人教版《角平分线的性质》全等三角形2教育课件

∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
B
A
D
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
（×） B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴点Q在∠AOB的平分线上
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上．
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别， 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.
与角的两边分别交于C、
D两点；
2、分别以C__、__D_为圆心， _超__过__C__D__一_的半长为半径 B
D
O
作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点_E___； 3、作射线_O__E__； _O__E__就是所求作的射线。
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
M C D
F
A
EB
N
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
➢
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常，
凡事 都是 多棱 镜，不 同的 角度 会
凡 事都 是多棱 镜 ，不同 的角 度会 看到 不同的 结果 。若 能把 一些 事看 淡了， 就会 有个 好心 境， 若把很 多事 看开 了， 就会 有个 好心情 。 让聚散 离合 犹如 月缺月 圆那 样寻常 ，让 得失 利弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不计 较， 也不刻 意执 着； 让生命 中各 种的 喜怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然的微 笑， 坦然的 接受 命运 的馈赠 ， 把是非 曲折， 都当 作是 人生的 定数 ，不
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
ห้องสมุดไป่ตู้
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
纷
扰
口
罗
不
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
归纳：
利用此性质
怎样书写推理过
程?
A
D
C
1
P
2
O
EB
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA，
PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分 线的性质）
线OP，由作法得的根据是（ ）
A
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
C P
O
D
B
活动 1
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线外一点作这条直线的垂 线的方法。
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
H
Ｄ
Ｃ
更上一层楼！
F ＰＥ Ａ
ＢG
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当
地旅游发展，某地要在
三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要
使这个度假村到三条公
路的距离相等,应在何处
修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC ∴∠MOC=∠NOC
Ｂ
Ｎ
Ｏ
即：OC平分∠AOB
1、尺规作图作的 AOB 平分线方法如下：
以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB
于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于
1 2
CD
长为半径画弧，两弧交于点P，作射
人
性
的
▪
▪
什
么
事
情
都
是
相
对
的
，
做
为
销
售
者
，
站
在
销
售
者
的
角
色
，
是
非
常
欣
赏
算
命
的
营
销
技
巧
；
同
时
作
为
管
理
者
，
思
路
决
定
出
路
，
计
划
决
定
目
标
的
价
值
▪
▪
按
照
逻
辑
倒
退
，
现
在
您
收
入
不
够
，
那
是
您
把
自
身
的
价
值
定
位
太
低
，
再
则
您
是
自
己
的
思
维
逻
辑
不
清
▪
▪
学
习
有
五
道
知
道
学
到
用
到
悟
道
得
到
，
5
个
环
节
取
其
适
合
自
己
的
精
华
祛
其
▪
▪
审
、
敲
、
已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等”
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于
点E
求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
A
D
1
C P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE
公路
铁路
S
解： 设OD=Xm 则由题得 X = 1
解得x=0.025m
500
即OD=2.5cm
20000
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
O
公路
铁路
sD
C
▪ 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
角的平分线的性质
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
练习1
▪ 如图所示：OD、OE分别是∠AOB、 ∠AOC的角平分线，请问∠DOE多少度？
C
D
E
A
B
尺规作图：
观察领悟作法，探索思考证明方法：
作法：1、以_点___为圆心，
A
C
__适__当__长为半径O作圆弧， E
像
如
果
我
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
五
➢
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
合
▪
■
电
:
《
《
我
是
算
命
先
生
▪
▪
年
前
无
聊
看
了
一
部
小
说
《
我
是
算
命
先
生
》
，
人
喜
欢
算
命
，
无
非
是
生
活
让
人
无
奈
，
没
有
办
法
改
变
现
态
的
情
况
下
，
把
希
望
寄
托
在
命
运
，
期
望
绝
处
逢
生
。
算
命
先
生
抓
住
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线Ｂ Ｄ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
线段的长度
A
O
B
活 动 2 角平分线的性质
A
折一折
A D
PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边), 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
活动 3
探究角平分线的性质
(1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分
线OP,过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB
问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。
PD=PE
②再换一个新的位置看看情况会怎样？ A
D C
P
(2)猜想: 角的平分线上的 点到角的两边的距离相等.
O
EB
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC
的
，AE+DE=
。
C D
A
B
（2）
E
（1）
2、如图（2） ，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD平分∠CAB，并交BC于D， DE⊥AB于点E，
若AB=8CM，求△DEB的周长？
解决问题
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到 铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺 为1︰20000）
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB， EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
1、如图（1） ，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
打
、
千
、
▪
▪
使
用
规
▪
▪
先
审
后
敲
，
急
打
▪
▪
隆
卖
齐
施
，
敲
打
▪
▪
十
千
就
响
，
十
隆
▪
▪
先
千
后
往
，
无
往
▪
▪
有
千
无
隆
，
帝
寿
▪
是
➢
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦