节点电压： 选取某一个节点为参考节点(电位为0)，则其余的每一
个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压。
(1 R1

1 R2

1 R3
)Va
（ 1 R2
+
1 R3
）Vb

is

uS R2
（ 1 R2
+
1 R3
）Va
+(
1 R2

1 R3

1 R4 )Vb

uS R2
i= Va -Vb R3
节点电压法的习题
类型2：仅含纯理想电压源支路的节点电压法：
（1）对只含一条纯理想电压源 支路的电路，可取纯理想电压 源支路的一端为参考结点。 Va

1 R6
)Vc

U S1 R1
节点电压法的习题
类型3：对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于
一结点的电路，可取该汇集点为参考结点。
- US1 + R1
- US2 +
Va
+ US3
-
R2 Vb R5
+ US4
-
则 Va= Us3 ,Vb= Us4为已知。
.Vc 故只需对节点3列结点电压方程
则Vb= Us4为已知。
- US1 + R1
- US2 + R2 Vb R5
+
+
US3
US4
-
只需对节点1、3列节点电压方程 R3
-
. Vc
R6
(1 R1

1 R2

1 R3
)Va

1 R2
Vb

1 R1
Vc

US1 R1
US2 R2
US3 R3

1 R1
Va

1 R5
Vb

(1 R1

1 R5
I5 20k
参考节点
-240V +
U -
(0.05+0.025+0.1)VA-0.1VB= 120/20 -0.1VA+(0.1+0.05+0.025)VB=-240/40
(2) 解方程，得： VA=21.8V， VB=-21.82V
(3) 各支路电流： I1=(120-VA)/20k= 4.91mA
（自导为正，互导为负；方程右边是流入节点的电流源为正，流 出为负；对电压源与电阻串联组合，应将其等效变换为电流源与 电阻并联的组合）
3、如果电路存在无电阻串联的电压源或受控电压源，如何处理。 4、如果电路存在与电流源或受控电流源串联的电阻，则该电阻
不起作用，在列写节点方程时，该电阻不应写在方程中。


Gm1V1 Gm2V2 GmmVm ism UsmGm
Gkk:自电导(为正) ，k=1,2,…m
Gjk:互电导(为负），j≠k
isk : k=1,2,…m ，流进结点k的全部电流源电流的代数和
UskGk : k=1,2,…m ，与结点k相联的电压源串联电阻支路转换 成等效电流源后流入结点k的源电流的代数和
(4)原电路非公共支路的电流就等于网孔电流。 原电路公共支路的电流等于网孔电流的代数和。
1、网孔公共支路中含有电流源（增加一组电压变量） 2、网孔非公共支路中含有电流源（少列一组网孔电流方程） 习题类型
3、网孔中含有受控电压源，受控电流源 （当独立电源处理，控制量用网孔电流表示）
3.4 节点电压法（教材p78）
i5=(Va-Vc-US)/R5 =(Va-Vc-US)G5
推导节点电压法
is=i1+i5 ----（1）
Va
S
R5 i5 + US -
R1 Vb R3
i1
i3
R2 i2
i1=i2+i3 ----（2） i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1
i3=i4-i5 -----（3）
=VbG2
VcR5
Vb

(
1 R1

1 R5

1 R6
)Vc

US1 R1
节点电压法的习题（同类型教材P80例3-5）
类型4：如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路，
且它们不汇集于同一点（考虑增加电流变量）
- US1 +
IX
- US2 +
Va
+ US3
-
R3
R2 Vb R5
+ US4
-
小结：对于含电流源支路的电路，列节点电位方程 时应按以下规则：
A I2
RS R1
I1
Is
R2
U1 +
_
1 UA(

1
) U1 IS
R1 R2 R1
方程左边：按原方法编写，但不考虑电流源支路的电阻。
方程右边：写上电流源的电流。其符号为：电流朝向 未知节点时取正号，反之取负号。
节点电压法的习题（类型5）
＋－ 110V
求得 I (V2 90) /1 120A
＋
－ 100V
1
节点电压法的习题（类型6：含受控电流源支路） 例 列如下图(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。
d
(a)
(b)
图3-20
解
(1) 先把受控源当作独立源看列方程； (2) 用节点电压表示控制量。
节点电压法
(3) 列出所有未知节点电压的节点方程，其中自电 导恒为正，互电导恒为负。
(4) 联立求解节点电压，继而求出其余量。
节点电压法的习题
例1.用节点法求各支路电流。（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
I1 20k VA 10k VB 40k I3
+120V +
I4
解：
-
(1) 列节点电压方程：
I2 40k